如何求四边形的面积

如果布置的作业要求你求四边形的面积，但是你连四边形是什么都不知道，不用担心，本文可以帮到你！四边形是任何有四条边的形状，正方形、长方形和菱形都是四边形。要计算四边形的面积，你只需要确定四边形的类型，然后套用简单的公式就可以了。就是这么简单！

方法 1

方法 1 的 4:

正方形、矩形和其他平行四边形

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知道如何识别平行四边形。平行四边形是由两组平行线段组成的四边形，其对边长度相等。平行四边形包括：
- 正方形：四条边，长度相等。四个角均为90度直角。
- 矩形：四条边，对边长度相等。四个角均为90度。
- 菱形：四条边，长度相等。四个角，没有任何角等于90度，但对角必须相等。
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矩形的面积等于底乘以高。要计算矩形的面积，你需要知道两个数值：宽或底，以及长或高。前者是矩形较长的边，而后者是较短的边。然后，只需要将它们相乘，就能算出矩形的面积。换而言之：
- 面积 = 底 × 高，或简写为A = b × h。
- 示例：如果矩形的底长为10厘米，高为5厘米，则矩形的面积为10 × 5（b × h）= 50平方厘米。
- 求形状的面积时，不要忘了给答案加上合适的单位，比如“平方单位”，如平方毫米、平方厘米、平方米等。
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正方形的面积等于边长的平方。从根本上来说，正方形是一种特殊的矩形，所以你可以使用相同的公式来求正方形的面积。但是，由于正方形各边的边长相等，所以可以简单记为边长的平方。这实际上就是在用正方形的底乘以高，因为底和高相等。使用如下公式：^{[1]X研究来源}
- 面积 = 边长 × 边长，即A = s²
- 示例：如果正方形的边长为4厘米，即t = 4，则该正方形的面积为t²，或4 x 4 = 16平方厘米。
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菱形的面积等于对角线相乘，再除以2。这里要注意了，在求菱形面积时，不能简单地用两条邻边边长相乘。你应该求出对角线长度，即连接各组对角线段的长度，用两者相乘，然后除以二。换而言之：^{[2]X研究来源}
- 面积 = (对角线1 × 对角线2)/2，即A = (d₁ × d₂)/2
- 示例：如果一个菱形的对角线长度为6米和8米，则面积为(6 × 8)/2 = 48/2 = 24平方米。
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还可以用底×高来求菱形的面积。严格来说，你还可以使用底乘以高的公式来求菱形的面积。但是，其中“底”和“高”并不等于两条邻边的边长。首先，选一条边做底。然后，从底边向对边画一条线。这条线与两条边应该成90度，这个长度就是你应该使用的高。
- 示例：菱形的边长为10公里和5公里。两条10公里长的边之间的垂线长度为3公里。如果你想求菱形的面积，可以用10 × 3 = 30平方公里。
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注意，菱形和矩形的公式适用于正方形。用上述的边长×边长公式来求正方形面积要方便得多。但由于正方形严格来说也是矩形和菱形，因此它们的面积公式同样也适用于计算正方形的面积。换而言之，就正方形而言：
- 面积 = 底 × 高，或A = b × h
- 面积 = (对角线1 × 对角线2)/2，或A = (d₁ × d₂)/2
- 示例：一个四边形两条邻边的长度均为4米。求这个正方形的面积时，可以用它的底乘以高：4 × 4 = 16平方米。
- 示例：一个正方形的两条对角线长度都等于10厘米。你可以用对角线公式来求这个正方形的面积：(10 × 10)/2 = 100/2 = 50 平方厘米。
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方法 2

方法 2 的 4:

求梯形的面积

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知道如何识别梯形。梯形是至少有两条边平行的四边形。内角可以为任意度数。梯形的四条边长度可以各不相同。
- 求梯形的面积时，你可以使用两种不同的方法，具体取决于你手上掌握的信息。这里我们会对两种方法进行讲解。
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求梯形的高。梯形的高是连接两条平行边的垂直线段。它通常“不”等于一条边的边长，因为各边通常不会彼此垂直。两个面积公式都会用到梯形的高。以下是求梯形高的方法：^{[3]X研究来源}
- 找到两条底线（即平行边）中较短的那条。以该底线与一个非平行边的交点为起点。画一条垂直于两条底线的线段。测量该线段的长度，即得到梯形的高。
- 如果高度线、底边和另一边构成一个直角三角形，你有时也可以用三角学来确定高度。更多信息可以参考网上关于三角学的文章。
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用高度和两条底边的长度来求梯形的面积。如果你知道梯形的高度，以及两条底边的长度，可以使用以下公式：
- 面积 = (底1 + 底2)/2 × 高，即A = (a+b)/2 × h
- 示例：如果一个梯形的一条底边长7米，另一条底边长11米，且连接两边的高长2米，则面积计算过程如下：(7 + 11)/2 × 2 = (18)/2 × 2 = 9 × 2 = 18平方米。
- 如果高等于10，而两条底边长度分别为7和9，进行如下计算可求出其面积：(7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80
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用两条边的中线段来求梯形面积。中线段是平行于梯形底边和顶边的假想线，与两边的距离完全相等。由于中线段“总是等于（底1 + 底2）/2”，如果你知道它的长度，可以将梯形公式简化为：
- 面积 = 中线段 × 高，即A = m × h
- 从根本上说，这种计算方法使用的仍然是原始公式，只不过使用“m”代替了(a + b)/2。
- 示例：以上示例中，梯形的中线段长度为9米。这意味着我们可以用9 × 2 = 18平方米来计算梯形的面积，所得结果与之前的一样。
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方法 3

方法 3 的 4:

求对称四边形的面积

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知道如何识别对称四边形。对称四边形是两对“邻边”长度相等，“而非对边”长度相等的四边形。顾名思义，对称四边形沿中线对称。
- 求对称四边形的面积时，可以使用两种不同的方法，具体取决于你手上掌握的信息。这里我们会对两种方法进行讲解。
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使用菱形对角线公式来求对称四边形的面积。菱形是各边长度相等的特殊对称四边形，因此你也可以使用对角线菱形面积公式，求出对称四边形的面积。对角线是连接对称四边形对角的直线。和菱形一样，对称四边形面积公式是：
- 面积 = (对角线1 × 对角线2)/2，即A = (d₁ × d₂)/2
- 示例：如果一个对称四边形的对角线长度为19米和5米，则其面积为(19 × 5)/2 = 95/2 = 47.5平方米。
- 如果你不知道对角线的长度，而且无法测量，可以使用三角学来进行计算。更多信息参见《计算对称四边形面积》一文。
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利用边长和各边的夹角来求面积。如果你知道两个不同的边长及各边之间的夹角，可以使用三角学原理求出对称四边形的面积。^{[4]X研究来源}使用这一方法，你必须知道如何解正弦函数，或至少有一个可以解正弦函数的计算器。更多信息可以参考网上关于三角学的文章，或使用以下公式：
- 面积 = (边1 × 边2) × sin (角)，即A = (s₁ × s₂) × sin(θ)，其中θ是边1和边2之间的夹角。
- 示例：你有一个对称四边形，两组边长分别为6米和4米。其夹角约为120度。这种情况下，你可以求出其面积，具体如下：(6 × 4) × sin(120) = 24 × 0.866 = 20.78平方米
- 注意，公式中使用的是两个“不同的”边长和它们之间的夹角，而不能使用一组相同长度的邻边。
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方法 4

方法 4 的 4:

求任意四边形的面积

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求所有四边形的面积。你遇到的四边形可能不属于以上任何一类，例如，它四条边的长度可能各不相同，而且没有任何对边互相平行。有多个公式可以用来计算任意四边形的面积，而无论其形状。本节会介绍其中最常用的一种公式。注意，该公式要用到三角学知识。更多信息可以参考网上关于基本三角学的文章。
- 首先，你必须知道四边形四条边的边长。为了方便本文讲解，我们用a、b、c、d来指代它们。边a和边c为对边，而边b和边d为对边。
- 示例：如果你有一个不属于上述任何类别的不规则四边形，先测量其各边长度。假设边长分别为12厘米、9厘米、5厘米和14厘米。在以下步骤中，你会用到这些信息来求四边形的面积。
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求得各边之间夹角的角度。计算不规则四边形的面积时，只知道边长是不够的。继续求得两个对角的角度。为了方便本节讲解，我们会用“角A”来指代边a和边d之间的夹角，用“角C”来指代边b和边c之间的夹角。不过，你也可以使用另外一组对角。
- 示例：假设在该四边形中，角A等于80度，而角C等于110度。在下一步中，你会用到这些值来求四边形的总面积。
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使用三角形面积公式来求四边形的面积。想象边a和边b的夹角到边c和边d的夹角之间有一条直线。这条线会将四边形分割成两个三角形。由于三角形的面积等于absinC，其中“C”为边a和边b的夹角，你可以两次使用这一公式，分别求出被分割成的两个三角形的面积，来算出四边形的总面积。换而言之，对任意四边形而言：
- 面积 = 0.5 边1 × 边4 × sin(边1&4角) + 0.5 × 边2 × 边3 × sin (边2&3角)，即
- 面积 = 0.5 a × d × sin A + 0.5 × b × c × sin C
- 示例：你已经知道所需的边长和角度值，因此计算过程如下：
  = 0.5 (12 × 14) × sin (80) + 0.5 × (9 × 5) × sin (110)
  = 84 × sin (80) + 22.5 × sin (110)
  = 84 × 0.984 + 22.5 × 0.939
  = 82.66 + 21.13 = 103.79平方厘米
- 注意，如果你想求对角相等的平行四边形的面积，公式可以简化为面积 = 0.5*(ad + bc) * sin A。
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