Como Dividir Números Binários

Os problemas de divisão de número binários podem ser resolvidos à mão ou usando um programa simples de computador. Como alternativa, o método complementar de subtração repetida fornece uma abordagem com a qual você pode não estar familiarizado, porém pouco usada na programação. ^{[1]XFonte de pesquisa} Geralmente, as linguagens de programação usam um algoritmo de estimação mais eficiente, mas esse assunto não é abordado neste artigo. ^{[2]XFonte de pesquisa}

Método 1

Método 1 de 2:

Usando divisão longa

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Reveja como fazer divisão de decimal à mão. Se você não faz divisão de decimais (base dez) à mão há um tempo, reveja os conceitos básicos usando o exemplo 172 ÷ 4. Caso contrário, avance para o próximo Passo e aprenda o mesmo processo para números binários.
- O dividendo é dividido pelo divisor, e o resultado é o quociente.
- Compare o divisor com o primeiro dígito do dividendo. Se ele for maior, continue adicionando dígitos ao dividendo até que o divisor seja o número menor. Por exemplo, para calcular 172 ÷ 4, compare 4 e 1; observe que 4 > 1, então compare 4 com 17.
- Escreva o primeiro dígito do quociente acima do último dígito do dividendo como se o estivesse usando na comparação. Ao comparar 4 e 17, veja que o 4 cabe quatro vezes no número 17, então escreva 4 como primeiro número do quociente, acima do 7.
- Multiplique e subtraia para encontrar o resto. Multiplique o dígito do quociente pelo divisor; neste caso, 4 x 4 = 16. Escreva 16 abaixo do 17, depois subtraia 17 - 16 para obter o resto, 1.
- Repita. Mais uma vez, compare o divisor 4 com o próximo dígito, 1. Observe que 4 > 1, então "abaixe" o próximo dígito do dividendo para comparar 4 com 12. O 4 cabe exatamente (não sobra resto) três vezes no número 12, então escreva 3 como próximo número do quociente. A resposta é 43.
Vamos usar o exemplo 10101 ÷ 11. Monte o problema de divisão, com 10101 sendo o dividendo e o 11 sendo o divisor. Deixe um espaço acima para escrever o quociente, e abaixo para fazer os cálculos.
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Compare o divisor com o primeiro dígito do dividendo. Isso funciona da mesma forma que um problema de divisão à mão com números decimais, mas na verdade é mais fácil com números binários. Das duas uma: ou não é possível dividir um número pelo divisor (0) ou o divisor pode ser usado uma vez (1):
- 11 > 1, então 11 não "cabe" no 1. Escreva 0 como primeiro dígito do quociente (acima do primeiro dígito do dividendo).
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Avance para o próximo dígito e repita até obter o número 1. Veja os próximos Passos para o exemplo utilizado:
- Abaixe o próximo dígito do dividendo. 11 > 10. Escreva 0 no quociente.
- Abaixe o próximo dígito. 11 < 101. Escreva 1 no quociente.
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Encontre o resto. Assim como uma divisão à mão de números decimais, é preciso multiplicar o dígito recém-encontrado (1) com o divisor (11), e escrever o resultado abaixo do dividendo alinhado com o dígito recém-calculado. Em binário, é possível usar um atalho, já que 1 x o divisor sempre vai ser igual ao divisor:
- Escreva o divisor abaixo do dividendo. Neste caso, escreva 11 alinhado abaixo dos três primeiros dígitos (101) do dividendo.
- Calcule 101 - 11 para obter o resto, 10. Veja o artigo Como Subtrair Números Binários, caso precise de ajuda.
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Repita até o final do problema. Abaixe o próximo dígito do divisor junto ao resto para formar o número 100. Como 11 < 100, escreva o número 1 como próximo dígito do quociente. Continue calculando o problema da mesma forma de antes:
- Escreva 11 abaixo do 100 e subtraia para obter 1.
- Abaixe o próximo dígito do dividendo.
- 11 = 11, então escreva 1 como dígito final do quociente (a resposta).
- Não há nenhum resto, então o problema está completo. A resposta é 00111, ou simplesmente 111.
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Use um ponto se necessário. Às vezes, o resultado não é inteiro. Se ainda sobrar um resto após usar o dígito final, adicione ".0" ao dividendo e um "." ao quociente, para que você possa baixar outro dígito e continuar. Repita até atingir a especificidade desejada e arredonde a resposta. No papel, você pode arredondar cortando o último 0; ou então, se o último dígito for 1, baixe-o e adicione 1 ao último dígito. Em programação, siga um dos algoritmos padrões de arredondamento para evitar erros na hora de converter um número binário para decimal. ^{[3]XFonte de pesquisa}
- Geralmente, os problemas de divisão de número binários terminam em porções de frações repetidas – com mais frequência do que em noção decimal. ^{[4]XFonte de pesquisa}
- Ele é conhecido como "ponto fracionário", aplicado a qualquer base, já que o "separador decimal" somente é usado no sistema decimal. ^{[5]XFonte de pesquisa}
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Método 2

Método 2 de 2:

Usando o método complementar

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Compreenda o conceito básico. Uma forma de resolver problemas de divisão - em qualquer base - é continuar subtraindo o divisor do dividendo, e depois do resto, registrando o número de vezes que isso é feito antes de obter um número negativo. Veja um exemplo em uma divisão de base dez: 26 ÷ 7:
- 26 - 7 = 19 (subtraído 1 vez)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Ao obter um número negativo, volte um passo. A resposta é 3 com resto 5. Observe que este método não calcula porções não íntegras da resposta.
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Aprenda a subtrair pelos complementos. Embora seja possível usar o método acima facilmente em número binários, existe um método mais eficiente que economiza tempo ao programar computadores para dividi-los. Trata-se do método de subtração pelos complementos. Veja os conceitos básicos ao calcular 111 - 011 (ambos os números devem ter a mesma quantidade de dígitos):
- Encontre os complementos de 1 do segundo termo, subtraindo cada dígito de 1. Isso pode ser feito facilmente no sistema binário trocando cada 1 por 0 e cada 0 por 1. ^{[6]XFonte de pesquisa} ^{[7]XFonte de pesquisa} No exemplo utilizado, 011 vira 100.
- Adicione 1 ao resultado: 100 + 1 = 101. Tais são os dois complementos, e eles permitem a subtração como um problema de adição. ^{[8]XFonte de pesquisa} O resultado é como se você adicionasse um número negativo em vez de subtrair um positivo ao final do processo.
- Adicione o resultado ao primeiro termo. Escreva e resolva o problema de adição: 111 + 101 = 1100.
- Descarte o dígito extra. Descarte o primeiro dígito da resposta para obter o resultado final. 1100 → 100.
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Combine os dois conceitos acima. Agora você aprendeu o método de subtração para calcular problemas de divisão, e os dois métodos complementares para resolver problemas de subtração. Saiba que é possível combiná-los em um novo Método para calcular problemas de divisão. Veja como fazê-lo nos passos abaixo. ^{[9]XFonte de pesquisa} Se preferir, tente compreendê-lo sozinho antes de continuar.
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Subtraia o divisor do dividendo adicionando o complemento de dois. Vamos repassar o problema 100011 ÷ 000101. O primeiro passo usando o método do complemento de dois é tornar a subtração em um problema de adição:
- O complemento de dois de 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Descarte o dígito extra → 011110.
Em um programa de computador, este é o ponto em que o quociente é aumentado por um. No papel, faça uma nota em algum canto para não se confundir com as contas. A subtração foi realizada uma vez com sucesso; então, até agora, o quociente é 1.
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Repita subtraindo o divisor do resto. O resultado do último cálculo é o resto da divisão após usar o divisor uma vez. Continue adicionando o complemento de dois do divisor a cada vez, descartando o dígito extra. Adicione 1 ao quociente a cada vez, repetindo o processo até obter um resto que seja igual ou menor que o divisor: ^{[10]XFonte de pesquisa}
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (quociente1+1=10)
- 011001 + 111011 = 1010100 → 010100 (quociente10+1=11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 é menor que 101, então podemos parar aqui. O quociente 111 é a resposta do problema de divisão. O resto é a resposta final do problema de subtração; neste caso, o 0 (sem resto).
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Dicas

O método do complemento de dois de subtração não vai funcionar em número com diferentes quantidades de dígitos. Porém, para corrigir isso, adicione zeros ao número com menos dígitos.
Ignore o dígito com sinal nos números binários com sinais antes do cálculo, exceto quando for preciso definir se a resposta é positiva ou negativa.
As instruções para incrementar, diminuir ou remover um item da pilha de número devem ser consideradas antes de fazer qualquer cálculo binário a um conjunto de instruções de máquina.