피타고라스의 정리 사용하는 법

피타고라스의 정리는 직각삼각형의 각 변의 길이를 공식화 시킨 것으로 간결하면서도 실질적인 면이 있어 현재 많은 분야에서 사용되고 있는 공식이다. 이 정리는 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이의 제곱의 합이 빗변의 길이의 제곱과 같음을 설명하고 있다. 수식으로 쓰자면 한 직각삼각형의 빗변을 c, 직각을 낀 두 변을 각각 a, b라고 했을 때, a² + b² = c²로 표현할 수 있다. 피타고라스 정리의 증명은 교과과정에 포함되어 있는 기하학의 기초라고 할 수 있으며, 피타고라스 공식 그 자체는 수학을 공부함에 있어 수도 없이 쓰게 되는 공식이기도 하다. 피타고라스 공식이 실제 문제에 적용되는 예로는 좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 구할 때 피타고라스 공식으로 사용해 간단히 답을 구하는 것 등이 있겠다.

방법 1

방법 1 의 2:

직각삼각형 확인하기

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먼저 삼각형이 직각삼각형인지 확인하기. 피타고라스 정리는 직각삼각형에만 적용된다. 따라서 다음 단계로 넘어가기 전에 일단 주어진 삼각형이 직각삼각형의 정의에 들어맞는지 확인하도록 하자. 직각삼각형의 정의는 간단한데, 삼각형의 각 하나가 직각이기만 하면 된다. 즉 90도가 되면 된다는 말이다.
- 눈으로 쉽게 볼 수 있도록, 보통 직각은 작은 사각형으로 표시되곤 한다. 다른 각이 "곡선"으로 표현되는 것과 비교하면 쉽게 눈에 띌 것이다. 삼각형의 한 쪽에 이런 직각을 의미하는 사각형이 있는지 살펴보아라.
피타고라스 정리를 사용하기 위해서는 각 변에 a, b, c를 배정해야 한다. 직각을 낀 두 변이 a와 b가 될 것이며, 빗변이 c가 된다. 빗변은 직각삼각형에서 가장 긴 변으로, 항상 직각을 마주보는 변이 될 것이다. 따라서 각 변에 a, b, c를 쓰기 전에 일단 가장 긴 변은 놔두고 짧은 변 두 군데에 a와 b를 각각 써주면 된다. 참고로 a와 b는 바뀌어도 상관없으니 원하는대로 쓰도록 하자. 마지막으로 남은 하나의 변 위에 c를 쓰면 이 단계는 끝이다.
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구하는 변 알기. 피타고라스 공식은 직각삼각형에서 "다른 두 변"의 길이를 알 때 "나머지 한 변"의 길이를 구할 수 있게 도와주는 식이다. 따라서 위에서 정한 a, b, c중에 어떤 변이 구해야 하는 변인지 확실히 알고 문제를 푸는 것이 좋다. 어느 변의 길이가 주어졌고 어느 변의 길이를 모르는지 잘 모르면 다음 단계로 넘어가도 의미가 없을 것이다.
- 예를 들어 빗변이 5이고 직각을 낀 두 변 중 한 변의 길이가 3인 직각삼각형이 있다고 하자. 그러면 자연스럽게 값이 주어지지 않은 변은 직각을 낀 나머지 한 변이 될 것이다. 이 변을 제외한 값은 이미 알고 있기 때문에 공식을 적용시킬 준비는 끝났다고 보면 된다. 나머지는 아래 단계에서 이 값을 가지고 문제를 푸는 과정을 참고하도록 하자.
- 만약 직각삼각형의 "두 변"의 길이가 주어지지 않았다면 피타고라스 정리를 사용하기 전에 먼저 나머지 한 변의 길이를 알아내야 할 필요가 있다. 삼각함수를 이용해 문제를 풀 수도 있으니 한 번 검색해보도록 한다.
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공식에 주어진 값 대입하기. 일단 알고 있는 값, 문제에서 주어진 값을 다음 공식에 대입하자. a² + b² = c². 다시 강조하자면 a와 b는 직각을 낀 두 변의 길이이며, c가 빗변의 길이이다.
- 아까 위에서 언급했던 직각삼각형을 예로 들어보도록 하자. 빗변의 길이가 5이고 나머지 한 변의 길이가 3인 직각삼각형의 경우에는 피타고라스 공식에 값을 대입했을 때 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다. 3² + b² = 5²
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제곱 계산하기. 공식을 풀기 위해서는 먼저 주어진 값의 제곱값을 구할 필요가 있다. 물론, 제곱상태로 놔두고 나중에 계산하는 것이 더 쉽게 느껴진다면 그렇게 해도 된다.
- 위의 계산과정을 이어하자면 먼저 3과 5를 제곱할 수 있을 것이다. 그러면 9과 25가 나올 것이고 그러면 공식을 9 + b² = 25로 바꿔쓸 수 있다.
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미지수를 등호 반대쪽으로 넘겨 식 정리하기. 개인차가 있지만, 일반적으로 미지수를 식 한 쪽에 모아 정리하면 한 눈에 파악하기 쉽다는 장점이 있다. 따라서 등호의 한 쪽으로 학교에서 배운 수학 내용을 적용시켜 미지수를 넘기도록 하자. 예를 들어 빗변의 길이 c를 계산하고 있다면, 피타고라스의 정리에 의해 이미 식의 우변에 따로 미지수가 떨어져 있을 것이지만, 다른 변의 길이가 미지수라면 식의 좌변에 정수와 함께 끼어있을 것이다. 이를 분리하도록 하자.
- 우리 식에서는 9 + b² = 25이었으므로, b²를 먼저 분리하도록 한다. 양변에서 9를 빼면 b² = 16가 나온다.
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양변의 제곱근을 구하기. 위 과정을 따라 식을 정리했으면, 이제 식의 한 변에는 미지수가 제곱된 상태로 분리되어 있을 것이고, 다른 한 쪽에는 남은 숫자의 합, 혹은 숫자의 합이 제곱 상태로 위처럼 쓰여 있을 것이다. 숫자는 계산하고 양변에 루트를 씌워 제곱근의 값을 구해보도록 하자. 그러면 구하는 변의 길이가 나올 것이다.
- 우리에게 주어진 식을 다시 보도록 하자. b² = 16이다. 따라서 양변에 루트를 씌워 제곱근의 값을 구하면 b = 4가 된다. 따라서 구하려던 변의 길이는 4가 된다.
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피타고라스 정리를 실생활 속의 직각삼각형에 적용시키기. 피타고라스 정리가 아직까지도 널리 쓰이는 이유는 실제로 우리 생활 속의 여러 상황에 적용될 수 있기 때문이다. 그렇다면 어떤 경우에 이 정리를 사용할 수 있을까? 직선으로 된 물체나 선 두 개가 만나 직각을 이루고 직각과 마주보는 빗면이 있는 상황이라면 언제든지 피타고라스 정리를 써서 주어지지 않은 한 변의 길이를 알아낼 수 있다.
- 약간 난이도가 있는 실생활 문제를 풀어보도록 하자. 벽에 기대고 있는 사다리가 있다고 하자. 사다리의 아랫쪽에서 벽까지의 직선 거리는 5m이다. 그리고 사다리의 윗쪽 끝이 닿는 부분부터 바닥까지의, 즉 벽의 높이는 20m이다. 그러면 사다리의 실제 길이는 얼마겠는가?
  - "사다리의 아랫쫏부터 벽까지의 길이가 5m", "사다리 윗쪽 끝부터 바닥까지의 높이가 20m"라는 점을 삼각형에 적용시켜 생각해보자. 먼저 벽과 땅은 직각을 이루고 있을 것이므로, 직각을 낀 두 변의 길이가 주어졌다고 볼 수 있겠다. 이 글 처음에 언급했던 것처럼 먼저 삼각형의 직각을 낀 변에 기호를 배정하면 a = 5, b = 20이라고 쓸 수 있을 것이다. 그리고 사다리의 길이는 삼각형의 빗면이 될테니 c라고 쓰면 될 것이다. 이제 피타고라스 정리를 적용해보자:
    - a² + b² = c²
    - (5)² + (20)² = c²
    - 25 + 400 = c²
    - 425 = c²
    - sqrt(425) = c
    - c = 20.6가 나오므로 사다리의 길이는 대략 20.6m가 될 것이다.
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방법 2

방법 2 의 2:

XY좌표계에서 두 점 사이의 거리 계산하기

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XY좌표계의 두 점 정의하기. 피타고라스 정리는 XY좌표평면에 위치한 두 점 사이의 거리를 쉽게 계산하고 싶을 때도 사용할 수 있다. 이 때 필요한 정보는 딱 두 가지인데, 두 점의 x, y좌표만 알면 된다. 보통 문제에서는 두 점의 좌표가 (x, y)의 형태로 주어질 것이다.
- 두 점 사이의 거리를 구하기 위해 일단 두 점을 위 그림처럼 직각삼각형의 빗변을 형성하는 두 점이라고 가정할 필요가 있다. 그렇게 하면 직각삼각형의 변 a와 b의 길이를 쉽게 구할 수 있으며, 따라서 빗변 c의 길이가 두 점 사이의 거리가 될 것이다.
일반적인 XY좌표평면에서는 각 점 (x, y)의 x는 x축의 위치를 의미하며, y는 y축의 위치를 나타낸다. 이 두 점을 좌표평면에 그리지 않고도 거리를 구할 수는 있겠지만, 좌표평면에 점을 찍어 놓으면 시각적으로 대략적인 거리를 확인할 수 있기 때문에 오답이 나왔는지 판별하기가 쉬워질 것이다.
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삼각형의 변 a, b길이 구하기. 두 점을 이은 선분이 직각삼각형의 평면이 된다고 생각하면 변 a와 b의 길이를 구하는 것은 좌표평면에 찍힌 점을 보고 쉽게 구할 수 있을 것이다. 직접 눈으로 보고 길이를 구하거나 아니면 다음 공식들을 통해 구해보도록 하자. x축에 평행인 변의 길이는 |x₁ - x₂|로 구할 수 있고, y축과 평행인 변의 길이는 |y₁ - y₂|를 통해 구할 수 있다. (x₁,y₁)가 첫 번째 점이 될 것이며, (x₂,y₂)가 두 번째 점이 될 것이다.
- 우리에게 주어진 두 좌표가 각각 (6,1), (3,5)라고 하자. 먼저 직각삼각형의 밑변 길이는 다음과 같이 구할 수 있다:
  - |x₁ - x₂|
  - |3 - 6|
  - | -3 | = 3
- 이제 높이를 구해보자. 다음 과정을 통해 구할 수 있다:
  - |y₁ - y₂|
  - |1 - 5|
  - | -4 | = 4
- 따라서 우리에게 주어진 직각삼각형의 직각을 낀 변 a, b의 길이는 다음과 같다. a = 3, b = 4.
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피타고라스 공식으로 빗변 길이 구하기. 두 점 사이의 길이는 직각삼각형에서 빗변의 길이가 될 것이다. 따라서 피타고라스 정리가 적용가능해지는데 먼저 위에서 구한 밑변의 길이를 a에 대입하고 높이를 b에 대입하면 자연스럽게 빗변의 길이 c를 구할 수 있을 것이다.
- 문제를 계속해서 풀어보자면 일단 주어진 좌표 (3,5), (6,1)를 놓고 보았을 때 밑변의 길이가 3, 높이가 4임을 알 수 있다. 따라서 피타고라스 정리를 적용시키면 아래와 같다:
  - (3)²+(4)²= c²
    c= sqrt(9+16)
    c= sqrt(25)
    c= 5. 따라서 점 (3,5)과 점 (6,1) 사이의 거리는 5이다.
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팁

삼각형의 빗변은 다음 성질을 지닌다:
- 직각을 마주보는 변이다(직각과 만나지 않는다).
- 직각삼각형의 가장 긴 변이다.
- 피타고라스 정리의 c가 된다.
식에서 sqrt(x)라고 써있는 것을 보게 되면 "x의 제곱근"이라고 이해하면 된다.
계산 뒤에는 항상 검산을 하는 습관을 들이자. 답이 틀린 것 같으면 과정을 반복해 답을 다시 구해보자.
삼각형의 가장 긴 변은 항상 가장 큰 각을 마주보고 있으며, 가장 짧은 변은 가장 작은 각을 마주보고 있다.
삼각형의 직각삼각형이 아니라면 빗변이 아닌 두 변의 길이만 가지고는 문제를 풀 수 없다.
그림이 꼭 필요한 것은 아니지만, 그림이나 그래프같이 시각적인 요소를 동원해 삼각형의 변 a, b, c등을 배정하게 되면 오답이 나오더라도 쉽게 검산해 어느 부분이 틀렸는지 계산할 수 있다. 따라서 문제가 주어졌을 때 그래프를 그리는 습관을 기르도록 한다.
한 쪽 변의 길이만 주어졌다면 피타고라스 정리로는 문제를 풀 수 없다. 대신 삼각함수 (sin, cos, tan), 혹은 삼각비를 통해 구해보도록 하자.