Division mit Binärzahlen

Binäre Divisions-Aufgaben können mit schriftlicher Division gelöst werden, eine nützliche Methode, um das Verfahren zu lernen oder um ein einfaches Computerprogramm zu schreiben. Alternativ bietet die Komplement-Methode der wiederholten Subtraktion einen Ansatz, den du eventuell nicht kennst, aber sie wird nicht so häufig in der Programmierung verwendet.^{[1]XForschungsquelle} Maschinensprachen verwenden in der Regel einen Schätzalgorithmus, der effizienter ist, aber er wird hier nicht beschrieben.^{[2]XForschungsquelle}

Methode 1

Methode 1 von 2:

Mit schriftlicher Division

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Wiederholung der schriftlichen Division. Wenn es schon eine Weile her ist seit du eine schriftliche Division mit gewöhnlichen Dezimalzahlen (Basis zehn) gemacht hast, wiederhole die Grundlagen anhand der Aufgabe 172 : 4. Andernfalls fahre mit dem nächsten Schritt fort, um den gleichen Prozess mit Binärzahlen zu lernen.
- Der Dividend wird durch den Divisor geteilt, und das Ergebnis ist der Quotient.
- Vergleiche den Divisor mit der ersten Ziffer des Dividenden. Wenn der Divisor die größere Zahl ist, füge Stellen zu dem Dividenden hinzu, bis der Divisor die kleinere Zahl ist. Zum Beispiel bei der Berechnung von 172 : 4 vergleichen wir 4 und 1. 4 ist größer als 1, und deshalb vergleichen wir stattdessen 4 mit 17.
- Schreibe die erste Ziffer des Quotienten über die letzte Stelle des Dividenden, die wir in dem Vergleich verwendet haben. Wenn wir 4 und 17 vergleichen, dann sehen wir, dass 4 viermal in 17 geht, und schreiben also 4 als erste Ziffer unseres Quotienten über die 7.
- Multipliziere und subtrahiere, um den Rest zu bestimmen. Multipliziere die Quotienten-Ziffer mit dem Divisor, in diesem Fall 4 * 4 = 16. Schreibe die 16 unter die 17, subtrahiere dann 16 von 17, um den Rest 1 zu erhalten.
- Wiederhole es. Wir vergleichen wieder den Divisor 4 mit der nächsten Stelle, 1. 4 ist größer als 1, also schreiben wir die nächste Ziffer des Dividenden nach unten und vergleichen 4 mit 12 stattdessen. 4 geht dreimal ohne Rest in 12, also schreiben wir 3 als die nächste Ziffer des Quotienten. Das Ergebnis ist 43.
Lass uns das Beispiel 10101 : 11 betrachten. Schreibe es als schriftliche Division, mit 10101 als Dividend und 11 als Divisor. Lass oben und unten etwas Platz, um den Quotienten und deine Rechnung hin zu schreiben.
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Vergleiche den Divisor mit der ersten Ziffer des Dividenden. Es funktioniert genauso wie bei einer schriftlichen Division mit Dezimalzahlen, aber es ist eigentlich sogar etwas einfacher bei Binärzahlen. Entweder kannst du die Zahl nicht durch den Divisor (0) teilen oder der Divisor geht einmal hinein (1):
- 11 > 1, also "geht" 11 nicht in 1. Schreibe 0 als erste Ziffer des Quotienten (über der ersten Stelle des Dividenden).
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Füge die nächste Ziffer hinzu und wiederhole es, bis du eine 1 erhältst. Hier sind die nächsten Schritte zu unserem Beispiel:
- Schreibe die nächste Ziffer des Dividenden nach unten. 11 > 10. Schreibe eine 0 in den Quotienten.
- Schreibe die nächste Ziffer nach unten. 11 < 101. Schreibe eine 1 in den Quotienten.
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Bestimme den Rest. Wie bei der schriftlichen Division von Dezimalzahlen multiplizieren wir die Ziffer, die wir gerade gefunden haben (1) mit dem Divisor (11), und schreiben das Ergebnis unter den Dividenden genau unter die Ziffer, die wir gerade berechnet haben. Bei Binärzahlen können wir abkürzen, da 1 mal der Divisor immer gleich dem Divisor ist:
- Schreibe den Divisor unter den Dividenden. Hier schreiben wir 11 unter die ersten drei Ziffern (101) des Dividenden.
- Berechne 101 - 11, um den Rest zu erhalten, 10. Lies noch einmal nach, wie man Binär-Zahlen subtrahiert, wenn nötig.
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Wiederhole diese Schritte, bis die Aufgabe beendet ist. Schreibe die nächste Stelle des Divisors an den Rest, und erhalte 100. Da 11 < 100, schreibe eine 1 als nächste Ziffer im Quotienten. Mache weiter wie bisher:
- Schreibe 11 unter 100 und subtrahiere, um 1 zu erhalten.
- Schreibe die letzte Ziffer des Dividenden nach unten und erhalte 11.
- 11 = 11, schreibe also eine 1 als letzte Ziffer des Quotienten (das Ergebnis).
- Es gibt keinen Rest, also ist die Aufgabe vollständig gelöst. Das Ergebnis ist 00111 oder einfach 111.
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Füge ein Komma hinzu, wenn nötig. Manchmal ist das Ergebnis keine ganze Zahl. Wenn es immer noch einen Rest nach der Verwendung der letzten Ziffer gibt, hänge ",0" an den Dividenden und ein "," an den Quotienten, damit wir eine weitere Stelle hinzufügen und weiter machen können. Wiederhole es, bis du die gewünschte Genauigkeit erreicht hast, und runde dann das Ergebnis. Auf dem Papier kannst du runden, wenn du einfach nach der letzten Stelle aufhörst, wenn die nächste Stelle eine Null wäre, oder wenn die nächste Ziffer eine 1 ist, lass sie weg und addiere 1 zur neuen letzten Ziffer. Folge bei der Programmierung einem der Standard-Algorithmen für die Rundung, um Fehler bei der Konvertierung zwischen Binär- und Dezimalzahlen zu vermeiden.^{[3]XForschungsquelle}
- Binäre Divisions-Aufgaben enden mit sich wiederholenden Bruchteilen öfter als sie in der Dezimalschreibweise auftreten.^{[4]XForschungsquelle}
- Das Komma wird auch allgemein "Radix-Punkt" genannt und kann bei jeder Basis verwendet werden.^{[5]XForschungsquelle}
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Methode 2

Methode 2 von 2:

Die Komplement-Methode

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Die Grundidee verstehen. Ein Weg, um Divisions-Aufgaben zu lösen (in jeder Basis) ist es, den Divisor vom Dividenden zu subtrahieren, dann den Divisor vom Rest zu subtrahieren, und so weiter, und dabei mit zu zählen, wie oft die Subtraktion durchgeführt werden kann, bis man eine negative Zahl erhält. Hier ist ein Beispiel zur Basis zehn, die Berechnung der Aufgabe 26 : 7:
- 26 - 7 = 19 (1 Mal subtrahiert)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Negative Zahl, also hören wir auf. Das Ergebnis ist 3 mit Rest 5. Beachte, dass mit dieser Methode keine Bruchteile des Ergebnisses berechnet werden.
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Lerne mit Hilfe des Komplementes zu subtrahieren. Wir können zwar genauso gut die oben beschriebene Methode für Binärzahlen verwenden, aber wir können auch mit Hilfe einer effizienteren Methode subtrahieren, was Zeit spart bei der Programmierung von Computern bei Binärzahl-Divisionen. Dies ist das Verfahren "Subtraktion mit Hilfe von Komplementen" für Binärzahlen. Hier sind die Grundlagen, gezeigt an der Berechnung von 111-011 (vergewissere dich, dass beide Zahlen gleich lang sind):
- Bestimme das Einer-Komplement der zweiten Zahl, indem du jede Stelle von 1 subtrahierst. Im Binärsystem kann man es leicht machen, in dem man jede 1 zu 0 und jede 0 zu 1 macht.^{[6]XForschungsquelle}^{[7]XForschungsquelle} In unserem Beispiel wird 011 zu 100.
- Addiere 1 zu dem Ergebnis: 100 + 1 = 101. Dies wird das Zweier-Komplement genannt, und wir können Subtraktionen als Additions-Aufgaben durchführen.^{[8]XForschungsquelle} Im Wesentlichen ist das Ergebnis am Ende, dass wir eine negative Zahl addiert statt eine positive subtrahiert haben.
- Addiere das Ergebnis zur ersten Zahl. Schreibe und löse die Additions-Aufgabe: 111 + 101 = 1100.
- Entferne die Übertrags-Ziffer. Entferne die erste Ziffer des Ergebnisses, um das Endergebnis zu erhalten. 1100 & rarr; 100.
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Kombiniere die beiden Konzepte oben. Jetzt kennst du die Subtraktions-Methode zur Lösung von Divisionsaufgaben und die Zweier-Komplement-Methode zur Lösung von Subtraktions-Aufgaben. Du kannst beide in einem Verfahren zur Lösung von Divisionsaufgaben mit Hilfe der folgenden Schritte kombinieren.^{[9]XForschungsquelle} Wenn du möchtest, kannst du versuchen, es selbst heraus zu finden, bevor du weiter liest.
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Ziehe den Divisor vom Dividenden ab, indem du das Zweier-Komplement addierst. Lass uns die Aufgabe 100011 : 000101 betrachten. Der erste Schritt ist 100011 - 000101 mit der Zweier-Komplement-Methode zu lösen, um es in eine Additions-Aufgabe zu verwandeln:
- Das Zweier-Komplement von 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Entferne den Übertrag → 011110
In einem Computer-Programm wird nun der Quotient um 1 erhöht. Mache auf dem Papier eine Notiz in einer Ecke, so dass es nicht mit deiner restlichen Rechnung durch einander kommt. Wir haben erfolgreich einmal subtrahiert, und der Quotient ist im Moment 1.
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Wiederhole es, indem du den Divisor von dem Rest subtrahierst. Das Ergebnis der letzten Berechnung ist der Rest, der übrig ist, nachdem der Divisor einmal "hinein ging". Mache weiter, indem du jedes Mal das Zweier-Komplement des Divisors addierst und das Übertrags-Bit weg lässt. Addiere jedes mal 1 zu dem Quotienten, und wiederhole alles, bis du einen Rest erhältst, der kleiner oder gleich deinem Divisor ist:^{[10]XForschungsquelle}
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (Quotient 1+1=10)
- 011001 + 111011 = 1010100 → 010100 (Quotient 10+1=11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- 0 ist kleiner als 101, deshalb hören wir hier auf. Der Quotient 111 ist das Ergebnis der Divisions-Aufgabe. Der Rest ist das Endergebnis unserer Subtraktions-Aufgabe, in diesem Fallt 0 (kein Rest).
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Tipps

Die Anleitungen zur Erhöhung, Erniedrigung oder zum Auslesen des Stapelspeichers müssen vor der Anwendung von binärer Mathematik in einem Maschinensprache-Programm berücksichtigt werden.
Ignoriere die Vorzeichenstelle bei Binärzahlen mit Vorzeichen bei der Berechnung, außer bei der Bestimmung, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.
Die Zweier-Komplement-Methode der Subtraktion funktioniert nicht, wenn deine Zahlen eine unterschiedliche Anzahl von Ziffern haben. Füge Nullen an den Anfang der kleineren Zahl hinzu, um das Problem zu beheben.

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