چگونه عرض از مبدأ را پیدا کنیم

عرض از مبدأ نقطه‌ای است که نمودار معادله‌ی خط محور Y-ها را قطع می‌کند. بسته به اطلاعات اولیه‌ای که در اختیارت قرار می‌گیرد می‌توانی عرض از مبدأ را با روش‌های مختلفی محاسبه کنی.

مراحل

روش 1

روش 1 از 3:

پیدا‌کردن عرض از مبدأ با استفاده از شیب و مختصات یک نقطه

1. 
   1
   شیب خط و مختصات نقطه را بنویس. شیب خط یا همان "تقسیم تفاضل عرض‌ها بر تفاضل طول‌ها" ‌عددی است که میزان انحنای یک خط را نشان می‌دهد. در این نوع مسائل همچنین مختصات یک نقطه (x,y) روی نمودار داده می‌شود. اگر هر دوی این اطلاعات را نداری، از روش‌های دیگر برای حل مسئله استفاده کن.

   • مثال ۱: خطی را با شیب ۲ که مختصات یکی از نقاط آن (۳,۴) است در نظر بگیر. عرض از مبدأ این خط را با استفاده از مراحل زیر پیدا کن.
2. 
   2
   فرمول معادله‌ی شیب خط را یاد ‌بگیر. معادله‌ی خط صاف را می‌توان به‌صورت y = mx + b نوشت. وقتی معادله به این صورت نوشته می‌شود، متغیر m شیب خط و b عرض از مبدأ خط را نشان می‌دهد.
3. 
   3
   شیب خط را در معادله جایگزین کن. معادله‌ی خط را بنویس ولی به‌جای m عدد شیب خط را قرار بده.

   • ادامه‌ی مثال ۱: y = mx + b
     ۲ = شیب = m
     y = ۲x + b
4. 
   4
   مقادیر x و y را با مختصات داده‌شده جایگزین کن. وقتی‌ مختصات یک نقطه از خط داده می‌شود، می‌توانی مختصات x و y را به‌جای x و y در معادله‌ی خط قرار بدهی. این کار را برای معادله‌ای که در حال حل آن هستی انجام بده.

   • ادامه‌ی مثال ۱: نقطه‌ی (۳,۴) روی این خط قرار دارد. در این حالت x = ۳ و y = ۴ است.
     این مقادیر را در معادله‌ جایگزین کن y = ۲x +b
     ${\text{۴}}={\text{۲}}{\text{(۳)}}+{\text{b}}$
5. 
   5
   مقدار b را محاسبه کن. یادت باشد که b همان عرض از مبدأ خط است. حالا که b تنها مجهول این معادله است، می‌توانی با تغییر متغیر‌ها،‌ مقدار آن را به دست آوری.

   • ادامه‌ی مثال ۱:${\text{۴}}={\text{۲}}{\text{(۳)}}+{\text{b}}$
     ${\text{۴}}={\text{۶}}+{\text{b}}$
     ${\text{۴}}-{\text{۶}}={\text{b}}$
     ${\text{-۲}}={\text{b}}$
     عرض از مبدأ خط ۲- است.
6. 
   6
   این مقدار را به‌صورت مختصات یک نقطه بنویس. عرض از مبدأ نقطه‌ای است که خط موردنظر محور y-ها را قطع می‌کند. از آنجایی‌ که محور y-ها در موقعیت x = ۰ قرار دارد، مختصات x برای عرض از مبدأ خط همیشه ۰ است.

   • ادامه‌ی مثال ۱: عرض از مبدأ خط روی نقطه‌ی y = -۲ است، بنابراین مختصات نقطه به‌صورت (۲- , ۰) است.

روش 2

روش 2 از 3:

با استفاده از دو نقطه

1. 
   1
   مختصات هردو نقطه را بنویس. این روش برای حل مسائلی قابل‌استفاده است که مختصات دو نقطه از خط را داشته باشی. مختصات هر‌یک از نقاط را به‌صورت (x,y) بنویس.

   • مثال ۲: خط مستقیمی از نقاط (۲ , ۱-) و (۴- , ۳) عبور می‌کند. عرض از مبدأ خط را با استفاده از مراحل زیر پیدا کن.
2. 
   2
   تفاضل عرض‌ها را بر تفاضل طول‌ها تقسیم کن. شیب یک خط نسبت افزایش ارتفاع بر مسافت افقی طی‌شده را نشان می‌دهد. ممکن است آن را به‌صورت "تقسیم تفاضل عرض‌ها بر تفاضل طول‌ها" نیز تعریف کنند (${\frac {rise}{run}}$). در ادامه روش پیدا‌کردن این مقادیر با استفاده از مختصات دو نقطه نشان داده شده است:

   • "تفاضل عرض‌ها" مقدار تغییرات در محور عمودی یا تفاضل بین دو‌نقطه روی محور y-هاست.
   • "تفاضل طول‌ها" مقدار تغییرات در محور افقی یا تفاضل بین دو نقطه روی محور x-هاست.
   • ادامه‌ی مثل ۲:‌ مقدار عددی نقاط روی محور y-ها ۲ و ۴- است، بنابراین تفاضل آن دو برابر است با
     ۶- = (۲) - (۴-).
     مقدار عددی نقاط روی محور x-ها (روی همان نقاط مختصات) ۱ و ۳ است، بنابراین تفاضل آن دو برابر است با ۲ = ۱ - ۳.
3. 
   3
   شیب خط را با تقسیم تفاضل عرض‌ها بر تفاضل طول‌ها محاسبه کن. حالا که مقادیر مورد نیاز را داری آن‌ها در فرمول "${\frac {rise}{run}}$" قرار بده تا شیب خط به‌دست بیاید.

   • ادامه‌ی مثال ۲: ${\text{-۳}}$ = ${\frac {\text{-۶}}{\text{۲}}}$ = ${\frac {rise}{run}}$ = شیب.
4. 
   4
   فرمول معادله‌ی خط را مرور کن. معادله‌ی یک خط صاف به‌صورت y = mx + b است که در آن m شیب خط و b عرض از مبدأ خط است. حالا که می‌دانی m شیب خط و (x,y) مختصات یکی از نقاط است،‌ می‌توانی از این معادله برای محاسبه‌ی مقدار b یا همان عرض از مبدأ خط استفاده کنی.
5. 
   5
   شیب‌خط و مختصات نقطه را در معادله قرار بده. مقدار شیب ‌خطی را که قبلاً محاسبه کرده‌ای به‌جای m در معادله‌ی خط قرار بده. مختصات یکی از نقاط روی خط را نیز به‌جای x و y قرار بده. مهم نیست از مختصات کدام‌یک از نقاط استفاده می‌کنی.

   • ادامه‌ی مثال ۲: y = mx + b
     شیب = ${\text{m}}$ = ۳- ، بنابراین y = -۳x + b
     خط نقطه‌ای به مختصات (۱,۲) دارد که می‌توانی به‌جای (x,y) قرار بدهی، بنابراین معادله‌ی خط به‌صورت ${\text{۲}}={\text{-۳}}{\text{(۱)}}+{\text{b}}$ خواهد شد.
6. 
   6
   مقدار b را محاسبه کن. حالا تنها مجهول باقی‌مانده در این معادله متغیر b یا همان عرض از مبدأ خط است. متغیر‌های معادله را طوری جابجا کن تا b در یک طرف معادله قرار بگیرد و بتوانی آن را محاسبه کنی. یادت باشد مختصات x عرض از مبدأ همیشه صفر است.

   • ادامه‌ی مثال ۲: ${\text{۲}}={\text{-۳}}{\text{(۱)}}+{\text{b}}$
     ${\text{۲}}={\text{-۳}}+{\text{b}}$
     ${\text{۵}}={\text{b}}$
     عرض از مبدأ خط برابر است با (۰,۵).

روش 3

روش 3 از 3:

با استفاده از معادله

1. 
   1
   معادله‌ی خط را بنویس. اگر معادله‌ی خط را داشته باشی،‌ می‌توانی با انجام کمی محاسبات جبری، مقدار عرض از مبدأ را محاسبه کنی.

   • مثال ۳: مقدار عرض از مبدأ خطی با معادله‌ی x + ۴y = ۱۶ چند است؟
   • نکته: مثال ۳ در ارتباط با یک خط صاف است. برای دیدن مثال‌هایی از یک معادله‌ی درجه‌ی ۲ (متغیری که به‌توان ۲ رسیده است) به قسمت آخر این بخش مراجعه کن.
2. 
   2
   مقدار ۰ را جایگیزن متغیر x کن. محورy-ها یک خط عمودی در امتداد x = ۰ است و به این معنی است که با درنظر‌گرفتن عرض از مبدأ، هر نقطه‌ی موجود روی محور y-ها، دارای مختصات ۰ روی محور x-ها است. مقدار ۰ را در متغیر x معادله‌ی خط قرار بده.

   • ادامه‌ی مثال ۳: ${\text{x}}+{\text{۴}}{\text{y}}={\text{۱۶}}$
     ${\text{x}}={\text{۰}}$
     ${\text{۰}}+{\text{۴}}{\text{y}}={\text{۱۶}}$
     ${\text{۴}}{\text{y}}={\text{۱۶}}$
3. 
   3
   مقدار y را محاسبه کن. جواب آن مقدار عرض از مبدأ خط است.

   • ادامه‌ی مثال ۳: ${\text{۴y}}={\text{۱۶}}$
     ${\frac {\text{۱۶}}{\text{۴}}}$ = ${\frac {{\text{۴}}{\text{y}}}{\text{۴}}}$
     y = ۴.
     مقدار عرض از مبدأ خط برابر است با ۴.
4. 
   4
   بررسی محاسبات انجام‌شده با کشیدن نمودار (اختیاری). برای بررسی پاسخ نمودار معادله را رسم کن. نقطه‌ای که خط از محور y-ها عبور می‌کند، عرض از مبدأ خط است.
5. 
   5
   عرض از مبدأ خط را برای معادله‌ی درجه‌ی ۲ پیدا کن. یک معادله‌ی درجه‌ی ۲ شامل مقادیری (x یا y) است که به‌توان ۲ رسیده‌اند. می‌توانی مقدار y را با جایگزینی مقادیر محاسبه کنی ولی از آنجایی‌ که این یک معادله‌ی درجه‌ی دو است، ممکن است محور y-ها در ۰، ۱ یا ۲ نقطه قطع شود و معادله‌ ۰، ۱ یا ۲ جواب داشته باشد.

   • مثال ۴: برای محاسبه‌ی عرض از مبدأ معادله‌ی ${\text{y}}^{\text{۲}}={\text{x}}+{\text{۱}}$، مقدار x = ۰ قرار بده و معادله‌ی درجه‌ی دو را حل کن.
     در این حالت می‌توانی با گرفتن جذر از دو طرف معادله‌ی ${\text{y}}^{\text{۲}}={\text{۰}}+{\text{۱}}$ آن را حل کنی. یادت باشد هنگام گرفتن جذر، دو پاسخ به‌دست خواهی آورد: مثبت و منفی.
     ${\sqrt {{\text{y}}^{\text{۲}}}}={\sqrt {\text{۱}}}$
     y = ۱ یا y = -۱. هردوی این اعداد، مقادیر عرض از مبدأ برای این منحنی هستند.

نکات

• برای حل معادله‌های پیچیده‌تر،‌ سعی کن متغیری را که شامل y است در یک‌طرف معادله قرار بدهی.
• در بعضی از کشور‌ها ممکن است به‌جای متغیر b از متغیر c در معادله‌ی y = mx + b استفاده کنند. این کار مفهوم معادله را تغییر نمی‌دهد و فقط شکل دیگری از همان فرمول است.
• وقتی می‌خواهی شیب خط را برای دو نقطه محاسبه کنی، می‌توانی مختصات x و y نقاط را با هر ترتیبی که خواستی از هم کم کنی؛ تا زمانی‌که ترتیب قرار‌دادن اعداد را در صورت و مخرج کسر رعایت کنی،‌ اشکالی در نحوه‌ی محاسبه پیش نمی‌آید. برای مثال شیب خط بین نقاط (۱۲, ۱) و (۷, ۳) را می‌توانی به دو‌صورت محاسبه کنی:
  • نقطه‌ی اول - نقطه‌ی دوم :‌ ${\frac {{\text{۷}}-{\text{۱۲}}}{{\text{۳}}-{\text{۱}}}}={\frac {\text{-۵}}{\text{۲}}}={\text{-۲/۵}}$
  • نقطه‌ی دوم - نقطه‌ی اول : ${\frac {{\text{۱۲}}-{\text{۷}}}{{\text{۱}}-{\text{۳}}}}={\frac {\text{۵}}{\text{-۲}}}={\text{-۲.۵}}$