3x3 행렬의 행렬식 구하는 방법

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행렬식 구하는 방법

계산을 더 간소화 하는 방법

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행렬의 행렬식은 미적분학, 선형대수학, 기하학에서 자주 사용됩니다. 행렬식을 구하는 방법은 처음에는 복잡해 보일 수 있지만, 여러 번의 연습을 거친다면 쉽게 구할 수 있습니다.

단계

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파트 1 의 2:

행렬식 구하는 방법

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   주어진 3x3 행렬을 확인합니다. 3x3 행렬 A의 행렬식 |A| 를 계산하는 방법을 설명합니다. 일반적인 행렬 표기법 및 사용할 예제는 다음과 같습니다:

   • $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
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   한 행 또는 열을 선택합니다. 선택한 행, 또는 열이 기준이 됩니다. 어떤 선택을 하던 결과는 같습니다. 이번 예제에서는 첫 번째 행을 선택합니다. 쉬운 계산을 위한 기준 행 또는 열 선택 방법은 추후에 설명합니다.

   • 예제로 사용할 행렬 A 의 첫 번째 행을 선택합니다. 1, 5, 3 을 표시합니다. 행렬 표기법으로 설명하자면 a₁₁ a₁₂ a₁₃ 를 뜻합니다.
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   첫 번째 원소가 속한 행과 열을 제거합니다. 앞서 선택한 행 또는 열에서 첫 번째 원소를 선택합니다. 그 원소가 속한 행과 열을 제거합니다. 그러면 네 개의 숫자가 남았을 것입니다. 남은 네 개의 숫자를 2x2 행렬로 간주합니다.

   • 예제에서 기준 행은 1 5 3 입니다. 첫 번째 원소는 첫 번째 행의 첫 번째 열에 있습니다. 첫 번째 행과 첫 번째 열의 모든 원소를 제거합니다. 남은 원소들을 2 x 2 행렬로 씁니다:
   •  1  5 3
      2  4 7
      4  6 2
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   2x2 행렬의 행렬식을 계산합니다. 행렬 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 의 행렬식은 “ad - bc “ 입니다. 2x2 행렬에 X 자를 그리는 방법으로 배웠을 것입니다. X 자에서 \ 로 연결된 두 숫자를 곱합니다. 그리고 / 로 연결된 두 숫자를 곱한 값을 뺍니다. 이 공식을 이용하여 이전 단계에서 얻은 행렬의 행렬식을 구합니다.

   • 예제에서 ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$의 행렬식은 4 * 2 - 7 * 6 = -34 가 됩니다.
   • 이 행렬식을 해당 원소에 대한 “소행렬식”이라고 합니다. 이 경우 a₁₁의 소행렬식을 계산한 것입니다.
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   소행렬식을 그에 해당하는 원소와 곱합니다. 제거할 행과 열을 결정할 때, 기준 행 또는 열에서 선택했던 원소를 확인합니다. 이 원소를 이전 단계에서 구한 2x2 행렬의 행렬식과 곱합니다.

   • 예제에서 a₁₁를 선택했는데, 이 원소의 값은 1 입니다. 이 값을 -34 (2x2 행렬의 행렬식) 과 곱하면 1 x -34 = -34 가 나옵니다.
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   구한 값의 부호를 결정합니다. 그 다음, 계산한 값에 1 또는 -1 을 곱해서 선택한 원소의 “여인수”를 구합니다. 선택했던 원소의 3x3 행렬 상 위치에 따라 곱할 값이 정해집니다. 부호 변화를 알려주는 아래의 부호 차트를 암기합니다:

   • + - +
     - + -
     + - +
   • 부호 차트에서 + 에 자리에 해당하는 a₁₁ 를 선택했기 때문에 +1을 곱합니다 (즉, 부호 변화가 없다는 뜻입니다). 그대로 -34 입니다.
   • 다른 방법으로는 (-1)^i+j 공식을 사용할 수 있는데, 여기서 i 는 원소의 행, j 는 열을 말합니다.
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   기준 행 또는 열의 두 번째 원소에 이 과정을 반복합니다. 기준 행 또는 열을 표시해둔 3x3 행렬로 돌아갑니다. 두 번째 원소로 위의 과정을 반복합니다:

   • 원소가 속한 열과 행을 제거합니다. 이 경우 a₁₂ (값이 5 인 원소) 를 선택합니다. 첫 번째 행 (1 5 3) 과 두 번째 열 ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$을 제거합니다.
   • 남은 원소들로 2x2 행렬을 구성합니다. 이번 단계에서 2x2 행렬은 ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$ 가 됩니다.
   • 2x2 행렬의 행렬식을 계산합니다. ad - bc 공식을 이용합니다. (2*2 - 7*4 = -24)
   • 이번 단계에서 선택한 원소를 위 행렬식에 곱합니다. -24 * 5 = -120
   • -1 을 곱해야 하는지 결정합니다. 부호 차트 또는(-1)^i+j 공식을 이용합니다. 선택한 a₁₂는 부호 차트의 “-“ 위치에 있습니다. 그러므로 구한 값의 부호가 바뀌게 됩니다: (-1) x (-120) = 120.
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   세 번째 원소에 대해 위 과정을 반복합니다. 여인수를 하나 더 계산해야 합니다. 기준 행 또는 열의 세 번째 원소에 대한 여인수를 계산합니다. 예제에서 a₁₃ 의 여인수 계산 과정을 아래에 간단하게 설명합니다:

   • 첫 번째 열과 세 번째 행을 제거하여 ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$를 구합니다.
   • 이 행렬의 행렬식은 2*6 - 4*4 = -4 입니다.
   • 행렬식에 a₁₃을 곱합니다: -4 * 3 = -12.
   • 원소 a₁₃ 은 부호 차트에서 + 위치에 있기 떄문에 여인수는 -12 입니다.
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   구한 세 값을 모두 더합니다. 이것이 마지막 단계입니다. 한 행 또는 열의 세 원소에 대한 여인수를 각각 계산했습니다. 이 세 값을 모두 더하면 주어진 3x3 행렬의 행렬식이 됩니다.

   • 예제에서 행렬식은 -34 + 120 + -12 = 74 입니다.
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파트 2

파트 2 의 2:

계산을 더 간소화 하는 방법

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   0을 가장 많이 포함한 기준 행 또는 열을 선택합니다. 아무 행이나 열을 선택할 수 있다는 점을 명심합니다. 선택에 관계없이 결과는 항상 같습니다. 0 이 포함된 행이나 열을 선택한다면, 0 이 아닌 원소에 대한 여인수만 계산하면 됩니다. 이유는 다음과 같습니다:

   • 원소 a₂₁, a₂₂, and a₂₃가 있는 두 번째 행을 선택했다고 가정합니다. 행렬식 계산을 위해 3개의 2x2 행렬을 고려해야 합니다. 2x2 행렬들을 A₂₁, A₂₂, A₂₃ 라고 하겠습니다.
   • 3x3 행렬의 행렬식은a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃| 입니다.
   • 만약a₂₂ 와 a₂₃ 둘 다 0 이라면, 위의 공식은a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁| 가 됩니다. 그러면 결국 한 원소의 여인수만 계산하면 됩니다.
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   행 연산으로 계산하기 쉬운 형태의 행렬로 변환합니다. 한 행의 값을 다른 행에 더해도 행렬식은 변하지 않습니다. 열에도 마찬가지로 적용되는 특성입니다. 반복적인 행 또는 열 덧셈으로 (더하기 전에 상수를 곱해도 무방합니다) 최대한 많은 0 을 만들어냅니다. 이 과정은 계산 시간을 크게 단축시킵니다.

   • 예를 들어, 다음과 같은 3x3 행렬이 있습니다: ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$
   • a₁₁ 자리에 있는 9 를 없애기 위해, 두 번째 행에 -3 을 곱한 후, 그 결과를 첫 번째 행에 더할 수 있습니다. 그러면 첫 번째 행은 [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2] 가 됩니다.
   • 새 행렬은 ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ 가 됩니다. 같은 방법을 열에 적용하여 a₁₂ 를 0 으로 변환합니다.
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   삼각행렬의 경우 더 손쉽게 구할 수 있는 방법을 배웁니다. 삼각행렬이란 특수한 경우에 행렬식은 왼쪽 위 a₁₁부터 오른쪽 아래 a₃₃로 이어지는 주대각선의 모든 원소를 곱한 값입니다. 여전히 3x3 행렬이지만 “삼각행렬”은 0이 아닌 원소의 위치가 독특한 행렬입니다:

   • 상삼각행렬: 0 이 아닌 모든 원소들은 주대각선 또는 그 위에 위치합니다. 주대각선 아래의 원소는 모두 0 입니다.
   • 하삼각행렬: 0 이 아닌 모든 원소들은 주대각선 또는 그 아래에 위치합니다. 주대각선 위의 원소는 모두 0 입니다.
   • 대각행렬: 0 이 아닌 모든 원소들은 주대각선에 위치합니다 (특수한 삼각행렬의 경우입니다).
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팁

• 한 행 또는 열의 모든 원소가 0 이면, 행렬식 또한 0 입니다.
• 이 방법은 모든 크기의 정사각행렬에 적용됩니다. 예를 들어, 4x4 행렬의 경우 선택한 원소가 속한 행과 열의 원소를 제거하는 단계를 거치면 3x3 행렬이 나오며, 3x3 행렬식은 이 문서에서 설명한 방법으로 구할 수 있습니다. 손으로 계산하기에는 굉장히 복잡할 수 있다는 점 주의하세요!

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