كيفية قسمة الأعداد الثنائية

تنزيل المقال

تنزيل المقال

يمكن حل مسائل قسمة الأعداد الثنائية باستخدام عملية قسمة مطولة، ويعد ذلك أحد الطرق المفيدة لتعلّم عملية القسمة بنفسك أو لكتابة برنامج كمبيوتر بسيط. يمكنك أيضًا استخدام طريقة المكمل لعمليات طرح متكررة لحل المسألة من منظور لم تعتد عليه على الرغم من أن هذه الطريقة لا تستخدم عادة عند البرمجة. تستخدم لغات الآلة بشكل عام خوارزمية تقدير للحصول على دقة أفضل، إلا أننا لن نتطرق لهذا الموضوع في مقالنا.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 2:

استخدام القسمة المطولة

تنزيل المقال

1. 
   1
   راجع عملية قسمة الأعداد العشرية. لعلك لم تقم بحل مسألة قسمة مطولة لأعداد عشرية عادية (برقم أساس 10) منذ فترة طويلة، لذا راجع عملية القسمة المطولة باستخدام المثال 172 ÷ 4، أو تجاوز هذه الخطوة لتعلم نفس المسألة مع الأعداد الثنائية.

   • يتم في عملية القسمة تقسيم المقسوم على المقسوم عليه لنحصل على حاصل القسمة.
   • قارن المقسوم عليه بأول رقم في المقسوم واستمر بإضافة أرقام إلى المقسوم حتى يصبح المقسوم عليه العدد الأصغر إن كان المقسوم عليه هو العدد الأكبر (سنقوم في العملية 172 ÷ 4 مثلًا بمقارنة 4 مع 1، وعلمًا بأن 4 أكبر من 1، سنقارن 4 مع 17 عوضًا عن ذلك).
   • اكتب الرقم الأول من حاصل القسمة فوق آخر رقم استخدمته من المقسوم في المقارنة. ستلاحظ عند مقارنة 4 مع 17 أن القيمة 17 تتسع للقيمة 4 أربع مرات، لذا اكتب الرقم الأول من حاصل القسمة فوق الرقم 7.
   • أجرِ عمليات ضرب وطرح لإيجاد الباقي. اضرب رقم حاصل القسمة مع المقسوم عليه، بحيث يكون في هذا المثال 4 × 4 = 16، ثم اكتب 16 تحت 17 واتبع ذلك بإجراء عملية الطرح 17 - 16 ليكون الباقي 1.
   • كرّر العملية. سنقوم مجددًا بمقارنة المقسوم عليه (4) مع الرقم التالي (1)، وعلمًا بأن 4 أكبر من 1 سنقوم "بإنزال" الرقم التالي من المقسوم لنقارن بذلك 4 مع 12. تتسع القيمة 12 للقيمة 4 ثلاث مرات دون باقٍ، لذا اكتب 3 كالرقم الثاني من حاصل القسمة وليكون الناتج 43.
2. 
   2
   اكتب عملية قسمة مطولة لأعداد ثنائية. لنستخدم المثال 10101 ÷ 11. اكتب المسألة على هيئة عملية قسمة مطولة حيث يكون العدد 10101 هو المقسوم والعدد 11 هو المقسوم عليه. اترك مساحة فارغة في الأعلى لكتابة حاصل القسمة ومساحة فارغة بالأسفل لكتابة العمليات الحسابية.
3. 
   3
   قارن المقسوم عليه بأول رقم من المقسوم. تكون العملية مماثلة لعملية قسمة الأعداد العشرية المطولة، إلا أنها تكون أسهل مع الأعداد الثنائية عادة حيث أن القيمة ستتسع للمقسوم عليه مرة واحدة فقط أو لن تتمكن من قسمة الرقم على المقسوم عليه:

   • 11 أكبر من 1، لذا فإن القيمة 1 لا تتسع للقيمة 11. اكتب "صفر" إذًا كأول رقم من حاصل القسمة (اكتب الرقم فوق أول رقم من المقسوم).
4. 
   4
   انتقل إلى الرقم التالي وكرر العملية حتى تصل إلى 1. إليك الخطوات الباقية في مثالنا:

   • أنزل الرقم التالي من المقسوم. 11 > 10. اكتب 0 في حاصل القسمة.
   • أنزل الرقم التالي. 11 < 101. اكتب 1 في حاصل القسمة.
5. 
   5
   احسب الباقي. كما هو الحال في عملية القسمة المطولة للأعداد العشرية، سنقوم بضرب الرقم الذي حصلت عليه (1) في المقسوم عليه (11) وسنكتب الناتج تحت المقسوم ليكون محاذيًا للرقم الذي حسبناه للتو. يمكننا مع الأعداد الثنائية اختصار هذه العملية حيث أن 1 × المقسوم عليه يساوي المقسوم عليه دائمًا:

   • اكتب المقسوم عليه أسفل المقسوم. سنكتب الآن 11 أسفل أول ثلاثة أرقام من المقسوم (101).
   • احسب بعد ذلك 101 - 11 لتحصل على الباقي 10. اطّلع على مقال كيفية قسمة الأعداد الثنائية إن لم تكن تعرف طريقة فعل ذلك.
6. 
   6
   كرّر هذه العملية حتى تنتهي المسألة. أنزل الرقم التالي من المقسوم عليه إلى الباقي ليصبح 100. بما أن 11 أصغر من 100، اكتب 1 كالرقم التالي في حاصل القسمة وأكمل المسألة على النحو السابق:

   • اكتب 11 أسفل 100 وأجرِ عملية طرح لتحصل على 1.
   • أنزل الرقم الأخير من المقسوم ليصبح 11.
   • 11 = 11، لذا اكتب 1 كالرقم الأخير من حاصل القسمة (الجواب النهائي).
   • لا يوجد باقٍ للعملية، لذا بهذا تكون المسألة انتهت الآن وسيكون الجواب النهائي 00111 أو ببساطة 111.
7. 
   7
   أضِف نقطة أساس إن احتجت لذلك. قد لا تحصل على رقم صحيح كنتيجة للعملية أحيانًا، لذا أضِف ".0" إلى المقسوم وفاصلة "." إلى حاصل القسمة إن حصلت على باقٍ بعد حساب آخر رقم حتى تتمكن من إنزال آخر رقم والاستمرار بالحساب. كرّر هذه العملية حتى تصل إلى الدقة المطلوبة ثم قرّب الإجابة. يمكنك تقريب الإجابة على الورق عن طريق حذف آخر صفر أو حذف آخر 1 وإضافة 1 إلى آخر رقم جديد إن كان الرقم الأخير 1. عند البرمجة، اتبع أحد الخوارزميات المعيارية لتقريب الأعداد لتجنب الأخطاء عند التحويل بين الأعداد الثنائية والعشرية.

   • تنتهي مسائل قسمة الأعداد الثنائية عادة بتكرار الأجزاء الكسرية أكثر من حدوث ذلك في الأعداد العشرية.
   • يشار إلى ذلك بمسمى "نقطة أساس" للإشارة إلى أي رقم أساس، حيث أن مصطلح "النقطة العشرية" يستخدم مع الأعداد العشرية فقط.

طريقة 2

طريقة 2 من 2:

استخدام طريقة المكمل

تنزيل المقال

1. 
   1
   افهم المبدأ الأساسي البسيط. أحد طرق حل مسائل القسمة، في أي نظام، هي الاستمرار بطرح المقسوم عليه من المقسوم ثم الباقي مع تدوين عدد مرات فعل ذلك قبل الوصول إلى قيمة سالبة. إليك مثال لكيفية فعل ذلك في النظام العشري: لنحل المسألة 26 ÷ 7:

   • 26 - 7 = 19 (تم الطرح مرة واحدة 1).
   • 19 - 7 = 12 (2)
   • 12 - 7 = 5 (3)
   • 5 - 7 = -2 لقد حصلنا على قيمة سالبة، لذا لنتراجع خطوة إلى الوراء. الإجابة إذًا 3 والباقي 5. لاحظ أن هذه الطريقة لا تحسب أي أجزاء غير صحيحة من الإجابة.
2. 2
   تعلّم كيفية الطرح باستخدام المكملات. على الرغم من سهولة استخدام الطريقة السابقة في مع الأعداد الثنائية، يمكننا كذلك إجراء عملية الطرح بطريقة أكثر فعالية لتوفير الوقت عند برمجة أجهزة الكمبيوتر لقسمة الأعداد الثنائية ألا وهي الطرح باستخدام المكملات. إليك أساسيات هذه الطريقة باستخدام المثال 111 - 011 (احرص على أن يكون الرقمان بنفس الطول):

   • ابحث عن مكملات واحد في الشق الثاني من عملية الطرح عن طريق طرح كل رقم من 1. يمكننا تنفيذ ذلك ببساطة في النظام الثنائي عن طريق تحويل كل 1 إلى "صفر" وتحويل كل "صفر" إلى 1. سيتحول الشق 011 في مثالنا إلى 100.
   • أضف واحد إلى الناتج. 100 + 1 = 101. يسمى ذلك بمكمل اثنين، ويسمح لنا ذلك بإجراء عملية الطرح كمسألة جمع. ببساطة، سيظهر الناتج وكأننا جمعنا عددًا سالبًا عوضًا عن طرح عدد موجب بعد الانتهاء.
   • أضِف الناتج إلى الشق الأول. اكتب المسألة الإضافية وقم بحلها: 111 + 101 = 1100.
   • تجاهل الرقم الأول. تجاهل الرقم الأول من إجابتك للحصول على إجابة نهائية. 1100 ← 100.
3. 3
   اجمع المفهومين السابقين مع بعضهما. لقد تعرفت في الأقسام السابقة على طريقة الطرح وطريقة مكمل اثنين لحل مسائل قسمة الأعداد الثنائية، ويمكنك الآن الجمع بين الطريقتين في طريقة واحدة لحل مسائل القسمة عن طريق اتباع الخطوات أدناه. يمكنك أيضًا محاولة اكتشاف هذه الطريقة بنفسك قبل المتابعة.
4. 
   4
   اطرح المقسوم عليه من المقسوم عن طريق إضافة مكمل اثنين. لنراجع المسألة 100011 - 000101. الخطوة الأولى لحل هذه المسألة باستخدام طريقة مكمل اثنين هي تحويلها إلى عملية جمع على النحو التالي:

   • مكمّل اثنين للعدد 000101 = 111010 + 1 = 111011.
   • 100011 + 111011 = 1011110
   • تجاهل الرقم الأول ليصبح العدد 011110.
5. 
   5
   أضف واحد إلى حاصل القسمة. هذه هي الخطوة التي تجمع فيها حاصل القسمة مع 1 في برامج الكمبيوتر، ويمكنك كتابة ملاحظة في مكان منفصل إن كنت تستخدم ورقة وقلم. لقد أجرينا عملية طرح بنجاح مرة واحدة، لذا فإن حاصل القسمة حتى الآن هو 1.
6. 
   6
   كرّر العملية عن طريق طرح المقسوم عليه من الباقي. نتيجة العملية الحسابية السابقة هي الباقي بعد اتساع القيمة للمقسوم عليه مرة واحدة، لذا استمر بإضافة مكمل اثنين للمقسوم عليه كل مرة مع تجاهل الرقم الأول. أضِف واحد إلى حاصل القسمة في كل مرة مع تكرار العملية حتى تحصل على باقٍ أقل من المقسوم عليه أو مساوٍ له:

   • 011110 + 111011 = 1011001 ← 011001 (الباقي 1+1=10)
   • 011001 + 111011 = 1010100 ← 010100 (الباقي 10+1=11)
   • 010100 + 111011 = 1001111 ← 001111 (11+1=100)
   • 001111 + 111011 = 1001010 ← 001010 (100+1=101)
   • 001010 + 111011 = 10000101 ← 0000101 (101+1=110)
   • 0000101 + 111011 = 1000000 ← 000000 (110+1=111)
   • سنتوقف هنا حيث أن "صفر" أصغر من 101. حاصل القسمة 111 هو إجابة مسألة القسمة والباقي هو الإجابة النهائية لعملية الطرح، أي "صفر" في هذه الحالة (أو بدون باق).

أفكار مفيدة

• تجاهل الرقم الذي يحمل إشارة في الأرقام الثنائية التي تحمل إشارة قبل الحساب، إلا إن كنت تحدد ما إن كان العدد موجبًا أم سالبًا.
• لن تنجح طريقة مكمل اثنين لإجراء عملية الطرح إن كانت الأعداد مختلفة الطول، ويمكنك إضافة قيمة "صفر" في بداية العدد الأقصر لحل هذه المشكلة.
• يجب أخذ عمليات الزيادة أو الإنقاص أو إفراغ التكديس البرمجية بعين الاعتبار قبل تطبيق العمليات الحسابية للأعداد الثنائية.