3x3 역행렬 구하는 방법

역연산은 대수학에서 자주 사용되는 연산으로, 자칫 복잡할 수 있는 문제를 간소화합니다. 예를 들어, 분수를 나누는 문제는 그 분수의 역수를 곱하면 쉽게 계산할 수 있습니다. 이것이 역연산 입니다. 마찬가지로 행렬에는 나누기 연산이 없기 때문에 역행렬을 곱해야 합니다. 손으로 3x3 역행렬을 계산하는 것은 귀찮은 일이지만 복습할 가치는 충분합니다. 고급 그래프 계산기도 역행렬을 계산할 수 있습니다.

방법 1

방법 1 의 3:

수반행렬을 이용하여 역행렬 구하는 방법

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1
행렬식을 확인합니다. 주어진 행렬의 행렬식을 가장 먼저 계산해야 합니다. 행렬식이 0 이라면 역행렬이 존재하지 않기 때문에 더 이상 진행할 수 없습니다. 행렬 M 의 행렬식은 det(M) 으로 표기합니다. ^{[1]X출처 검색하기}
- 행렬식을 구하는 방법은 이 글을 참고하세요.
2
전치행렬을 구합니다. 전치행렬은 대각선을 축으로 반사 대칭으로 얻는 행렬이며, i 번째 행, j 번째 열 원소를 j 번째 행, i 번째 열 원소와 맞바꾸는 연산과 동일합니다. 행렬의 전치시 주대각선 (왼쪽 위부터 오른쪽 아래) 축에 있는 원소들은 위치 변동이 없습니다. ^{[2]X출처 검색하기}
- 다른 방법으로는, 첫번째 행을 첫번째 열로, 두번째 행을 두번째 열로, 세번째 행을 세번째 열로 바꿔쓰는 것입니다. 위의 도표에서 같은 색깔 줄에 놓인 원소들의 자리 이동을 확인하세요.
3
모든 2x2 소행렬식을 구합니다. 전치행렬의 모든 원소들은 그에 해당하는 2x2 소행렬이 있습니다. 올바른 소행렬을 찾기 위해서는 우선 해당 원소가 포함된 행과 열을 표시합니다. 그러면 다섯 개의 원소가 표시됩니다. 그 다섯개를 제외한 나머지 네 개의 원소가 소행렬을 이룹니다. ^{[3]X출처 검색하기}
- 앞서 사용된 예제에서 두번째 행, 첫번째 열의 원소에 대한 소행렬을 구하려면, 두번째 행과 첫번째 열에 있는 다섯 개의 원소를 표시합니다. 나머지 네 개의 원소가 그에 해당하는 소행렬이 됩니다.
- 도표에서 볼 수 있듯이, 대각선의 원소들을 교차 곱셈 후 빼는 방법으로 모든 소행렬의 행렬식을 계산합니다.
4
여인수 행렬을 구합니다. 앞선 단계에서 구한 소행렬식을 해당하는 원소의 자리에 맞게 정렬하여 여인수 행렬을 생성합니다. (1,1) 위치의 원소를 기준으로 구한 소행렬식은 여인수 행렬의 (1,1) 위치에 대입하는 방식입니다. 그리고 새로 생성된 행렬의 원소의 부호를 도표와 같은 체크무늬 패턴에 따라 번갈아가며 바꿔줍니다. ^{[4]X출처 검색하기}
- 부호를 바꿔줄 때, 첫 행의 첫번째 원소의 부호는 바꾸지 않습니다. 두번째 원소의 부호는 바꿔줍니다. 세번째 원소의 부호는 바꾸지 않습니다. 행렬의 모든 원소에 같은 방식을 적용합니다. 도표의 체크무늬 패턴에 있는 더하기와 빼기 표시는 그 자리에 해당하는 원소의 부호가 양수 또는 음수가 된다는 뜻이 아닙니다. 더하기 표시는 기존의 부호를 유지한다는 뜻이며, 뺴기 표시는 기존의 부호를 바꾼다는 뜻입니다.
- 이번 단계의 최종 결과는 처음 주어진 행렬의 수반행렬입니다. 간혹 고전적 수반행렬 이라고도 합니다. 행렬 M 의 수반행렬은 Adj(M) 으로 표기합니다.
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수반행렬의 각 원소를 행렬식으로 나눕니다. 첫번째 단계에서 (역행렬의 존재유무를 판단하기 위해) 계산했던 행렬 M 의 행렬식을 확인합니다. 수반행렬의 각 원소를 그 행렬식 값으로 나눕니다. 나눈 값을 해당하는 원소의 자리에 맞춰서 배치합니다. 그 결과가 처음 주어진 행렬의 역행렬입니다. ^{[5]X출처 검색하기}
- 도표에 나온 예제의 행렬식은 1 입니다. 그러므로 수반행렬의 각 원소를 행렬식으로 나눠도 그대로 수반행렬 그 자신과 같습니다 (계산이 항상 이렇게 쉽게 나오는 것은 아닙니다).
- 몇몇 다른 출처에는 각 원소를 나누는 대신에 1/det(M) 를 곱하라고 표기되어 있습니다. 그 둘은 수학적으로 같은 연산입니다.
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방법 2

방법 2 의 3:

가우스 소거법을 이용하여 역행렬 구하는 방법

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단위행렬을 주어진 행렬에 붙여씁니다. 문제의 행렬 M 을 쓰고, 그 행렬의 오른쪽에 세로 나눔선을 긋고, 그 오른쪽에 단위행렬을 씁니다. 그리하면 3x6 행렬이 만들어집니다. ^{[6]X출처 검색하기}
- 단위행렬은 왼쪽 위부터 오른쪽 아래로 이어지는 주대각선의 원소들은 1 이며 나머지 원소들은 0 인 특별한 행렬입니다.
2
가우스 소거법을 적용합니다. 여기서 목표는 앞서 생성된 큰 행렬의 왼쪽을 단위행렬로 만드는 것입니다. 왼쪽에 가우스 소거법을 적용할 때, 단위행렬로 시작하는 오른쪽에도 같은 연산을 지속적으로 적용해야 합니다. ^{[7]X출처 검색하기}
- 가우스 소거법은 스칼라 곱셈 및 행 덧셈 뺄셈을 조합하여 행렬 각각의 원소를 분리합니다.
앞서 구한 큰 행렬의 왼쪽이 단위행렬 (주대각선 원소들은 1, 나머지 원소들은 0) 이 될 때까지 가우스 소거법을 적용합니다. 왼쪽이 단위행렬이 되었을 때 세로 나눔선의 오른쪽이 처음 주어진 행렬의 역행렬이 됩니다. ^{[8]X출처 검색하기}
세로 나눔선 오른쪽에 있는 원소들이 처음 주어진 행렬의 역행렬입니다. ^{[9]X출처 검색하기}
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방법 3

방법 3 의 3:

계산기를 이용하여 역행렬 구하는 방법

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기본적인 사칙연산 계산기로 역행렬을 직접 구할 수는 없습니다. 하지만, 텍사스 인스트루먼트의 TI-83 또는 TI-86 같은 고급 그래프 계산기는 행렬 계산에 필요한 반복적인 연산을 대폭 줄여줍니다. ^{[10]X출처 검색하기}
우선 계산기에 행렬 버튼이 있다면 눌러서 행렬 모드에 들어갑니다. 텍사스 인스트루먼트 계산기의 경우 2^nd 를 누르고 Matrix 를 누릅니다.
하위 메뉴를 선택하려면 사용중인 계산기의 버튼 배열에 따라 화살표 버튼을 누르거나 계산기 키패드 위에 위치한 적절한 기능 버튼을 선택합니다. ^{[11]X출처 검색하기}
대부분의 계산기는 3개에서 10개 까지의 행렬을 A 부터 J로 저장할 수 있습니다. 일반적으로 [A] 를 선택합니다. 선택 후 엔터키를 누릅니다. ^{[12]X출처 검색하기}
이 위키하우 페이지는 3x3 행렬만 다루고 있습니다. 하지만, 계산기로 더 큰 행렬 계산이 가능합니다. 행의 갯수를 입력하고 엔터키를 누르고, 열의 갯수를 입력하고 엔터키를 누릅니다. ^{[13]X출처 검색하기}
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행렬의 각 원소를 입력합니다. 계산기 화면에 행렬이 보일 것입니다. 이전에 행렬 기능을 사용했다면, 그 때 입력했던 행렬이 화면에 뜰 것입니다. 커서가 행렬의 첫번째 원소를 가리킬 것입니다. 역행렬을 구하고자 하는 행렬의 원소 값을 입력하고 엔터키를 누릅니다. 커서가 기존에 입력됬던 숫자를 덮어쓰고 자동으로 행렬의 다음 원소로 이동합니다. ^{[14]X출처 검색하기}
- 음수를 입력하고 싶다면 계산기의 음수 버튼 (-) 을 사용해야 하며, 뺄셈 버튼을 사용하지 않도록 합니다. 뺄셈 버튼을 사용하면 행렬 모드에서 숫자를 정확하게 읽을 수 없습니다.
- 필요에 따라 계산기의 화살표 키를 이용하여 행렬 내에 원하는 곳으로 커서를 이동할 수 있습니다.
행렬의 모든 원소 값을 입력한 후, Quit 키 (또는 상황에 따라 2^nd + Quit) 를 누릅니다. 그리하면 행렬 모드를 종료하고 계산기의 메인 화면으로 돌아오게 됩니다. ^{[15]X출처 검색하기}
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역연산 키를 이용하여 역행렬을 구합니다. 우선, 행렬 모드로 다시 들어가서 Names 버튼을 눌러 주어진 행렬을 정의했던 알파벳을 선택합니다 (아마 [A] 일 것입니다). 선택 후, 계산기의 역연산 버튼 $x^{-1}$ $How.com.vn 한국어: {\displaystyle x^{-1}}$ 을 누릅니다. 사용중인 계산기에 따라2^nd 버튼이 필요할 수 있습니다. 계산기 화면에 $A^{-1}$ $How.com.vn 한국어: {\displaystyle A^{-1}}$ 라고 표시됩니다. 엔터를 누르면 역행렬이 화면에 표시됩니다. ^{[16]X출처 검색하기}
- 역행렬을 계산할 때 계산기의 ^ 버튼을 사용해 A^-1 로 입력하지 않도록 합니다. 행렬에는 사용할 수 없는 연산입니다.
- 역연산 버튼을 입력했을 때 에러 메세지가 뜬다면 주어진 행렬의 역행렬이 존재하지 않을 가능성이 있습니다. 주어진 행렬의 행렬식을 계산해서 확인합니다.
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역행렬을 정확한 값으로 나타냅니다. 계산기로 계산한 첫 계산값은 소수로 나옵니다. 이것은 대부분의 경우 “정확한” 값으로 간주되지 않습니다. 필요에 따라 소수를 분수로 변환해야 합니다 (운이 좋다면 모든 값이 정수로 나올 수도 있지만 드문 경우입니다). ^{[17]X출처 검색하기}
- 자동으로 소수를 분수로 변환하는 기능이 있는 계산기도 있습니다. 예를 들어, TI-86 계산기에서 Math 모드에 들어가서 Misc 를 선택한 후 Frac 을 선택하고 엔터를 누릅니다. 그러면 소수가 자동으로 분수로 표시됩니다.
대부분의 그래프 계산기는 네모 괄호 (TI-84 에서 “2nd“ + “x” 와 “2nd“+ “-“ ) 를 이용해 행렬 모드로 들어가지 않고 행렬 계산을 할 수 있습니다. 주의: 계산기는 엔터/등호 버튼을 누르기 전까지 행렬을 정렬하지 않습니다 (모든 원소들이 한 줄에 표시되어 알아보기 쉽지 않습니다).
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팁

위의 방법을 이용하여 숫자로 구성된 행렬 뿐 아니라 변수, 미지수 또는 수식으로 구성된 행렬의 역행렬 또한 구할 수 있습니다.
계산 방법에 상관없이 M 을 M^-1 에 곱해서 계산 결과를 확인합니다. 계산했을 때 M*M^-1 = M^-1*M = I 가 성립하는지 확인해야 합니다. 여기서 I 는 주대각선 원소들은 1 이며 나머지 원소들은 0 인 단위행렬을 말합니다. 성립하지 않는다면 위의 과정 어딘가에서 계산 실수가 있었다는 뜻입니다.
3x3 행렬의 역행렬 계산이 암산으로는 굉장히 어렵기 때문에 모든 과정을 써가며 계산합니다.
30x30 크기의 행렬까지 역행렬을 계산해주는 컴퓨터 프로그램이 있습니다. ^{[18]X출처 검색하기}