Yの切片を求める方法

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Yの切片とは、方程式で表されたグラフにおける線とY軸の交差する点を意味しています。^{[1]X出典文献} yの切片を求めるにはいくつかの方法があるので、判明している情報に基づいて適したものを選びましょう。

方法 1

方法 1 の 3:

傾きと座標をもとにする

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傾きと座標をメモする^{[2]X出典文献}　傾き（勾配）は線の傾きの度合いを示した数字です。 ^{[3]X出典文献} 傾きが既に与えられている問題ではx軸とy軸の座標も同様に分かっているはずです。この両方が揃っていない場合は他の方法を試しましょう。
- 例1：傾きが2、座標が (-3, 4)の直線があると仮定しましょう。下記の手順を用いて、この直線におけるYの切片を求めましょう。
いかなる直線も y = mx + bという式で表すことができます。ｍが傾き、bがyの切片となります。
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数字を当てはめる　方程式を書き写しましょう。ただし、ｍの代わりに実際の傾きの数値を当てはめてみましょう。
- 例1の続き： y = mx + b
  m = 傾き = 2
  y = 2x + b
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xとyをそれぞれ座標の数値に置き換える　座標が分かっている場合はxとyの数値をそれぞれ方程式に当てはめましょう。例1で試してみましょう。
- 例1の続き 直線上の座標 (3, 4) が与えられています。x = 3 、さらにy = 4となります。
  それぞれ次のように式に当てはめましょう。 y = 2x +bなので
  4 = 2(3) + bとなります。
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bを求める　方程式のbがyの傾きにあたります。方程式の中で判明していない項がbのみとなったので、計算を行いbを求めましょう。
- 例1の続き： 4 = 2(3) + b
  4 = 6 + b
  4 - 6 = b
  -2 = b
  この直線のyの切片は -2です。
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座標として書き留める　yの切片とは線がy軸と交差する点を意味しています。y軸はx=0に位置しているのでyの切片を示す座標のxは常にゼロとなります。
- 例1の続き： yの切片は-2だったので、座標は(0, -2)となります。
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方法 2

方法 2 の 3:

2つの座標を用いる

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2つの点の座標をメモする^{[4]X出典文献}　直線の2つの点の座標しか明らかになっていない場合は、この方法を用いましょう。^{[5]X出典文献} どちらも (x,y) という風に書き留めます。
- 例2： (1, 2) と (3, -4)という2つの座標が明らかになっている直線があると仮定しましょう。下記の手順に従いyの切片を求めます。
2
yの増加量、xの増加量を求める　傾きとはxが水平方向に1増えた時のyの増えた度合いを意味しています。「割合の変化＝yの増加量÷xの増加量」という公式に聞き覚えがある人もいるでしょう。次のように求めます。
- 「yの増加量」とは垂直方向の変化の度合い、つまり2つの座標のyの差異です。
- 「xの増加量」とは水平方向の変化の度合い、つまり2つの座標のxの差異となります。
- 例2の続き： 2つの座標のyの数値はそれぞれ2と-4 だったのでyの増加量は(-4) - (2) = -6となります。
  同様に2つの座標のxの数値は1と3だったので、3 - 1 = 2 となります。
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yの増加量をxの増加量で割る　2つの値が算出されたので「yの増加量÷xの増加量」に当てはめて傾きを求めましょう。
- 例2の続き： 傾き = yの増加量÷xの増加量 = ${\frac {-6}{2}}=$ -3
直線は y = mx + bという方程式で表すことができます。mが傾き、bがyの切片となります。ここまでの手順でmと (x, y) の座標が分かっているので、方程式に当てはめてyの切片を求めましょう。
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傾きと座標を当てはめる　傾きの数値を利用して方程式のmを置き換えます。さらに、2点のうちの1点の座標を用いてxとyを置き換えます。どちらの座標を用いてもかまいません。
- 例2の続き： y = mx + b
  傾き = m = -3、つまり y = -3x + b
  座標(x, y) が (1, 2) の場合は2 = -3(1) + b となります。
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bを求める　方程式の中で値が分からない項はyの切片、つまりbのみとなりました。bを求められるように計算式を解いていきましょう。yの切片のxの座標は常にゼロとなることを忘れないようにしましょう。
- 例2の続き：2 = -3(1) + b
  2 = -3 + b
  5 = b
  yの切片は (0, 5) です。
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方法 3

方法 3 の 3:

方程式を用いる

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与えられている方程式をメモする　既に線の方程式が用意されている場合は、簡単な一次関数を用いてyの切片を求めることができます。^{[6]X出典文献}
- 例3： x + 4y = 16という式のyの切片を求めましょう。
- 例3は直線です。二次方程式（値が2乗になっているもの）を用いる場合は最後に記載されている手順を参考にしましょう。
2
xにゼロを当てはめる　y軸はx=0 となります。つまりy軸のx座標は直線のyの切片を含むすべての点で、ゼロということを意味していています。方程式のxをゼロに置き換えましょう。
- 例3の続き： x + 4y = 16
  x = 0
  0 + 4y = 16
  4y = 16
3
yを求める　答えがyの切片となります。
- 例3の続き： 4y = 16
  ${\frac {4y}{4}}={\frac {16}{4}}$
  y = 4
  yの切片は4です。
答えを確かめるために、できる限り正確にグラフに表してみましょう。直線がy軸と交差する点がyの切片です。
5
二次方程式のyの切片を求める　二次方程式にはxやyが二乗されている項が含まれています。同じ方法で置き換えてyを求めることが可能ですが、二次方程式は曲線を描きます。つまり、ゼロと1、あるいは2か所の座標でy軸と交わることもあります。答えもゼロ、1、あるいは2つになります。
- 例4： $y^{2}=x+1$ のyの切片を求めましょう。 x = 0 に置き換えて二次方程式を解きましょう。
  この場合、 $y^{2}=0+1$ から平方根を取ることで解決します。ただし、平方根を取る際は正の数、負の数2通りの答えを用意することを忘れないようにしましょう。
  ${\sqrt {y^{2}}}={\sqrt {1}}$
  y = 1 あるいは y = -1となります。どちらも、この曲線のyの切片です。
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ポイント

国によってはy = mx + bという方程式を用いる際、bの代わりにｃといった異なるアルファベットが用いられていることもあります。方程式の本質に代わりはなく、ただ書き表し方が異なるというだけです。
方程式がより複雑になっている時は、まずｙを含む項だけが方程式の片側にくるように並べ替えましょう。
2つの座標をもとに傾きを求めるためにxとy の差異をそれぞれ求める時、どちらの座標を先にして引き算を行っても構いませんが、xとyで順序を統一する必要があります。^{[7]X出典文献} 例えば、 (1, 12) と (3, 7) という2つの座標から傾きを求める際は、次の2通りの方法があります。
- 2つ目の数値 - 1つ目の数値で統一する： ${\frac {7-12}{3-1}}={\frac {-5}{2}}=-2.5$
- 1つ目の数値 - 2つ目の数値で統一する： ${\frac {12-7}{1-3}}={\frac {5}{-2}}=-2.5$