Comment résoudre des équations rationnelles

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Faire un produit en croix

Trouver le plus petit commun multiple (PPCM)

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Références

En mathématiques, une expression rationnelle est tout simplement une fraction qui contient une inconnue soit en numérateur soit en dénominateur. Une équation rationnelle est une équation qui renferme au moins une expression rationnelle. Ces équations se résolvent selon les mêmes principes qu’une équation classique : tout ce que vous faites à un membre de l’équation est fait à l’identique à l’autre membre. Il existe deux méthodes de résolutions, l’une consistant à faire le produit en croix, l’autre à réduire les fractions au même dénominateur. Après, tout est question d’addition, de soustraction, de multiplication et de division.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Faire un produit en croix

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   Arrangez-vous pour avoir une seule fraction dans chaque membre. Il est une condition essentielle : il ne doit y avoir qu’une seule fraction de chaque côté, sinon vous ne pourrez pas utiliser le produit en croix. Avec l’habitude, vous verrez rapidement si une équation peut être réduite à l’égalité de deux fractions. Dans certains cas, il suffira de passer une fraction de l’autre côté, dans d’autres, il faudra faire quelques petits calculs pour arriver à la disposition voulue .

   • Prenons l’équation ${\frac {x+3}{4}}-{\frac {x}{-2}}=0$. Pour faire passer la seconde fraction à droite, il faut ajouter aux deux membres de l’équation ${\frac {x}{-2}}$, ce qui donne une équation équivalente, mais avec une fraction de chaque côté : ${\frac {x+3}{4}}={\frac {x}{-2}}$. La fraction a changé de signe en passant de l’autre côté.
     • Tout nombre entier ou décimal peut se présenter sous la forme d’une fraction, il suffit de mettre ce nombre sur 1. Ainsi, l’équation
       ${\frac {x+3}{4}}-2,5=5$ est la même que ${\frac {x+3}{4}}=5+2,5$ ou ${\frac {x+3}{4}}=7,5$ ou encore ${\frac {x+3}{4}}={\frac {7,5}{1}}$.
   • Certaines équations ne se laissent pas aussi facilement réduire à l’égalité de deux fractions, ce qui ne permet donc pas d’utiliser cette méthode du produit en croix. En ces cas-là, vous devez utiliser la méthode du plus petit dénominateur commun.
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   Faites le produit en croix. Sur votre feuille, inscrivez en premier lieu le résultat du produit du numérateur d’une des fractions par le dénominateur de l’autre et sur la même ligne, un peu plus loin, le résultat du produit du dénominateur de la première fraction par le numérateur de la seconde. Vous multipliez selon une croix .

   • Le produit en croix obéit aux règles de l’algèbre. Il permet, pour simplifier, de transformer des fractions en valeurs non rationnelles. En multipliant les valeurs en croix de deux fractions égales, vous conservez toujours une égalité. Partez d’une égalité de fractions numériques de votre choix, faites le produit en croix et vous verrez que cela fonctionne à tous les coups.
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   Mettez ces deux produits à égalité. Cela signifie simplement que vous devez remettre entre ces deux produits le signe « = » qui était là depuis le départ. Si c’est possible, vous devez simplifier l’équation à sa plus simple expression .

   • Vous aviez donc l’équation ${\frac {x+3}{4}}={\frac {x}{-2}}$. Une fois le produit en croix effectué, vous obtenez l’équation $-2(x+3)=4x$. Faites les calculs et vous obtenez $-2x-6=4x$.
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   Trouvez $$ x {\displaystyle x} . Pour trouver l’inconnue, c’est simple ici, vous groupez tous les $x$ d’un côté et toutes les constantes de l’autre. Quand vous changez une valeur de côté, vous devez changer son signe. Ainsi, un 2x à droite devient un -2x s’il est déplacé à gauche .

   • Dans notre exemple, il est possible de simplifier tous les termes par 2, ce qui donne $-x-3=2x$. Ajoutez $x$ aux deux membres de l’équation et cela vous donnera $-x+x-6=2x+x$, soit $3x=-3$. Divisez chaque membre par trois, ce qui donne $x=-1$.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Trouver le plus petit commun multiple (PPCM)

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   Sachez quand utiliser le plus petit dénominateur commun. Aussi appelé « plus petit commun multiple » (PPCM), il peut être utilisé pour faire disparaitre les dénominateurs et donc les fractions d’une équation. En effet, dans certains cas, quand vous avez, par exemple, plusieurs fractions ayant des dénominateurs différents, il est pratique, sinon obligatoire, de tout ramener au même dénominateur. Si vous n’avez que deux fractions, la méthode du produit en croix est bien plus rapide et moins sujette à erreurs.
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   Repérez les différents dénominateurs. Vous devez alors trouver la plus petite valeur entière divisible par chacun des dénominateurs : ce sera le plus petit commun multiple.

   • Dans certains cas, ce dénominateur commun est évident, car il est un des dénominateurs. C’est une réflexion qu’il faut toujours avoir en priorité. Ainsi, si vous devez résoudre l’équation ${\frac {x}{3}}+{\frac {1}{2}}={\frac {3x+1}{6}}$, il est assez facile de voir que le multiple commun de 3, 2 et 6 est 6 (divisible par 6, 3 et 2).
   • Par contre, dans la majorité des cas, il faut se livrer à un petit calcul pour trouver ce dénominateur commun. La technique consiste à passer en revue les multiples successifs du plus grand dénominateur. Dans l’équation
     ${\frac {x}{8}}+{\frac {6}{6}}={\frac {x-3}{9}}$, vous avez comme dénominateurs 6, 8 et 9. Partez de 9 : il n’est pas divisible par 8. Les multiples suivants, 18, 27, 36, 54 et 63 ne le sont pas par 8. Seul 72 est divisible par 9, 8 et 6 : c’est donc le PPCM.
   • Il peut aussi arriver que les dénominateurs contiennent des expressions avec l’inconnue. La réduction au même dénominateur est également possible. Dans ces cas-là, le PPCM est une expression contenant l’inconnue. Prenons l’exemple suivant : ${\frac {5}{x-1}}={\frac {1}{x}}+{\frac {2}{3x}}$. Le PPCM est $3x(x-1$), lequel est divisible par $x-1$ (quotient : $3x$), $x$ (quotient :
     $3(x-1)$) et $3x$ (quotient : $x-1$).
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   Multipliez les fractions de l’équation par 1. Cela peut sembler inutile au premier abord, car 1 est neutre pour la multiplication, mais si vous songez que, par exemple, 1 peut s’écrire ${\frac {2}{2}}$ ou ${\frac {3}{3}}$, vous voyez peut-être l’usage que l’on peut en faire dans la réduction au même dénominateur. Une fois le PPCM déterminé, il ne vous reste plus qu’à multiplier chaque fraction par la bonne fraction, complémentaire en quelque sorte, dont la valeur est 1.

   • Reprenons l’exemple. Le PPCM est donc de 6, il faut donc multiplier ${\frac {x}{3}}$ par ${\frac {2}{2}}$ pour avoir une fraction sur 6 (${\frac {2x}{6}}$). De même, multipliez ${\frac {1}{2}}$ par ${\frac {3}{3}}$ pour obtenir ${\frac {3}{6}}$. Quant à ${\frac {3x+1}{6}}$, elle reste inchangée.
   • Quand le PPCM est une expression avec une inconnue, c’est un peu plus complexe. Il a été déterminé dans l’exemple que $3x(x-1)$ était le PPCM. Comme précédemment, trouvez des fractions égales à 1, mais contenant l’inconnue. Ainsi pour la première fraction, vous devez la multiplier par ${\frac {3x}{3x}}$, ce qui donne ${\frac {5(3x)}{3x(x-1)}}$. La seconde fraction sera multipliée par
     ${\frac {3(x-1)}{3(x-1)}}$ pour donner ${\frac {3(x-1)}{3x(x-1)}}$ et la dernière sera multipliée par
     ${\frac {x-1}{x-1}}$ pour obtenir ${\frac {2(x-1)}{3x(x-1)}}$.
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   Simplifiez et trouvez $$ x {\displaystyle x} . Tous les dénominateurs ayant été ramenés à un seul, vous pouvez les supprimer en multipliant, à un moment donné, chaque membre par le PPCM. Ce qui reste est en fait l’égalité des numérateurs. Ensuite, il ne vous restera plus qu’à faire des opérations communes aux deux membres pour trouver $x$. Faites attention aux signes des éléments que vous ajoutez.

   • Reprenons le premier exemple. Nous en étions restés à :
     ${\frac {2x}{6}}+{\frac {3}{6}}={\frac {3x+1}{6}}$. Deux fractions ayant le même dénominateur peuvent être additionnées, ce qui donne ici : ${\frac {2x+3}{6}}={\frac {3x+1}{6}}$. Multipliez de chaque côté par 6 et vous obtenez l’égalité des numérateurs :
     $2x+3=3x+1$. Mettez tous les $x$ à gauche et les constantes à droite en ajoutant $-3$ et $-3x$ de chaque côté, ce qui donne :
     $2x+3-3-3x=3x+1-3-3x$, soit $-x=-2$. La réponse est donc : $x=2$.
   • Dans le second exemple, vous avez l’équation
     ${\frac {5(3x)}{3x(x-1)}}={\frac {3(x-1)}{3(x-1)}}+{\frac {2(x-1)}{3x(x-1)}}$. Multipliez de chaque côté par le PPCM pour faire disparaitre le dénominateur commun, votre équation devient : $5(3x)=3(x-1)+2(x-1)$, soit $15x=3x-3+2x-2$, soit encore $15x=x-5$. Soustrayez $x$ de chaque côté : $14x=-5$, puis divisez de chaque côté par 14 pour résoudre l’équation : $x=-{\frac {5}{14}}$.
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Conseils

• Si vous avez le temps, il est toujours bon de vérifier la justesse de votre réponse. Pour cela, il suffit de reprendre l’équation de départ, de remplacer $x$ par la valeur trouvée et de faire les calculs : vous devez retomber sur une égalité parfaite.
• Tout polynôme peut être transformé en une expression rationnelle. Il suffit pour cela de ramener le polynôme sur 1. C’est ainsi que $x+3$ et ${\frac {x+3}{1}}$ sont strictement équivalents, la seconde expression étant rationnelle, car présentée sous la forme d’une fraction.

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