如何求直角三角形斜边的长度

所有直角三角形都有一个90度的直角，斜边是这个直角的对边，也是直角三角形最长的一条边。^{[1]X研究来源}有几种不同的方法都能很方便地算出斜边的长度。本文将教你如何在已知三角形两条直角边的边长情况下，利用勾股定理来计算斜边的长度。然后，我们会教你识别某些经常出现在考试中的特殊三角形的斜边。最后，你会学到在已知一条边的边长和一个角的角度时，如何利用正弦定理来求出斜边的长度。

方法 1

方法 1 的 3:

使用勾股定理

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勾股定理描述了直角三角形各边之间的关系。^{[2]X研究来源}根据该定理，在任何直角边边长为a和b，斜边边长为c的直角三角形中，a² + b² = c²。^{[3]X研究来源}
2
一定要是直角三角形。勾股定理只适用于直角三角形，而且根据定义，只有直角三角形才有斜边。如果你的三角形有一个角正好等于90度，那它就是直角三角形，你可以继续使用以下方法。
- 在教科书和考试中，通常会在角顶端画一个小方块，将直角标示出来。这个特殊的符号代表“90度”。
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将变量a、b、c赋予三角形的三条边。变量“c”必须赋予斜边，也就是最长的那条边。选另两条边中的一条做“a”，剩下一条做“b”。怎样选择都没关系，都不会影响最终的计算结果。然后将a和b的长度代入公式中，如下所示：
- 如果三角形直角边的边长是3和4，并且你让a = 3，b = 4，则可得到等式：3² + 4² = c²。
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求a和b的平方。一个数的平方等于它和自己相乘，即a² = a x a。算出a和b的平方，将它写入你的公式中。
- 如果a = 3，则a² = 3 x 3，即9。如果b = 4，则b² = 4 x 4，即16。
- 将以上值代入等式，可得出：9 + 16 = c²。
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将a²和b²的值相加求和。将结果代入等式，可以算出c²的值。还剩最后一步你就能算出斜边的长度了！
- 在本例中，9 + 16 = 25，因此你可以写下25 = c²。
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求c²的平方根。使用计算器的平方根功能，或依靠你记忆中的乘法表，算出c²的平方根。得到的结果就是斜边的长度！
- 在本例中，c² = 25。25的平方根是5。因为5 x 5 = 25，所以Sqrt(25) = 5。也就是说c = 5，这就是斜边的长度！
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方法 2

方法 2 的 3:

求特殊直角三角形的斜边

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1
学习识别勾股数三角形。勾股数三角形的边长是符合勾股定理的整数。这些特殊的三角形经常出现在几何课本和SAT、GRE等标准化的考试中。记得前两个勾股数，你就能在这些考试中节约很多时间，因为只要一看到直角边的边长，你就能立即知道这些三角形斜边的长度！^{[4]X研究来源}
- 第一组勾股数是3-4-5(3² + 4² = 5²，9 + 16 = 25)。如果直角边的边长为3和4时，不用进行任何计算，你就能确定斜边的边长等于5。
- 即使各边边长都乘以另一个数字，勾股数的的比值仍然成立。例如，直角边的边长为6和8的直角三角形，斜边的长度为10（6² + 8² = 10²，36 + 64 = 100）。9-12-15，甚至1.5-2-2.5，这些都是成立的。试着自己算一算，来验证一下吧！
- 考试中经常出现的第二组勾股数是5-12-13 (5² + 12² = 13²，25 + 144 = 169)。你还应该注意这组勾股数的倍数，如10-24-26和2.5-6-6.5。
2
记住45-45-90直角三角形的边长比。45-45-90直角三角形的三个角分别为45度、45度和90度，也被称为等腰直角三角形。它经常出现在标准考试中，相关题目非常容易解答。这类三角形的边长之比为1:1:Sqrt(2)，也就是说两条直角边的边长相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以2的平方根。
- 要根据一条直角边的长度计算其斜边的长度，用直角边的边长乘以Sqrt(2)就可以了。^{[5]X研究来源}
- 当考试或作业的题目以变量形式，而非整数形式给出边长时，记住这个比例会很有用。
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了解30-60-90直角三角形的边长比。这类三角形三个角的度数分别为30度、60度和90度，将等边三角形切成两半，得到的就是这种三角形。30-60-90直角三角形的边长之比始终等于1:Sqrt(3):2，即x:Sqrt(3)x:2x。如果题目告诉你30-60-90直角三角形一条直角边的长度，要你求斜边的长度，那计算起来非常简单：^{[6]X研究来源}
- 如果已知的是较短直角边的边长，即30度角对边的边长，用该边长乘以2，就可以算出斜边的长度。例如，如果较短直角边的边长为4，你就知道斜边的长度一定等于8。
- 如果已知的是较长直角边的边长，即60度角对边的边长，用该边长乘以2/Sqrt(3)，就可以算出斜边的长度。例如，如果较长直角边的边长为4，你就知道斜边的长度一定等于4.62。
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方法 3

方法 3 的 3:

用正弦定理求斜边边长

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“正弦”、“余弦”和“正切”这些术语都是指的三角形的角和（或）边之间的各种比率。在直角三角形中，角的“正弦”被定义为角的对边长度除以三角形的斜边长度。在方程式和计算器中，正弦的缩写是sin。^{[7]X研究来源}
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学习计算正弦。即使是最基础的科学计算器也能算正弦函数。寻找标有sin的按键。要计算一个角的正弦，通常要先按sin键，然后输入角的角度值。但是，在某些计算器上，你必须先输入角的角度值，然后再按sin键。你可以用自己的计算器做实验，或查阅说明书，来确定它的步骤顺序。
- 要计算80度角的正弦，你可以输入sin 80，然后按等号或回车键，或者输入80 sin。（计算结果是-0.9939）。
- 你还可以在网页搜索中输入“正弦计算器”，找到一些易于使用的计算器，避免自己去猜答案。^{[8]X研究来源}
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学习正弦定理。正弦定理是解三角形问题非常实用的工具。特别是当你知道一条边的边长，以及除直角外另一个角的度数时，正弦定理可以帮你计算三角形斜边的边长。对于三条边分别为a、b和c，三个角分别为A、B和C的三角形而言，正弦定律规定：a / sin A = b / sin B = c / sin C。^{[9]X研究来源}
- 实际上，正弦定理可被用于“任何”三角形的计算问题，但只有直角三角形有斜边。
最长的斜边必须是“c”。为了简单起见，我们将长度已知的那条边作为“a”，另一条边为“b”。然后将变量A、B、C赋予三角形的三个角。与斜边相对的直角为角“C”。与边“a”相对的角是角“A”，与边“b”相对的角是角“B”。
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算出第三个角的度数。由于该三角形是直角三角形，所以已知C = 90度，且角A或角B的度数也是已知值。由于三角形的内角和是180度，使用如下公式可以轻易算出第三个角的度数：180 – (90 + A) = B。你还可以将等式变为180 – (90 + B) = A。
- 例如，如果你知道A = 40度，则B = 180 – (90 + 40)。简化后B = 180 – 130，你可以迅速算出B = 50 度。
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检查你的三角形。此时，你已经知道所有三个角的度数，以及a边的长度。现在将这些信息代入到正弦定理等式中，来计算另两条边的长度。
- 继续使用前文中的例子，假设a边的边长a = 10。角C = 90 度，角A = 40度，而角B = 50度。
只需要将数字代入到以下等式中，我们就能算出斜边c的长度：A边的长度 / sin A = c边的长度 / sin C。看上去好像还是很难，但90度的正弦是一个常数，恒等于1！因此，等式可以简化为：a / sin A = c / 1，即a / sin A = c。
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用边a的长度除以角A的正弦，算出斜边的长度。你可以分两步来计算，首先算出sin A，并把它记下来，然后用a除以它。你也可以同时输入到计算器中进行计算。使用计算器时，不要忘了在除号后加上括号。例如，输入10 / (sin 40)或10 / (40 sin)，具体如何输入取决于你的计算器。
- 在前文的例子中，我们可以算出sin 40 = 0.64278761。为了求出c的值，只要用a除以这个数字就行了，而10 / 0.64278761 = 15.6，这个答案就是斜边的长度！
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