كيفية حل المعادلات المنطقية

تنزيل المقال

تنزيل المقال

التمثيل المنطقي عبارة عن كسر يحتوي على متغيّر أو أكثر في خانة البسط أو المقام. "المعادلة" المنطقية هي أي معادلة تتضمّن تمثيلًا منطقيًا واحدًا على الأقل. كما هو الحال مع المعادلات الجبرية العادية، يتم حل المعادلات المنطقية عن طريق إجراء نفس العمليات على جانبيّ المعادلة حتى يتم عزل المتغيّر إلى أحد جانبي علامة التساوي. ضرب الطرفين بالوسطين وإيجاد أقل عامل مشترك تقنيات مفيدة للغاية لعزل المتغيّرات وحل المعادلات المنطقية.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 2:

ضرب الطرفين بالوسطين

تنزيل المقال

1. 
   1
   أعِد ترتيب المعادلة إن احتجت لإيجاد كسر واحد في كل جانب من المعادلة. ضرب الطرفين بالوسطين طريقة سهلة وبسيطة لحل المعادلات المنطقية. لسوء الحظ، تعمل هذه الطريقة في حالة المعادلات التي تحتوي على تمثيل منطقي واحد فقط في كل جانب من جانبيّ المعادلة. إن لم تكن المعادلة في الصورة السليمة لإجراء عملية ضرب الطرفين في الوسطين، قد تحتاج إلى استخدام عمليات جبرية لنقل الأرقام إلى أماكنها الصحيحة.

   • على سبيل المثال، يمكن إعادة ترتيب المعادلة (س + 3)/4 - س/(-2) = 0 بسهولة لشكل يصلح لعملية ضرب الطرفين بالوسطين عن طريق إضافة س/(-2) إلى طرفي المعادلة مما يجعل المعادلة بالشكل التالي (س + 3)/4 = س/(-2).
     • ضع في الاعتبار أن الأرقام العشرية والأرقام الكاملة يمكن تحويلها إلى صيغة كسر عن طريق إعطائها العامل المشترك 1. يمكن كتابة المعادلة (س + 3)/4 - 2.5 = 5 على سبيل المثال بالشكل (س + 3)/4 = 7.5/1، مما يجعلها قابلة لإجراء عملية ضرب الطرفين بالوسطين.
   • لا يمكن تحويل بعض المعادلات المنطقية بسهولة إلى شكل يوجد فيه كسر منطقي أو معادلة منطقية واحدة في كل طرف من طرفي المعادلة. في هذه الحالات، استخدم طريقة إيجاد أقل عامل مشترك.
2. 
   2
   ضرب الطرفين بالوسطين. يعني ذلك ببساطة ضرب بسط أحد الكسور بمقام الكسر الآخر، وضرب بسط الكسر الآخرى بمقام الكسر المقابل. اضرب بسط الكسر الموجود في الجهة اليسرى من المعادلة مع مقام الكسر في الجهة اليمنى من المعادلة. كرّر ذلك مع بسط الكسر الأيمن ومقام الكسر الأيسر.

   • يتم إجراء عملية ضرب الطرفين بالوسطين بحسب العمليات الجبرية العادية. يمكن تحويل الكسور المنطقية إلى صيغة لا تحتوي على كسور عن طريق ضربها في مقاماتها. ضرب الطرفين بالوسطين اختصار مفيد لضرب كلا طرفي المعادلة بمقاميّ الكسرين. لا تصدّق ذلك؟ جرّب ذلك - ستحصل على نفس النتائج بعد تبسيط النتائج.
3. 
   3
   اكتب الناتجين كقيمتين متساويتين. ستحصل على ناتجين بعد ضرب الطرفين بالوسطين. اكتب الناتجين بصيغة التساوي وقم بتبسيطهما لكتابة كل طرف من أطراف المعادلة بأبسط شكل ممكن.

   • إن كانت المعادلة المنطقية على سبيل المثال (س + 3)/4 = س/(-2)، فستكون المعادلة الجديدة بعد ضرب الطرفين بالوسطين -2 × (س + 3) = 4س. يمكنك كتابة المعادلة بالشكل التالي أيضًا -2س - 6 = 4س.
4. 
   4
   قم بإيجاد قيمة المتغيّر. استخدم العمليات الجبرية لإيجاد قيمة المتغيّر في المعادلة. تذكّر أنه إن كان هناك متغيّر (س) على طرفي المعادلة، فستحتاج إلى إضافة أو طرح قيمة المتغيّر من الطرفين ليبقى متغيّر واحد غير معلوم على أحد طرفي المعادلة.

   • في مثالنا، يمكننا قسمة الطرفين على -2 مما يعطينا المعادلة التالية س + 3 = -2س. بطرح س من طرفي المعادلة، يكون الناتج 3 = -3س. أخيرًا، إن قسمنا الطرفين على -3 يكون الناتج -1 = س، ويمكننا كتابته بالشكل س = -1. لقد قمنا الآن بحل المعادلة المنطقية وإيجاد قيمة المتغيّر.

طريقة 2

طريقة 2 من 2:

إيجاد أقل عامل مشترك

تنزيل المقال

1. 
   1
   اعرف الحالة التي يكون فيها إيجاد أقل عامل مشترك أمر مناسب. يمكن استخدام أقل عامل مشترك لتبسيط المعادلات المنطقية مما يجعل إيجاد قيمة المتغيّرات ممكنًا. إيجاد أقل عامل مشترك فكرة جيدة إن كانت كتابة المعادلة المنطقية بحيث يكون فيها كسر أو تمثيل منطقي واحد فقط على كل جانب من جانبي المعادلة عملية صعبة. إيجاد أقل عامل مشترك عملية مفيدة لحل المعادلات المنطقية التي تحتوي على ثلاث جوانب أو أكثر، إلا أن استخدام ضرب الطرفين بالوسطين أسهل في حالة المعادلات المنطقية التي تحتوي على جانبين فقط.
2. 
   2
   تفقّد مقام كل كسر. حدّد أقل رقم يمكن قسمة كل مقام عليه ليعطي رقم صحيح. هذا الرقم هو أقل عامل مشترك للمعادلة.

   • أحيانًا ما يكون أقل عامل مشترك واضحًا - يعني ذلك أقل رقم يعدّ عامل لكل مقام من المقامات. على سبيل المثال، إن كانت المعادلة س/3 + 1/2 = (3س + 1)/6، فلن يصعب عليك معرفة أن العامل المشترك للأرقام 3 و 2 و 6 هو الرقم 6.
   • على أي حال، لا يعدّ أقل عامل مشترك في المعادلة المنطقية بديهي عادة. جرّب في هذه الحالات اختبار العوامل المشتركة الأكبر حتى تصل إلى عامل مشترك يكون عامل لكل المقامات. عادة ما يكون أقل عامل مشترك للمقامات من مضاعفات الرقم 2. على سبيل المثال، أقل عامل مشترك في المعادلة 2/6 = (س - 3)/9 يكون 8 × 9 = 72.
   • إن كان أحد مقامات أحد يحتوي على متغيّر، فهذه العملية أكثر صعوبة إلا أنها ليست مستحيلة. في هذه الحالات، يكون العامل المشترك تعبيرًا رياضيًا (يحتوي متغيّرات) يمكن قسمة كل المقامات عليه عوضًا عن كونه رقمًا واحدًا. يكون العامل المشترك في حالة المعادلة 5/(س-1) = 1/س + 2/(3س) مثلًا 3س(س-1) لأنه يمكن قسمة كل مقام عليه ليعطي رقمًا صحيحًا - تؤدي القسمة على (س-1) إلى إنتاج 3س، والقسمة على 3س إلى الناتج (س-1)، والقسمة على س إلى الناتج 3(س-1).
3. 
   3
   اضرب كل كسر في المعادلة في الرقم 1. قد لا يبدو أن ضرب الكسور في 1 أمر عديم الجدوى، إلا أن هناك خدعة في ذلك. يمكن تعريف الرقم 1 على أنه رقم مستقل، حيث أن -2/2 و 3/3 تعطي الناتج 1 أيضًا. تستغل هذه الطريقة من هذا التعريف البديل. اضرب كل كسر في المعادلة المنطقية في الرقم 1 بحيث تكتب الرقم 1 بالطريقة التي يُنتج ضربه في المقام أقل عامل مشترك على نفسه.

   • في مثالنا البسيط، سنقوم بضرب س/3 في 2/2 ليكون الناتج 2س/6، وضرب 1/2 في 3/3 ليكون الناتج 3/6. يحتوي الجانب 3س + 1/6 على الرقم 6 (أقل عامل مشترك) كمقام بالفعل، لذا فإنه يمكننا ضربه في الكسر 1/1 أو تركه دون ضربه في كسر على الإطلاق.
   • في مثالنا الذي يحتوي على متغيرات في مقامات الكسور، تكون العملية أكثر صعوبة. بما أن أقل عامل مشترك هو 3س(س-1)، فإنا نضرب كل تعبير منطقي في هذا العامل لينتج حاصل قسمة 3س(س-1) على نفسه. سنقوم بضرب 5/(س-1) في (3س)/(3س) ليكون الناتج 5(3س)/(3س)(س-1)، وضرب 1/س في 3(س-1)/3(س-1) ليكون الناتج 3(س-1)/3س(س-1)، وضرب 2/(3س) في (س-1)/(س-1) ليكون الناتج 2(س-1)/3س(س-1).
4. 
   4
   بسّط الكسور وقم بإيجاد قيمة المتغيّر س. بما أن كل جوانب المعادلة المنطقية الآن تمتلك نفس المقام، يمكنك إلغاء المقامات من المعادلة والتعامل مع البُسط وحدها. ببساطة، اضرب طرفي المعادلة للحصول على البُسُط وحدها، ثم استخدم العمليات الجبرية لإيجاد قيمة المتغير س (أو أي متغير آخر تقوم بإيجاد قيمته) وحده على أحد طرفي المعادلة.

   • في مثالنا البسيط، سنحصل بعد ضرب كل جانب بشكل بديل للرقم 1 على الناتج 2س/6 + 3/6 = (3س+1)/6. يمكن إضافة كسرين معًا إن كانا يمتلكان نفس المقامين، لذا يمكننا تبسيط المعادلة لتكون (2س+3)/6 = (3س+1)/6 دون تغيير قيمتها. اضرب طرفي المعادلة في 6 لإلغاء المقامات، مما يترك لنا الناتج 2س+3 = 3س+1. اطرح الرقم 1 من طرفي المعادلة للحصول على الناتج 2س+2 = 3س، واطرح 2س من الجانبين للحصول على الناتج 2 = س الذي يمكن كتابته بالشكل التالي س = 2.
   • في مثالنا الذي يحتوي على متغيرات في مقاماته، سيكون الناتج بعد ضرب كل جانب في الرقم 1 هو 5(3س)/(3س)(س-1) = 3(س-1)/3س(س-1) + 2(س-1)/3س(س-1). يسمح ضرب كل جانب في أقل عامل مشترك لنا بإلغاء المقامات ليكون الناتج 5(3س) = 3(س-1) + 2(س-1). يمكن العمل على هذه النتيجة لكتابتها بالشكل 15س = 3س - 3 + 2س - 2، ويمكن تبسيط الناتج بعد ذلك ليكون 15س = س - 5. يؤدي طرح س من الجانبين إلى إنتاج 14س = -5، ويمكن تبسيط هذه النتيجة لتكون س = -5/14.

أفكار مفيدة

• استخدم قيمة المتغيّر التي حصلت عليها بعد حل المعادلة المنطقية للتعويض في المعادلة الأصلية بعد حل المعادلة. إن كانت قيمة المتغير صحيحة، ستتمكن من تبسيط المعادلة الأصلية لعبارة منطقية بسيطة مثل 1 = 1.
• لاحظ أن بإمكانك كتابة ذلك كتعبير منطقي أو متعدد الحدود، وكل ما عليك فعله هو كتابتها فوق العامل المشترك 1. لذا فإن س+3 و (س+3)/1 لهما نفس القيمة، إلا أن التعبير اللاحق يعد تعبيرًا منطقيًا لأنه مكتوب على شكل كسر.