角度を計算する方法

幾何学において角とは、端点（頂点）を同じとする2つの直線（線分）の間の空間を指しています。この空間の大きさを測る最も一般的な方法が角度で、完全な円は360度となります。多角形の内側の角度を測る際は、その多角形の種類と求める必要のある角以外の角度が必要です。直角三角形の場合は3辺の内2辺が分かっていれば角度を求めることができます。また、分度器やグラフ計算機を用いる方法もあります。

方法 1

方法 1 の 2:

多角形の内角を計算する

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多角形の辺の数を数える　内角の角度を計算するには、まずその多角形がいくつの辺で構成されているのかを把握する必要があります。多角形は辺と、辺と同数の角で構成されているということを覚えておきましょう。^{[1]X出典文献}
- 例えば、三角形とは3つの辺と3つの内角で構成されていて、四角形とは4つの辺と4つの内角で構成されています。
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多角形の内角の角度の合計を見つける　角度の合計を求めるには、(n – 2) x 180という計算式を用います。ここでの「n」とは多角形を構成する辺の数を意味しています。また、最も一般的な多角形の角度の合計は下記の様になっています。^{[2]X出典文献}
- 三角形（3辺からなる多角形）の角度の合計は180度
- 四角形（4辺からなる多角形）の角度の合計は360度
- 五角形（5辺からなる多角形）の角度の合計は540度
- 六角形（6辺からなる多角形）の角度の合計は720度
- 八角形（8辺からなる多角形）の角度の合計は1080度
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正多角形角度の合計を角度の数で割る　正多角形とは、全ての辺の長さと角度の大きさ等しい多角形のことを意味しています。例えば、正三角形の1つの角度は180÷3、つまり60となり、正方形の1つの角度は360÷4、つまり90度となります。^{[3]X出典文献}
- 正三角形や正方形は正多角形です。ワシントンDCにある国防総省の建物ペンタゴン、同じく米国で用いられている止まれの標識もまた正多角形です。
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不ぞろいの多角形の場合は明らかになっている角度の合計を全角度の合計から差し引く　異なる長さの辺や大きさの角度で構成されている多角形から特定の角度を求める場合は、まず明らかになっている角度を全て足しましょう。それを多角形の角度の合計から差し引くと、残りが分からなかった角の大きさとなります。^{[4]X出典文献}
- 例えば、4つの角度のみが明らかになっている五角形があるとしましょう。それぞれ80度、100度、120度、そして140度と仮定します。この4つの角度を合わせると440となります。次にこの合計を五角形の角度の合計（540度）から差し引きます。つまり540－440、つまり100度となります。従って、不明だった角の大きさは100度です。
コツ： 多角形の不明な角度を求める際に、「近道」が存在するものもあります。例えば、二等辺三角形は長さの等しい2つの辺と大きさの等しい2つの角が含まれています。平行四辺形は、対辺同士の長さが等しく平行で、対角線上の角同士が等しいという特徴があります。
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方法 2

方法 2 の 2:

直角三角形の角度を求める

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定義として、明記されていなくても直角三角形には常に直角（90度）が含まれています。つまり、常に1つの角度は分かっていて三角法を用いることで残りの2つの角の大きさも計算することができます。^{[5]X出典文献}
最も長い片を斜辺と呼びます。大きさを求めようとしている角に接している辺は隣辺とよばれ、大きさを求めようとしている角の反対側に位置している辺が対辺となります。このうちの2つの辺の長さを測れば、残りの角の大きさを導き出すことが可能になります。^{[6]X出典文献}
コツ：グラフ計算機を用いると計算式の解を求めたり、sin、cos、 tanといった値の一覧表を確認することができます。
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対辺と斜辺の長さが分かっている場合はsinを利用する　sin (x) = 対辺 ÷ 斜辺という計算式に測った辺の長さを当てはめましょう。例えば、対辺の長さが5、斜辺の長さが10の場合、5を10で割り、0.5となります。xが0.5ということが分かったので、x = sine^-1 (0.5)ということになります。^{[7]X出典文献}
- グラフ計算機がある場合は、0.5と入力してsine^-1を押しましょう。グラフ計算機がない場合は、インターネット上の一覧表を用いて値を見つけましょう。どちらの方法を用いてもx = 30度となるはずです。
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隣辺と斜辺が分かっている場合はcosを用いる　このような場合は、cos(x) = 隣辺÷斜辺という計算式を用います。隣辺の長さが1.666、斜辺の長さが2.0であれば、1.666を2で割り、0.833となります。つまりcos (x) = 0.833 あるいは x = cosine^-1 (0.833)となります。^{[8]X出典文献}
- 0.833をグラフ計算機に入力しcosine^-1を押しましょう。あるいは、一覧表から値を見つけましょう。どちらの場合も33.6度となるはずです。
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対辺と隣辺の長さが分かっている時はtanを利用する　この場合は、tan (x) = 対辺÷隣辺という公式を用います。対辺が例えば75、さらに隣辺が100であるとしましょう。75を100で割るので0.75となります。つまり tan(x) = 0.75、あるいはx = tangent^-1 (0.75)となります。^{[9]X出典文献}
- 一覧表から値を探すか、計算機に0.75と入力しtangent-1を押しましょう。どちらの方法を用いても36.9度となるはずです。
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ポイント

角の名前はその大きさに由来しています。例えば既に説明されているように直角とは90度を意味しています。0度より大きく90度より小さな角を鋭角と呼びます。90度より大きく180度より小さな角を鈍角と呼びます。180度の角は平角、さらに180度を超える角には優角という名前がついています。
合わせて直角になる二つの角を余角と呼びます。つまり、直角三角形における直角以外の2つの角がこれに当てはまります。さらに、合わせると180度を超える2つの角を補角と呼びます。