Как решить рациональное уравнение

Если вам дано выражение с дробями с переменной в числителе или в знаменателе, то такое выражение называется рациональным уравнением. Рациональное уравнение — любое уравнение, которое включает в себя не менее одного рационального выражения. Решаются рациональные уравнения так же, как любые уравнения: выполняются те же операции с обеих сторон уравнения, пока переменная не обособляется на одной стороне уравнения. Тем не менее есть два метода решения рациональных уравнений.

Метод 1

Метод 1 из 2:

Умножение крест-накрест

Загрузить PDF

1
При необходимости перепишите данное вам уравнение так, чтобы на каждой его стороне находилась одна дробь (одно рациональное выражение); только в этом случае вы сможете воспользоваться методом умножения крест-накрест.^{[1]XИсточник информации}
- Например, дано уравнение (x + 3)/4 - x/(-2) = 0. Перенесите дробь x/(-2) на правую сторону уравнения, чтобы записать уравнение в надлежащем виде: (x + 3)/4 = x/(-2).
  - Имейте в виду, что десятичные и целые числа могут быть представлены в виде дробей, если поставить в знаменателе 1. Например, (х + 3)/4 - 2,5 = 5 можно переписать в виде (х + 3)/4 = 7,5/1; это уравнение можно решить при помощи умножения крест-накрест.
- Если вы не можете переписать уравнение в нужном виде, смотрите следующий раздел.
2
Умножение крест-накрест. Умножьте числитель левой дроби на знаменатель правой. Повторите это с числителем правой дроби и знаменателем левой.^{[2]XИсточник информации}
- Умножение крест-накрест основано на основных алгебраических принципах. В рациональных выражениях и других дробях можно избавиться от числителя, соответственно перемножив числители и знаменатели двух дробей.
3
Приравняйте полученные выражения и упростите их.^{[3]XИсточник информации}
- Например, дано рациональное уравнение: (х +3 )/4 = х/(-2). После перемножения крест-накрест оно записывается в виде: -2(х +3) = 4x или -2х 2 6 = 4х
4
Решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Если «х» находится с обеих сторон уравнения, обособьте его на одной стороне уравнения.^{[4]XИсточник информации}
- В нашем примере вы можете разделить обе стороны уравнения на (-2) и получите: х+3 = -2x . Перенесите члены с переменной «х» на одну сторону уравнения и получите: 3 = -3х. Затем разделите обе части на -3 , чтобы получить результат: х=-1.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Наименьший общий знаменатель (НОЗ)

Загрузить PDF

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применим в том случае, когда нельзя записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда дано рациональное уравнение с тремя или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).
2
Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ — это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.^{[5]XИсточник информации}
- Иногда НОЗ — очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
- Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
- Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
3
Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и то же число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).
- Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
- Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).
4
Найдите «х». Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.
- В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить две дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
- В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15х = х - 5. Решите и получите: х = -5/14.
Реклама

Советы

Найдя «х», проверьте свой ответ, подставив значение «х» в исходное уравнение. Если ответ правильный, вы сможете упростить исходное уравнение к простому выражению, например, 1 = 1.
Обратите внимание, что вы можете записать любой многочлен как рациональное выражение, просто разделив его на 1. Так х +3 и (х +3 )/1 имеют одинаковое значение, но последнее выражение считается рациональным выражением, потому что записано в виде дроби.