Comment calculer l'aire d'un trapèze

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Dans cet article:

Calculer l’aire connaissant la hauteur et la base

Calculer l’aire en ne connaissant que les côtés

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Références

Un trapèze est un quadrilatère, figure à quatre côtés, dont 2 côtés opposés sont parallèles et de longueurs différentes. La formule de calcul de l’aire ($A$) d’un trapèze s’établit ainsi : $A={\frac {(b_{1}+b_{2})h}{2}}$, $b_{1}$ et $b_{2}$ étant les longueurs des bases et $h$ la hauteur du trapèze. Si vous ne connaissez que les mesures des côtés, il est possible de calculer l’aire de la figure à condition de décomposer le trapèze en formes géométriques simples, le but étant de déterminer la hauteur. Bien entendu, la réponse est donnée avec une unité de surface.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Calculer l’aire connaissant la hauteur et la base

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   Faites la somme des longueurs des bases. Les bases sont les deux côtés parallèles du trapèze, généralement à l’horizontale. À défaut de données, il faudra mesurer leurs longueurs avec votre règle sur le schéma. Faites la somme des deux mesures et notez ce résultat .

   • Prenons l’exemple d’un trapèze qui aurait une petite base ($b_{1}$) de 8 cm et une grande base ($b_{2}$) de 13 cm, la somme ($b$) des longueurs des bases est de :
     $b=8\ cm+13\ cm=21\ cm$. Cette addition représente le numérateur
     $b=b_{1}+b_{2}$ de la formule de l’aire.
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   Mesurez la hauteur du trapèze. Cette hauteur est la distance, prise à angle droit, qui sépare les deux bases du trapèze. Tracez une ligne qui les relie toutes deux en veillant à ce qu’elle coupe bien à angle droit les deux bases. Mesurez cette ligne et notez-la quelque part .

   • La longueur d’un côté non parallèle à un autre dans cette figure n’est généralement pas la hauteur, sauf si ce côté est à angle droit avec une des bases : en ce cas, vous avez affaire à un trapèze rectangle.
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   Multipliez la somme des bases par la hauteur. Vous avez fait la somme des bases et obtenu $b$, vous avez mesuré la hauteur $h$ de votre trapèze : il ne vous reste plus qu’à en faire le produit et indiquer la bonne unité de surface .

   • Reprenons notre exemple. Nous faisons le produit suivant :
     $21\ cm\times 7\ cm=147\ cm^{2}$, lequel correspond à l’expression $(b)h$ de la formule.
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   Multipliez le résultat par $$ 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} . Cela revient aussi à le diviser par 2. L’opération ne pose aucun problème, et ainsi vous obtenez l’aire du trapèze. Vous pouvez alors rédiger votre réponse de façon claire en n’oubliant pas de mettre une unité de surface .

   • Dans notre exemple concret, l’aire ($A$) sera : $A={\frac {147\ cm^{2}}{2}}=73,5\ cm^{2}$.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Calculer l’aire en ne connaissant que les côtés

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   Décomposez votre trapèze. Décomposez-le en un rectangle et 2 triangles rectangles. Tracez deux lignes verticales qui partent des extrémités de la petite base et qui coupent à angle droit (90°) la grande base. De la gauche à la droite de la figure, vous obtenez un premier triangle rectangle, un rectangle et enfin, un second triangle rectangle. Si vos deux côtés non parallèles ont la même longueur (trapèze isocèle), les triangles rectangles sont identiques. Ce schéma permet de bien visualiser les différents éléments d’un trapèze .

   • Cette méthode n’est valable que pour les trapèzes réguliers. Notre exemple est celui d’un trapèze isocèle.
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   Calculez la longueur de la base des triangles. Soustrayez la longueur de la petite base de la longueur de la grande base. Ce résultat doit ensuite être divisé par 2 : vous obtenez la base de chacun des triangles rectangles. Vous connaissez à présent la longueur de deux des côtés de chaque triangle rectangle : celle de la base et celle de l’hypoténuse (grand côté ).

   • Soit un trapèze dont la petite base ($b_{1}$) est de 6 cm et la grande base ($b_{2}$) de 12 cm, alors la longueur de la base de chacun des triangles s’établit comme suit :
     ${\frac {12\ cm-6\ cm}{2}}$, soit ${\frac {6\ cm}{2}}=3\ cm$. Voyez l’illustration.
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   Trouvez la hauteur du trapèze. Nous allons utiliser le célèbre théorème de Pythagore qui pose que, dans un triangle rectangle : $A^{2}+B^{2}=C^{2}$, $C$ étant le plus long des côtés (hypoténuse) et $A$ et $B$ étant les deux autres côtés (opposé et adjacent) du triangle. Nous cherchons $B$ (la hauteur) à partir de $A$ (la base) et de $C$ (l’hypoténuse). Dans notre exemple, la base mesure 3 cm de long et l’hypoténuse 5 cm, les calculs sont les suivants  :

   • faites l’application numérique : $3^{2}+B^{2}=5^{2}$ ;
   • calculez les puissances : $9+B^{2}=25$ ;
   • soustrayez 9 de chaque côté : $B^{2}=16$ ;
   • prenez la racine carrée de chaque côté : $B=4\ cm$.

   Conseil : si vous ne tombez pas sur un carré parfait, simplifiez le plus possible le résultat, sans calculer la racine restante. Si vous arrivez, par exemple, à
   $B={\sqrt {32}}$, simplifiez ainsi : $B={\sqrt {(16)(2)}}=4{\sqrt {2}}$.
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   Calculez l’aire du trapèze. Vous avez toutes les données, la hauteur et la somme des longueurs des bases, c’est suffisant pour appliquer la formule de l’aire : $A={\frac {(b_{1}+b_{2})h}{2}}$. remplacez les valeurs littérales par vos vraies valeurs, puis faites les calculs sans vous tromper. La réponse est obligatoirement accompagnée d’une unité de surface .

   • Inscrivez la formule de l’aire (A) du trapèze : $A={\frac {(b_{1}+b_{2})h}{2}}$.
   • Faites l’application numérique : $A={\frac {(6\ cm+12\ cm)(4\ cm)}{2}}$.
   • Calculez le contenu des parenthèses : $A={\frac {(18\ cm)(4\ cm)}{2}}$.
   • Faites la multiplication finale : $A=36\ cm^{2}$.
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Conseils

• Si l’on vous donnait la médiane du trapèze, c’est-à-dire la ligne qui relie le milieu des côtés non parallèles, il vous suffirait de multiplier sa longueur par la hauteur du trapèze pour obtenir l’aire .

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