كيفية حساب مساحة خماسي الأضلاع

تنزيل المقال

تنزيل المقال

ستلاحظ أن أغلب المسائل التي تقابلك في صف الرياضيات تغطي الخماسي المنتظم، وهو شكل هندسي خماسي له خمسة أضلاع متساوية الطول. توجد طريقتان شائعتان لحساب مساحة الخماسي المنتظم وذلك يعتمد على المعطيات المتوفرة في المسألة.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 3:

إيجاد المساحة باستخدام طول الضلع وطول العمودي عليه من المركز

تنزيل المقال

1. 
   1
   ابدأ بطول الضلع وطول العمودي عليه من المركز. يمكنك استخدام هذه الطريقة في حالة الخماسي المنتظم ذي الأضلاع المتساوية. بالإضافة إلى طول الضلع، ستحتاج إلى معرفة طول العمودي على الضلع من المركز، ويسمى أيضًا نصف قطر الدائرة الداخلية المماسية، وهو عبارة عن الخط المستقيم الذي يخرج من مركز الخماسي ويتعامد على الضلع.

   • لا تخلط بين نصف قطر الدائرة المماسية ونصف قطر الدائرة المحيطة. تمر الدائرة المحيطة بزوايا الخماسي فيكون نصف قطرها هو الخط الذي يخرج من مركز الخماسي إلى أحد الزوايا، أما الدائرة المماسية فيكون نصف قطرها هو العمودي من المركز على منتصف الضلع. إذا لم يتوفر لك إلا طول نصف قطر الدائرة المحيطة والضلع، يمكنك أن تنتقل إلى الطريقة التالية.
   • سنستخدم في هذا المثال خماسي طول ضلعه 3 وحدة وطول العمودي من مركزه على أحد الأضلاع 2 وحدة.
2. 
   2
   قسم الخماسي إلى خمسة مثلثات. ارسم خطًا من مركز الخماسي لكلٍ من الزوايا الخمس. لديك الآن خمسة مثلثات.
3. 
   3
   احسب مساحة المثلث. لكل مثلث قاعدة وهي تساوي ضلع الخماسي، ولكل مثلث أيضًا ارتفاع وهو يساوي طول العمودي من مركز الخماسي إلى الضلع (تذكر أن ارتفاع المثلث هو طول العمودي على الضلع الواصل بينه وبين الزاوية المقابلة له). لحساب مساحة المثلث، استخدم القانون ½ × القاعدة × الارتفاع.

   • في هذا المثال، مساحة المثلث = ½ × 3 × 2 = 3 وحدات مربعة.
4. 
   4
   اضرب الناتج في 5 لإيجاد المساحة الكلية. لقد قمنا بتقسيم الخماسي إلى خمس مثلثات متساوية، لذا يمكن إيجاد مساحته الكلية عن طريق ضرب مساحة مثلث واحد في 5.

   • في هذا المثال: م(مساحة الخماسي) = 5 × أ(مساحة المثلث) = 15 وحدة مربعة.

طريقة 2

طريقة 2 من 3:

حساب المساحة بمعرفة طول الضلع

تنزيل المقال

1. 
   1
   ابدأ بطول الضلع فقط. لا تنطبق هذه الطريقة إلا على الخماسي المنتظم ذي الأضلاع المتساوية.

   • في هذا المثال سنستخدم خماسي طول ضلعه 7 وحدات.
2. 
   2
   قسم الخماسي إلى خمسة مثلثات. ارسم خطًا من مركز الخماسي إلى أي زاوية وكرر هذه العملية لكل زاوية. لديك الآن خمسة مثلثات متساوية المساحة.
3. 
   3
   قم بتنصيف كل مثلث. ارسم خطًا مستقيمًا من مركز الخماسي إلى قاعدة المثلث. على هذا المستقيم أن يكون عموديًا على القاعدة حتى يقسم المثلث الكبير إلى مثلثين متطابقين صغيرين.
4. 
   4
   قم بتسمية أحد المثلثات الصغيرة. نحن الآن على دراية بطول ضلع من أضلاع هذا المثلث و يمكننا حساب زاوية من زواياه.

   • طول قاعدة هذا المثلث هي نصف طول ضلع الخماسي. في هذا المثال طول قاعدة المثلث الصغير هي ½ × 7 = 3.5 وحدة.
   • من الثوابت أن الزاوية عند منتصف الخماسي المنتظم دائمًا 36º. (إذا بدأت الحسبة بزاوية 360º كاملة عند المركز وقمت بتقسيم تلك الزاوية إلى 10 زوايا متساوية لكل من هذه المثلثات الصغيرة، فذلك سيكون 360 ÷ 10 = 36، مما يجعل زاوية المثلث الواحد تساوي 36º.)
5. 
   5
   احسب ارتفاع المثلث. ارتفاع هذا المثلث هو الضلع الواصل بالمركز العمودي على ضلع الخماسي. يمكننا أن نستخدم حساب المثلثات لحساب طول هذا الضلع:

   • في المثلث القائم، ظل الزاوية يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور.
   • الضلع المقابل للزاوية 36º هو قاعدة المثلث (نصف ضلع الخماسي). الضلع المجاور للزاوية 36º هو ارتفاع المثلث.
   • ظا(36º) = مقابل \ مجاور.
   • في هذا المثال، ظا(36°) = 3.5 \ الارتفاع.
   • الارتفاع × ظا(36°) = 3.5.
   • الارتفاع = 3.5 \ ظا(36°).
   • الارتفاع = 4.8 وحدة (تقريبًا).
6. 
   6
   أوجد مساحة المثلث. مساحة المثلث تساوي نصف القاعدة في الارتفاع (مساحة = ½ × القاعدة × الارتفاع). بمعرفتك الآن للارتفاع، يمكنك التعويض في المعادلة لإيجاد مساحة المثلث الصغير.

   • في هذا المثال، مساحة المثلث الصغير = ½ × القاعدة × الارتفاع = ½ × 3.5 × 4.8 = 8.4 وحدة مربعة.
7. 
   7
   استخدم الضرب لإيجاد مساحة الخماسي. يغطي المثلث الصغير الذي حسبنا مساحته 1\10 من مساحة الخماسي. لإيجاد المساحة الإجمالية للخماسي، اضرب مساحة المثلث صغير في 10.

   • في هذا المثال، مساحة المثلث الإجمالية = 8.4 × 10 = 84 وحدة مربعة.

طريقة 3

طريقة 3 من 3:

استخدام القانون

تنزيل المقال

1. 
   1
   استخدم محيط الخماسي ونصف قطر الدائرة المماسية. نصف قطر الدائرة المماسية هو طول العمودي على أحد أضلاع الخماسي الخارج من المركز. إذا كان طول هذا العمود معطى لك في المسألة، يمكنك استخدام هذا القانون البسيط.

   • مساحة الخماسي المنتظم = م×ع\2، حيث م هو محيط الخماسي و ع هو طول العمودي على الضلع من المركز.
   • في حالة عدم معرفة المحيط، يمكن حسابه باستخدام طول ضلع الخماسي: م = 5 × س، حيث س هو طول الضلع.
2. 
   2
   استخدم طول الضلع. إذا كانت المعلومة الوحيدة المعطاة هي طول ضلع الخماسي، يمكنك استخدام القانون الآتي.

   • مساحة الخماسي المنتظم = (5س²) ÷ (ظا(36°)×4) حيث س هو طول ضلع الخماسي.
   • ظا(36°) = √(5-2√5). لو كانت آلتك الحاسبة لا تحتوي على خاصية حساب ظل الزاوية، يمكنك استخدام قانون المساحة = (5س²) ÷ (4√(5-2√5)).
3. 
   3
   استخدم قانون معرفة نصف القطر فقط. يمكنك إيجاد مساحة الخماسي بمعرفة نصف القطر فقط. استخدم هذا القانون:

   • مساحة الخماسي المنتظم = (5\2)نق²جا(72°)، حيث نق هو نصف القطر.

أفكار مفيدة

• القوانين الرياضية مستنتجة من الطرق الحسابية الهندسية مثل التي سبق ذكرها فحاول التفكير وأن تستنتج القوانين الرياضية من الطرق الهندسية بنفسك. سيكون قانون نصف القطر أصعب من باقي القوانين (ملحوظة: ستحتاج قوانين ضعف الزاوية).
• خماسي الأضلاع غير المنتظم أو الخماسي ذو الأضلاع غير المتساوية أصعب بكثير في الحسابات. من أفضل الطرق لحل هذه المشكلة هي تقسيم الخماسي إلى مثلثات متعددة وحساب مساحة كل مثلث على حدى ثم جمع تلك المساحات. قد تحتاج أيضًا لرسم شكل أكبر يحيط بالخماسي ثم تحسب مساحة هذا الشكل ثم تطرح المساحة الزائدة من المساحة الكلية للحصول على مساحة الخماسي.
• استخدم قانون رياضي وطريقة هندسية معًا وقارن إجابتك حتى تتأكد أنها صحيحة إذا أمكن ذلك. قد تحصل على نتائج متفاوتة بمقدار صغير جدًا إذا قمت بالتعويض في القانون كله في خطوة واحدة (لأنك لن تقرب النتائج أثناء عملية الحساب)، ولكن ستكون الإجابات في نهاية الأمر متقاربة جدًا.
• الأمثلة الموجودة هنا تستخدم قيم مقربة حتى تكون العمليات الحسابية أبسط. إذا قمت بحساب مضلع حقيقي بطول الضلع المعطى هنا، ستحصل على نتائج مختلفة قليلًا للأطوال والمساحات الأخرى.