円の面積を求める方法

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半径を使って面積を求める

直径から円の面積を求める

円周を使って円の面積を求める

扇形の値から円の面積を求める

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記事のサマリー

数学の図形の授業では、与えられた値から円の面積を求める問題がよく出されます。このような問題を解くためには円の面積を求める公式$A=\pi r^{2}$を知っておく必要があります。簡単な公式で、円の面積を求めるために必要になるのは半径だけですが、与えられた値をこの公式に使えるように変換する練習が必要になる場合もあります。

ステップ

方法 1

方法 1 の 4:

半径を使って面積を求める

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   円の半径を特定します。半径とは円の中心から円の端までの長さを表します。円の中心からどの方向へ延びる半径でも長さは同じです。また、半径は直径の半分の長さになります。直径は円の中心を通り、円の端と反対側の端を結んだ線分のことです。

   • 通常、問題では半径が与えられています。円の中心点が記されていなければ、正確な中心点から半径を測るのは難しいでしょう。
   • 与えられた半径が6センチメートルとして、面積を求めてみましょう。
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   半径を2乗します。円の面積を求める公式は次の通りです。$A=\pi r^{2}$、ここで、変数$r$は半径を表します。この変数を2乗します。

   • 誤って式全体を2乗しないように気を付けましょう。
   • この問題の円の半径は$r=6$で、2乗すると$r^{2}=36$です。
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   この値に円周率を掛けます。円周率はギリシャ文字で$\pi$と表され、円周の長さと直径の比率として定義されている数学定数です。$\pi$の近似値として、 通常3.14が使われますが、 正確には小数点以下が無限に続く無理数です。円の面積を正確に表すには、記号$\pi$を使って解答するのが一般的です。

   • 半径が6センチメートルの円の面積の求め方は次の通りです。
     • $A=\pi r^{2}$
     • $A=\pi 6^{2}$
     • $A=36\pi$または、$A=36(3.14)=113.04$
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   解答を書きます。面積には平方単位を使うことを覚えておきましょう。半径の単位がセンチメートルの場合は面積の単位は平方センチメートル、半径の単位がフィートの場合は面積の単位は平方フィートになります。また、計算に記号$\pi$を使うのか、近似値である3.14 を使うのかを確認しておきましょう。わからない場合は、両方の答えを解答用紙に書きましょう。

   • 半径が6センチメートルの円の面積は、36$\pi$ cm² 、もしくは113.04 cm²になります。
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方法 2

方法 2 の 4:

直径から円の面積を求める

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   直径を測るか、確認します。半径が与えられていない問題もあります。その場合は、半径の代わりに円の直径が与えられているかもしれません。問題図に直径が描かれている場合は、定規を使って測ることができます。または、直径の値が与えられている場合もあります。

   • 例として、直径20インチの円の面積を求めてみましょう。
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   直径を2で割ります。直径は半径の2倍であることを思い出しましょう。したがって、与えられた直径の値にかかわらず、それを2で割ると半径になります。

   • この問題で円の直径は20インチなので、半径はそれを2で割った値、すなわち10インチです。
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   円の面積を求める公式を使います。直径から半径を求めたら、円の面積を求める公式$A=\pi r^{2}$を使って、面積を求めましょう。この公式に半径の値を代入し、次のように計算します。

   • $A=\pi r^{2}$
   • $A=\pi 10^{2}$
   • $A=100\pi$
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   面積の値を解答用紙に書きましょう。面積は平方単位を使って表すことを思い出しましょう。この問題では直径の単位がインチなので、半径の単位もインチです。したがって、面積の単位には平方インチを使って解答しましょう。この問題の解答は、$100\pi$平方インチです。

   • $\pi$の代わりに、3.14を使って計算した答えを併記しても良いでしょう。その場合は、100×3.14＝314平方インチになります。
   専門家情報

   

   Grace Imson, MA

   数学講師（サンフランシスコ短期大学）

   グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。

   

   Grace Imson, MA
   数学講師（サンフランシスコ短期大学）

   直径を使って円の面積を求める際、分母を2乗することを忘れるという間違いがよく起こります。直径を2で割って半径を求めなくても円の面積を求めることができますが、その場合は、直径を2乗するように公式を変える必要があり、それを忘れると正しい答えが得られません。

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方法 3

方法 3 の 4:

円周を使って円の面積を求める

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   円周から円の面積を求められるように、円の面積を求める公式を変形します。円周が与えられている場合は、この変形した方程式を使って円の面積を求めることができます。変形した方程式に円周を直接代入すれば、半径を使わなくても円の面積を求められます。円周から円の面積を求める方程式は次の通りです。

   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
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   円周を測るか、確認します。実際の円を扱う際は、直径や半径を正確に測れない場合もあります。直径や円の中心が記されていないと、どこが円の中心かを見極めるのが難しいでしょう。ピザ型やフライパンなど実際の円を扱う際は、直径を測るよりメジャーを使って円周を測るほうが正確な値を得ることができるかもしれません。

   • 例として、円周42センチメートルの円の面積を求めてみましょう。
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   円周と直径の関係に着目して、円の面積を求める公式を変形します。円周は直径に円周率を掛けたものに等しいので、$C=\pi d$となります。ここで、直径は半径の2倍に等しいので、$d=2r$です。この2つの方程式を組み合わせて方程式$C=\pi 2r$を導き出します。次のように計算し、この方程式の片方の辺を変数$r$だけにします。

   • $C=\pi 2r$
   • ${\frac {C}{2\pi }}=r$…..両辺を2$\pi$で割る
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   円の面積を求める公式に代入します。前のステップで導き出した円周と半径の関係を使って、円の面積を求める公式を変形します。円の面積を求める公式に、円周と半径の関係を表す方程式を代入して次のように計算します。

   • $A=\pi r^{2}$…..円の面積を求める公式
   • $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$…..$r$に前ステップの方程式を代入
   • $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$…..分数を2乗
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$…..分母と分子の$\pi$を相殺
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   この新しい方程式を使って面積を求めます。半径ではなく円周を使えるように変形した方程式を用いると、与えられた値を直接代入して面積を求めることができます。この方程式に円周を代入して次のように計算しましょう。

   • この問題で与えられている円周は$C=42$インチです。
   • $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
   • $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$…..円周の値を代入
   • $A={\frac {1764}{4\pi }}$.….42²を計算
   • $A={\frac {441}{\pi }}$…..4で割る
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   解答用紙に答えを書きましょう。与えられた円周が$\pi$の倍数でなければ、答えは分数で$\pi$が分母になります。これで何も問題はありません。円の面積としてこの分数を解答用紙に書くか、3.14で分子を割った値を書きましょう。

   • 円周42センチメートルの円の面積は、${\frac {441}{\pi }}$平方センチメートルです。
   • 3.14を使って計算すると、${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3.14}}=140.4$となり、円の面積は約140平方センチメートルです。
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方法 4

方法 4 の 4:

扇形の値から円の面積を求める

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   与えられている、または判明している値を確認します。与えられた扇形の値から円の面積を求めるという問題もあります。問題文を慎重に読み、与えられた値を確認しましょう。例えば、「円Oの一部である扇形の面積は$\pi$cm²である。円Oの面積を求めよ」などと問題文に書かれているかもしれません。
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   問題文の扇形を特定します。扇形は円の一部分で、円の中心から円周に伸びる2本の半径で定義されています。この2本の半径に挟まれた部分が扇形です。
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   扇形の中心角を測りましょう。分度器を使って、2本の半径がなす扇形の中心角を測ります。分度器の中心点を円の中心に向け、分度器の底辺を半径の1本に合わせます。2本目の半径が当たる部分の目盛りを確認しましょう。

   • 2本の半径がなす角度の大きいほうを測るのか、または小さいほうを測るのかを確認しておきましょう。どの部分を扇形と見なすのかは問題文に定義されているはずです。2本の半径がなす小さい角度と大きな角度を足すと360度になります。
   • 自分で測るのではなく、中心角が与えられている問題もあります。たとえば、「扇形の中心角は45度とする」と書いてあるかもしれません。そうでなければ測る必要があります。
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   扇形の面積と中心角から円の面積を求められるように変形した方程式を使います。扇形の面積と中心角がわかっている場合は、次の方程式を使って円の面積を求めることができます。

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
     • $A_{cir}$は、円の面積です。
     • $A_{sec}$は、扇形の面積です。
     • $C$は、扇形の中心角です。
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   わかっている値を代入して面の面積を求めます。例として、中心角45度、面積15$\pi$の扇形から、円の面積を求めてみましょう。与えられた値を代入して次のように計算します。

   • $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
   • $A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}$
   • $A_{cir}=15\pi (8)$
   • $A_{cir}=120\pi$
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   解答用紙に答えを書きましょう。この問題では、扇形は円全体の1/8です。したがって、円の面積は120$\pi$ cm²になります。問題では扇形の面積が$\pi$を含む値で示されているので、解答もそれに準じた形を取りましょう。

   • 円周率を3.14として計算する場合は、120 x 3.14を計算すると答えは376.8 cm²になります。
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