Jak řešit racionální rovnice

Racionální výraz je zlomek s jednou nebo více neznámými v čitateli nebo ve jmenovateli. Racionální rovnicí je jakákoliv rovnice obsahující alespoň jeden racionální výraz. Stejně jako obyčejné algebraické rovnice, i rovnice racionální lze řešit prováděním stejných úprav na obou stranách rovnice tak dlouho, dokud nezůstane neznámá osamostatněná na jedné straně znaménka =. K osamostatnění neznámé a vyřešení racionálních rovnic velmi dobře poslouží dvě speciální techniky: násobení do kříže a nalezení největšího společného dělitele.

Metoda 1

Metoda 1 ze 2:

Násobení do kříže

Stáhnout PDF

1
Pokud je třeba, přeskládejte si rovnici tak, abyste na každé straně znaménka = měli jeden zlomek. Násobení do kříže je rychlou a snadnou cestou k vyřešení racionálních rovnic. Naneštěstí tento postup funguje jen pro racionální rovnice, které mají na každé straně rovnítka právě jeden racionální výraz. Pokud nemá vaše rovnice tuto formu nezbytnou pro násobení do kříže, můžete k přesunu jejích členů na patřičná místa využít algebraických operací.
- Například rovnici (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 lze snadno přeskládat do formy pro násobení do kříže tak, že ke každé její straně přičtete x/(-2). Dostanete rovnici (x + 3)/4 = x/(-2).
  - Pamatujte, že desetinná a celá čísla lze na zlomky převést tak, že jim přidáte jako jmenovatel 1. Například (x + 3)/4 - 2.5 = 5 lze přepsat jako (x + 3)/4 = 7.5/1, což už je vhodný kandidát na násobené křížem.
- Některé rovnice nelze snadno zjednodušit do podoby s jedním zlomkem či racionálním výrazem na každé straně rovnítka. V takových případech použijte metodu s největším společným dělitelem.
2
Násobte do kříže. Násobení do kříže prostě znamená, že čitatel jednoho zlomku vynásobíte jmenovatelem zlomku druhého a opačně. Čitatel zlomku na levé straně rovnítka násobte čitatelem zlomku na pravé straně. To samé proveďte s čitatelem pravého zlomku a jmenovatelem levého zlomku.
- Násobení do kříže funguje na základních algebraických principech. Racionální výrazy a další zlomky lze převést do nelomené podoby tak, že je vynásobíte jejich jmenovatelem. Násobení do kříže je tedy v podstatě zkrácenou formou násobení obou stran rovnice jmenovateli obou zlomků. Nevěříte? Zkuste si to. Po zkrácení výrazů dostanete ten stejný výsledek.
3
Součiny si položte rovny. Násobením do kříže dostanete dva součiny. Položte je tedy do rovnosti a zjednodušte každou stranu rovnice do nejjednodušší podoby.
- Pokud byl například původní racionální výraz (x+3)/4 = x/(-2), po násobení křížem dostanete novou rovnici -2(x+3) = 4x. To lze případně zapsat také jako -2x - 6 = 4x.
4
Spočtěte hodnotu proměnné. K výpočtu proměnné použijte algebraické operace. Pamatujte, že pokud se x nachází na obou stranách rovnítka, musíte jej od obou stran odečíst, nebo naopak přičíst, abyste výraz s x dostali jen na jedné straně rovnice.
- V našem příkladu vydělíme obě strany rovnice -2, čímž získáme x+3 = -2x. Odečtením x od obou stran rovnice dostaneme 3 = -3x. Nakonec vydělíme obě strany rovnice číslem -3, čímž dostaneme -1 = x, což lze přepsat jako x = -1. Našli jsme x, které je řešením naší racionální rovnice.
Reklama

Metoda 2

Metoda 2 ze 2:

Nalezení největšího společného dělitele

Stáhnout PDF

Největší společný dělitel (NSD) lze využít pro zjednodušení racionálních rovnic a umožnění zjištění hodnoty jejich neznámých. Hledání NSD je dobrý nápad ve chvíli, kdy nelze racionální rovnici jednoduše přepsat do podoby s jedním (a právě jedním) zlomkem nebo racionálním výrazem na každé straně rovnítka. NSD se může hodit i při řešení racionálních rovnic se třemi a více výrazy. Při řešení racionálních rovnic s právě dvěma výrazy může nicméně být rychlejší metodou násobení křížem.
2
Prozkoumejte jmenovatel každého zlomku. Najděte nejmenší číslo, které lze beze zbytku vydělit každým ze jmenovatelů. Toto číslo je NSD vaší rovnice.
- Někdy je největší společný jmenovatel – tedy číslo, které lze poskládat ze všech stávajících jmenovatelů – zřejmý. Například pokud máte výraz x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, není těžké zjistit, že nejmenším číslem, které se skládá z čísel 2,3 a 6, je skutečně číslo 6.
- Často však není NSD racionální rovnice okamžitě zřejmý. V takových případech vyzkoušejte násobky největšího jmenovatele, dokud nenajdete ten, který lze dělit i všemi menšími jmenovateli. Často pak je NSD násobkem dvou jmenovatelů. Například v rovnici x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 se NSD rovná 8*9 = 72.
- Pokud jeden nebo více jmenovatelů zlomků obsahuje neznámou, je tento proces složitější, nikoliv však nemožný. V takových případech nebude NSD jediné číslo, ale výraz (bude tedy obsahovat neznámou), který lze bezezbytku vydělit všemi jmenovateli. Například v rovnici 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) je NSD 3x(x-1), protože tento výraz dělí bezezbytku každý ze jmenovatelů. Dělením NSD výrazem (x-1) dostaneme 3x, vydělením 3x výraz (x-1) a vydělením x nakonec 3(x-1).
3
Každý zlomek v rovnici vynásobte číslem 1. Násobení každého výrazu 1 může vypadat zbytečně, trik je však v tom, že 1 lze definovat jako jakékoliv číslo dělené samo sebou: například 2/2 a 3/3 jsou korektní zápisy čísla "1." Tato metoda využívá právě takovýchto alternativních zápisů. Každý zlomek racionální rovnice vynásobte 1 zapsanou takovým číslem nebo výrazem, aby násobek takovéto 1 dal ve jmenovateli výrazu přímo NSD.
- V našem jednoduchém příkladu můžeme vynásobit x/3 číslem 2/2, abychom dostali 2x/6, a také 1/2 vynásobit 3/3, abychom dostali 3/6. Ve zlomku 3x +1/6 již číslo 6, tedy NSD, ve jmenovateli je. Můžeme jej proto vynásobit 1/1, nebo nenásobit ničím.
- V příkladu s neznámými ve jmenovatelích zlomků je tento proces o něco záludnější. Jelikož je NSD 3x(x-1), každý racionální výraz násobíme výrazem, jehož součinem dostaneme 3x(x-1) lomeno 3x(x-1). 5/(x-1) tedy násobíme (3x)/(3x), abychom dostali 5(3x)/(3x)(x-1). 1/x násobíme 3(x-1)/3(x-1) a dostaneme 3(x-1)/3x(x-1). Nakonec 2/(3x) vynásobíme (x-1)/(x-1), abychom dostali 2(x-1)/3x(x-1).
4
Zjednodušte výrazy a získejte x. Nyní, když má každý z výrazů racionální rovnice stejný jmenovatel, můžete jmenovatele z rovnice odstranit a spočítat čitatele. Jednoduše obě strany rovnice vynásobte jmenovatelem, aby vám zůstaly pouze čitatele. Poté využijte algebraických operací k osamostatnění x (nebo jakékoliv jiné neznámé) na jedné straně rovnice.
- V našem jednoduchém příkladu po vynásobení každého výrazu alternativním zápisem 1 dostaneme 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Mají-li dva zlomky stejný jmenovatel, můžete je sčítat, takže lze rovnici zjednodušit do podoby (2x+3)/6 = (3x+1)/6, aniž by se její hodnota změnila. Obě strany rovnice vynásobíme číslem 6, čímž se zbavíme jmenovatele a zůstane nám 2x+3 = 3x+1. Od obou stran odečteme 1 a dostaneme 2x+2 = 3x. Poté od obou stran odečteme 2x a dostaneme 2 = x, což lze přepsat jako x = 2.
- V našem příkladu s neznámými ve jmenovateli po vynásobení všech výrazů "1" dostaneme 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Když každý z výrazů vynásobíme NSD, zbavíme se jmenovatelů a získáme 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). To nás dovede k 15x = 3x - 3 + 2x -2, což lze zjednodušit jako 15x = x - 5. Odečtením x od obou stran rovnice dostaneme 14x = -5, což nakonec zjednodušíme do formy x = -5/14.
Reklama

Tipy

Jakmile spočtete požadovanou neznámou, ověřte si výsledek dosazením neznámé do původní rovnice. Pokud jste určili hodnotu neznámé správně, budete schopni původní rovnici upravit do elegantní a platné podoby, například 1 = 1.
Pamatujte, že jakýkoliv polynom lze zapsat jako racionální výraz. Jednoduše jej umístěte nad jmenovatel "1." Výrazy x+3 a (x+3)/1 mají stejnou hodnotu, druhý z nich je však racionální, protože je zapsaný ve zlomku.

Reklama