Vergelijkingen met breuken oplossen

Een rationale functie is een breuk met één of meer variabelen in de teller of de noemer. Een rationale vergelijking is elke vergelijking die tenminste één rationale expressie bevat. Evenals gewone algebraïsche vergelijkingen kunnen rationale expressies worden opgelost door dezelfde bewerking toe te passen op beide kanten van de vergelijking tot de variabele is geïsoleerd aan één kant van het is-gelijk teken. Twee speciale methoden, kruislings vermenigvuldigen en het vinden van het kleinste gemene veelvoud van de noemers, zijn bijzonder handig voor het isoleren van variabelen en het oplossen van rationale vergelijkingen.

Methode 1

Methode 1 van 2:

Methode Eén: Kruislings vermenigvuldigen

Pdf downloaden

1
Herschik, indien nodig, de vergelijking om ervoor te zorgen dat er een breuk aan beide kanten van het is-gelijk teken staat. Kruislings vermenigvuldigen is een snelle methode voor het oplossen van rationale vergelijkingen. Helaas werkt deze methode alleen bij rationale vergelijkingen die precies één rationale uitdrukking of breuk aan beide zijden van het is-gelijk teken hebben staan. Als dit bij jouw vergelijking niet het geval is, dan heb je waarschijnlijk bepaalde algebraïsche bewerkingen nodig om de termen op de juiste plek te krijgen.
- Bijvoorbeeld de vergelijking (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 kan eenvoudig omgezet worden naar de juiste vorm voor kruislings vermenigvuldigen, door het toevoegen van x/(-2) aan beide kanten van de vergelijking, waardoor het resultaat er zo uit ziet: (x + 3)/4 = x/(-2).
  - Onthoud dat decimalen en gehele getallen omgezet kunnen worden naar breuken door ze als noemer 1 te geven. (x + 3)/4 - 2.5 = 5, bijvoorbeeld kan worden herschreven als (x + 3)/4 = 7.5/1, waardoor hierop kruislings vermenigvuldigen kan worden toegepast.
- Sommige rationale vergelijkingen kunnen niet zo gemakkelijk worden omgezet naar de juiste vorm. Gebruik in die gevallen de methoden waarbij je het kleinste gemene veelvoud van de noemers gebruikt.
2
Kruislings vermenigvuldigen. Kruislings vermenigvuldigen betekend eenvoudigweg het vermenigvuldigen van de teller van de ene breuk met de noemer van de andere en vice versa. Vermenigvuldig de teller van de breuk aan de linkerkant van het is-gelijk teken met de breuk aan de rechterkant. Herhaal dit met de teller aan de rechterkant en de noemer van de breuk aan de linkerkant.
- Kruislings vermenigvuldigen werkt volgens gewone algebraïsche principes. Rationale uitdrukkingen en andere breuken kunnen omgezet worden naar gewone getallen door het vermenigvuldigen van de noemers. Kruislings vermenigvuldigen is in de basis een handige, verkorte manier voor het vermenigvuldigen van beide kanten van de vergelijking met de beide noemers van de breuken. Geloof je het niet? Probeer het maar – je zult dezelfde resultaten te zien krijgen na vereenvoudigen.
3
Maak de beide producten gelijk aan elkaar. Na het kruislings vermenigvuldigen zit je met twee producten. Maak deze twee termen gelijk aan elkaar en vereenvoudig ze om aan beide kanten van de vergelijking de eenvoudigste termen over te houden.
- Als bijvoorbeeld (x+3)/4 = x/(-2) je originele rationale uitdrukking was, dan wordt dit na het kruislings vermenigvuldigen gelijk aan -2(x+3) = 4x. Dit kan eventueel herschreven worden als -2x - 6 = 4x.
4
Los op voor de variabele. Gebruik algebraïsche bewerkingen om de waarde van de variabele in de vergelijking te vinden. Onthoud dat als x aan beide kanten van het is-gelijk teken tevoorschijn komt, je door middel van het optellen of aftrekken van een x-term ervoor moet zorgen dat er alleen x-termen aan één kant van het is-gelijk teken staan.
- In ons voorbeeld is het mogelijk om beide kanten van de vergelijking te delen door -2, wat ons x+3 = -2x oplevert. Door het aftrekken van x van beide kanten van het is-gelijk teken geeft dit ons 3 = -3x. En uiteindelijk, door het delen van beide kanten door -3 krijgen we -1 = x, of ook x = -1. Nu hebben we x gevonden waarmee onze rationale vergelijking is opgelost.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Methode Twee: Het kleinste gemene veelvoud (kgv) van de noemers vinden

Pdf downloaden

Het kleinste gemene veelvoud (kgv) van de noemers kan worden gebruikt bij het vereenvoudigen van rationale vergelijkingen, waardoor het mogelijk wordt om de waarden van hun variabelen te vinden. Het vinden van een kgv is een goed idee als de rationale vergelijking niet gemakkelijk herschreven kan worden in een vorm, waarbij er maar één breuk of rationale uitdrukking aan elke kant van het is-gelijk teken staat. Voor het oplossen van rationale vergelijkingen met drie termen of meer, zijn kgv's een handig hulpmiddel. Maar voor het oplossen van rationale vergelijkingen met slechts twee termen is kruislings vermenigvuldigen vaak sneller.
2
Onderzoek de noemer van elke breuk. Bepaal het kleinste getal dat helemaal deelbaar is door elke noemer. Dit is het kgv van je vergelijking.
- Soms is het kleinste gemene veelvoud – het kleinste getal dat helemaal deelbaar is door elk van de noemers – meteen duidelijk. Als bijvoorbeeld je uitdrukking er uit ziet als x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, dan is het gemakkelijk om te zien dat het kgv deelbaar moet zijn door 3, 2 en 6 en dus gelijk is aan 6.
- Maar vaker is het kgv van een rationale vergelijking helemaal niet direct duidelijk. Probeer in die gevallen de meervouden van de grootste noemer tot je een getal vindt dat ook de meervouden omvat van de andere, kleinere noemers. Vaak is het kgv een product van twee noemers. Neem bijvoorbeeld de vergelijking x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, waarbij het kgv gelijk is aan 8*9 = 72.
- Als één of meer van de noemers een variabele bevat, dan verloopt dit proces wat moeilijker, maar het is zeker niet onmogelijk. In die gevallen is het kgv een uitdrukking (met variabelen) waar alle noemers volledig in passen, niet slechts een enkel getal. Als voorbeeld, de vergelijking 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), waarbij het kgv gelijk is aan 3x(x-1), omdat het volledig deelbaar is door elke noemer – deling door (x-1) geeft 3x, deling door 3x geeft (x-1) en een deling door x geeft 3(x-1).
3
Vermenigvuldig elke breuk in de rationale vergelijking met 1. Het vermenigvuldigen van elke term met 1 mag nutteloos overkomen, maar je kunt hierbij een trucje toepassen. 1 kan namelijk worden geschreven als een breuk – bijv. 2/2 en 3/3. Vermenigvuldig elke breuk in je rationale vergelijking met 1, waarbij je 1 elke keer opschrijft als het getal of de term die wordt vermenigvuldigt met elke noemer om het kgv als breuk weer te geven.
- In ons voorbeeld kunnen we x/3 vermenigvuldigen met 2/2 om 2x/6 te krijgen en 1/2 met 3/3 vermenigvuldigen om 3/6 te krijgen. 3x +1/6 heeft al een 6 (kgv) als noemer, dus kunnen we deze vermenigvuldigen met 1/1 of gewoon laten staan.
- In ons voorbeeld met variabelen in de noemers is het hele proces wat ingewikkelder. Omdat het kgv gelijk is aan 3x(x-1) vermenigvuldigen we elke rationale uitdrukking met een breuk die 3x(x-1) oplevert als noemer. We vermenigvuldigen 5/(x-1) met (3x)/(3x) en dit geeft 5(3x)/(3x)(x-1), we vermenigvuldigen 1/x met 3(x-1)/3(x-1) en dit geeft 3(x-1)/3x(x-1) en we vermenigvuldigen 2/(3x) met (x-1)/(x-1) en dit geeft tenslotte 2(x-1)/3x(x-1).
4
Vereenvoudig en los op voor x. Nu elke term in je rationale vergelijking dezelfde noemer heeft is het mogelijk om de noemers weg te werken uit de vergelijking en de tellers op te lossen. Vermenigvuldig gewoon beide kanten van de vergelijking met het kgv om de noemers weg te werken zodat je alleen de tellers overhoudt. Nu is het een gewone vergelijking geworden die je kunt oplossen voor de variabele door deze te isoleren aan één kant van het is-gelijk teken.
- In ons voorbeeld krijgen we na het vermenigvuldigen, door 1 in te zetten als breuk, 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Twee breuken kunnen worden opgeteld als ze dezelfde noemer hebben, dus kunnen we deze vergelijking noteren als (2x+3)/6 = (3x+1)/6 zonder dat de waarde ervan wijzigt. Vermenigvuldig beide kanten met 6 om de noemers weg te werken, waardoor we 2x+3 = 3x+1 overhouden. Trek hier 1 af van beide kanten om 2x+2 = 3x over te houden en trek 2x van beide kanten af om 2 = x over te houden, welke daarna ook als x = 2 kan worden geschreven.
- In ons voorbeeld met variabelen in de noemers, is de vergelijking na het vermenigvuldigen van elke term met "1" gelijk aan 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Door het vermenigvuldigen van elke term met het kgv wordt het mogelijk om de noemers weg te werken, wat ons nu 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) oplevert. Verder uitgewerkt wordt dit 15x = 3x - 3 + 2x -2, wat weer te vereenvoudigen is als 15x = x - 5. Het aftrekken van x van beide kanten levert 14x = -5, waardoor het uiteindelijke antwoord vereenvoudigd kan worden tot x = -5/14.
Advertentie

Tips

Heb je de waarde van de variabele gevonden, controleer dan je antwoord door deze waarde in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking. Heb je de waarde van de variabele helemaal goed, dan zou je in staat moeten zijn om de vergelijking te vereenvoudigen tot een simpele, kloppende stelling, zoals 1 = 1.
Elke vergelijking is te schrijven als rationale uitdrukking; plaats het gewoon als teller boven de noemer 1. Dus de vergelijking x+3 is te schrijven als (x+3)/1, beide hebben dezelfde waarde.

Advertentie