유리식 계산하는 법

유리식이라는 것은 두 다항식을 분자와 분모로 하여 분수 모양으로 나타낸 식을 의미한다. 즉, 유리식은 하나 이상의 분수식이 들어간 다항식을 의미한다. 유리식에도 일반적인 분수에 쓸 수 있는 계산 법칙이 적용되는데, 분자와 분모에 같은 계산을 해 궁극적으로 식 한 쪽에 미지수를 몰아 넣으면 쉽게 풀 수 있다. 이 글에서는 최소공배수를 구해 유리식을 계산하는 법과 교차 곱셈을 통해 계산하는 법의 두 가지 대표적인 유리식 계산법에 대해 배워볼 것이다.

방법 1

방법 1 의 2:

교차곱하기

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좌변과 우변에 분수가 하나씩만 존재하도록 식 바꾸기. 교차곱셈은 유리식을 빠르고 쉽게 풀 수 있는 방법이다. 하지만 이 방법을 사용하려면 먼저 식의 형태를 제대로 갖출 필요가 있다. 주어진 유리식을 바꿔 좌변과 우변에 분수 형태의 다항식이 하나씩만 존재하도록 바꿔주자. 등호 양쪽에 분수식을 하나씩 위치시켰다면 다음 단계로 넘어가도록 하자. 처음부터 교차곱셈이 가능한 형태로 식이 주어지지 않았다면 기본 사칙연산을 통해 위 그림처럼 식을 바꾸도록 한다.^{[1]X출처 검색하기}
- 예를 들어 (x + 3)/4 - x/(-2) = 0라는 식이 주어졌다면 교차곱셈을 하기 쉬운 형태로 바꾸기 위해 식 양변에 x/(-2)를 더해 다음처럼 정리할 수 있을 것이다. (x + 3)/4 = x/(-2).
  - 소수와 정수는 분모를 1로 하는 분수 형태로 바꿀 수 있음을 참고하라. 예를 들어 (x + 3)/4 - 2.5 = 5라는 식이 주어졌으면 다음처럼 바꿀 수 있다. (x + 3)/4 = 7.5/1. 이 식은 이제 교차곱셈이 가능하다.
- 어떤 유리식은 위에서 설명한 것처럼 쉽게 등호 양변에 하나의 분수식만 놓는 형태로 정리가 불가능할 수도 있다. 이럴 때는 교차곱셈이 아닌 최소공배수를 사용하는 방법을 참고하도록 하자.
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교차곱셈하기. 교차곱셈은 말그대로 한 분수의 분자를 다른 분수의 분모에 곱하고 반대쪽도 똑같이 계산하는 것을 의미한다. 식 좌변의 분수의 분자를 식 우변의 분수의 분모에 곱하고, 반대로 식 우변의 분자를 식 좌변의 분모에 곱한다.^{[2]X출처 검색하기}
- 교차곱셈은 기초과정에서 배운 사칙연산을 적용시켜 푼다. 분수식의 분자에 다른 분수식의 분모를 곱하게 되면 유리식의 형태를 벗어나게 된다. 또한 이 과정은 유리식의 양변에 두 분수식의 분모의 곱을 곱해주는 것과 같은데 믿겨지지 않으면 한 번 시도해보는 것도 나쁘지 않다. 제대로 풀었다면 같은 결과가 나올 것이다.
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곱해 나온 결과에 등호 표시하기. 교차곱셈을 해 두 결과를 얻었을 것이다. 이제 두 결과를 같다고 놓고 문제를 간단히 풀어보도록 하자.^{[3]X출처 검색하기}
- 예를 들어 주어진 유리식이 (x+3)/4 = x/(-2)라고 하자. 여기에 교차곱셈을 하고 나면 -2(x+3) = 4x를 얻을 수 있을 것이다. 이를 정리해 쓰면 -2x - 6 = 4x가 된다.
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미지수로 묶어 정리하기. 사칙연산을 통해 식을 정리하도록 한다. 여기서 중요한 것은 식 양변에 미지수 x가 등장했을 때 양변에 x를 더하거나 빼서 식 한 쪽으로 모는 것이다.^{[4]X출처 검색하기}
- 우리 예시에서는 양변을 먼저 -2로 나눠 x+3 = -2x를 얻었다. 다음으로 양변에서 x를 빼 3 = -3x로 정리하고 마지막으로 양변을 -3으로 나눠 미지수를 구한다. -1 = x, 즉 x = -1이 된다. x를 찾은 뒤에는 유리식을 풀면 된다.
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방법 2

방법 2 의 2:

최소공배수를 구해 풀기

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최소공배수는 유리식을 단순화시켜 미지수의 값을 구할 때 쓸 수 있다. 또한 최소공배수는 교차곱셈을 적용시키기 위한 형태로 바꾸기 힘든 식을 쉽게 풀 수 있는 유일한 방법이다. 유리식에 분수식이 세 개 이상 포함되었을 때 이 방법을 적용시키도록 하자. 분수식이 두 개일 경우에는 위의 교차곱셈 방법이 더 효율적이다.^{[5]X출처 검색하기}
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각 분수의 분모 확인하기. 두 분수의 분모를 약수로 지니는 수 중 가장 작은 수를 찾자. 그것이 바로 최소공배수이다.^{[6]X출처 검색하기}
- 운이 좋으면 최소공배수가 실제로 가장 작은 수일 수도 있다. 예를 들어 식 x/3 + 1/2 = (3x+1)/6를 놓고 보면 3, 2, 6을 약수로 지니는 수 중 가장 작은 수가 6임을 쉽게 확인할 수 있다.
- 일반적으로 유리식의 최소공배수는 쉽게 구할 수 있다. 먼저 두 분모 중 더 큰 수의 배수를 쭉 나열하고 작은 수를 약수로 포함하고 있는 수를 골라 그 중 가장 작은 값을 찾으면 된다. 예를 들어 다음과 같은 식이 주어졌다면: x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, 최소공배수는 8*9 = 72가 될 것이다.
- 하나 이상의 분수식의 분모가 미지수를 포함하고 있다면 약간 계산이 복잡해질 수 있으나 풀 수 없는 것은 아니다. 대신 이 경우에는 최소공배수가 미지수를 포함한 하나의 다항식 형태가 될 것이다. 예를 들어 식 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x)를 보면 최소공배수가 3x(x-1)이 되는 것을 알 수 있다. 양변의 분수를 (x-1)로 나누면 3x가 남고 3x로 나누면 (x-1)이 남으며 x로 나누면 3(x-1)이 나온다.
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유리식의 각 분수식에 1 곱하기. 모든 식에 1을 곱한다는 것은 어찌보면 아무 효과가 없을 것 같지만 실제로는 큰 효과가 있다. 먼저 1이 2/2나 3/3과 같은 형태로 표현될 수 있다는 점은 알고 있을 것이다. 그렇다면 위 그림처럼 유리식의 각 분수항에 1을 곱해 필요한 수를 곱해 결과적으로 분모가 최소공배수가 될 수 있게 바꿀 수 있을 것이다. ^{[7]X출처 검색하기}
- 우리 예시에서는 먼저 x/3에 2/2를 곱해 2x/6를 얻고 1/2에는 3/3을 곱해 3/6를 얻을 것이다. 이제 3x +1/6는 최소공배수 6을 공통분모로 가지게 되므로 더 이상 건드릴 필요가 없다.
- 우리에게 주어진 분수식의 분모에 있는 미지수를 살펴보자. 분모에 미지수가 있을 때는 먼저 최소공배수에 미지수가 포함될 수 있다는 사실을 이해하도록 한다. 우리 식의 최소공배수는 3x(x-1)인데, 각 분수식의 분모를 최소공배수로 바꾸기 위해 5/(x-1)에는 (3x)/(3x)를 곱해 5(3x)/(3x)(x-1)를 얻고, 1/x에는 3(x-1)/3(x-1)를 곱해 3(x-1)/3x(x-1)를 얻도록 하자. 마지막으로2/(3x)에는 (x-1)/(x-1)를 곱해 2(x-1)/3x(x-1)를 얻는다.
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식을 x에 대해 정리하기. 이제 유리식의 모든 분수항이 같은 분모를 가지므로 식에서 분모를 제거하고 문제를 풀 수 있다. 풀어 설명하자면 식의 양변에 분모를 곱하는 것이다. 이제 남은 다항식은 사칙연산을 통해 간단하게 정리하고 식 한쪽으로 미지수를 모으도록 한다.^{[8]X출처 검색하기}
- 우리 예시에서는 먼저 분모를 최소공배수로 바꾸기 위해 각 분수식에 1의 변형 형태를 곱해 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6를 얻었다. 식 좌변의 두 분수식은 같은 분모를 가지고 있으므로 덧셈을 통해 (2x+3)/6 = (3x+1)/6처럼 쓸 수 있다. 그리고 양변에 최소공배수 6을 곱하면 더 이상 유리식이 아닌 단순한 다항식이 된다. 식을 보면 2x+3 = 3x+1처럼 나올 것이다. 여기서 양변에 -1을 해 2x+2 = 3x를 얻고, 다시 양변에서 2x를 미지수 x를 구할 수 있다. 2 = x이므로 고쳐쓰면 x = 2가 된다.
- 아까 위에서 썼던 분모에 비지수가 포함된 유리식을 놓고 풀어보면 다음처럼 될 것이다. 먼저 분모를 통일하기 위해 1을 변형해 식 양변의 분수식에 곱해 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1)를 얻는다. 그리고 양변에 최소공배수를 곱해 분모를 제거해 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1)를 얻는다. 식을 단순화하면 15x = 3x - 3 + 2x -2를 15x = x - 5로 바꿀 수 있다. 마지막으로 양변에서 x를 빼면 14x = -5가 되고 결국 미지수 x = -5/14가 됨을 알 수 있다.
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팁

주어진 문제의 미지수를 구했으면 그 값을 원래 식에 대입해 양변의 값이 같게 나오는지 확인하라. 제대로 된 답을 구했으면 값을 대입했을 때 1 = 1이 나올 것이다.
이 글에서 사용한 과정을 반대로 하면 어떤 다항식이던 유리식의 형태로 쓸 수 있게 된다. 분모가 없으면 1을 분모로 놓으면 된다. 즉, 식이 x+3의 형태라면 분모를 1로 놓아 (x+3)/1처럼 바꿀 수 있다는 말이다. 둘 다 값은 같으나 후자는 분수 형태이기 때문에 유리식이라 부를 수 있다.