कैसे एक रेगुलर पंचकोण (Pentagone) का क्षेत्रफल निकालें

पंचकोण एक बहुभुज होता है जिसमें पाँच सीधी भुजाएँ होती हैं। गणित की कक्षा में आपको मिलने वाले लगभग सभी सवाल रेगुलर पंचकोण को कवर करेंगे, जिनमें पाँच बराबर भुजाएँ होंगी। आपके पास कितनी जानकारी है, इसके आधार पर क्षेत्रफल को पता करने के दो कॉमन तरीके हैं।

विधि 1

विधि 1 का 3:

भुजा की लम्बाई और अन्तःत्रिज्या (Apothem) से क्षेत्रफल निकालना

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भुजा की लम्बाई और अन्तःत्रिज्या (Apothem) से स्टार्ट करें: यह तरीका पाँच बराबर भुजाओं वाले रेगुलर पंचकोणों पर काम करता है। भुजा की लम्बाई के अलावा, आपको पंचकोण की अन्तःत्रिज्या "apothem" की जरूरत होगी। अन्तःत्रिज्या पंचकोण के केंद्र से एक भुजा तक की रेखा है, जो 90º समकोण पर भुजा को काटती है।
- अन्तःत्रिज्या (Apothem) को त्रिज्या से भ्रमित न करें, जो मिडपॉइंट की जगह शीर्ष (कोने) की छूती है। अगर आप केवल भुजा की लंबाई और त्रिज्या जानते हैं, तो अगले तरीके पर स्किप करें।
- हम भुजा की लंबाई 3 यूनिट और अन्तःत्रिज्या 2 यूनिट वाले पंचकोण के उदाहरण का उपयोग करेंगे।
पंचकोण के केंद्र से पाँच रेखाएँ खींचें, जो प्रत्येक शीर्ष (कोने) तक जाती हों। अब आपके पास पाँच त्रिभुज हैं।
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त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें: प्रत्येक त्रिभुज में एक base पंचकोण की भुजा के बराबर होता है। इसमें height भी पंचकोण की अन्तःत्रिज्या के बराबर है। (याद रखें, एक त्रिभुज की ऊंचाई एक शिखर से विपरीत दिशा में, एक समकोण पर होती है।) किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल पता करने के लिए, बस ½ x आधार x ऊँचाई की गणना करें।
- हमारे उदाहरण में, त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ x 3 x 2 = 3 स्क्वायर यूनिट है।
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कुल क्षेत्रफल पता करने के लिए पाँच से गुणा करें: हमने पंचकोण को पाँच बराबर त्रिभुजों में बाँटा है। कुल क्षेत्रफल पता करने के लिए, बस एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को पाँच से गुणा करें।
- हमारे उदाहरण में, A (कुल पंचकोण) = 5 x A (त्रिभुज) = 5 x 3 = 15 स्क्वायर यूनिट है।

विधि 2

विधि 2 का 3:

भुजा की लम्बाई से क्षेत्रफल निकालना

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बस भुजा की लंबाई के साथ स्टार्ट करें: यह तरीका पाँच बराबर भुजाओं वाले रेगुलर पंचकोणों पर काम करता है।
- इस उदाहरण में, हम 7 यूनिट भुजा की लम्बाई वाले पंचकोण का उपयोग करेंगे।
पंचकोण के केंद्र से किसी भी शीर्ष (vertex) तक एक रेखा खींचें। इसे हर शीर्ष के लिए दोहरायें। अब आपके पास पांच त्रिभुज हैं, जो सब बराबर साइज के हैं।
पंचकोण के केंद्र से त्रिभुज के आधार तक रेखा खींचें। यह रेखा आधार को 90º समकोण पर काटनी चाहिए, जो त्रिभुज को दो बराबर, छोटे त्रिभुजों में बाँट रही हो।
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किसी एक छोटे त्रिभुज को लेबल करें: हम पहले से ही एक भुजा और छोटे त्रिभुज के एक कोण को लेबल कर सकते हैं:
- त्रिभुज का 'base पंचकोण की ½ भुजा है। हमारे उदाहरण में, यह ½ x 7 = 3.5 यूनिट है।
- पंचकोण के केंद्र पर angle हमेशा 36º है। (पूरे 360º केंद्र से शुरू करते हुए, आप उसे 10 छोटे त्रिभुजों में बाँट सकते हैं। 360 ÷ 10 = 36, इसलिए एक त्रिभुज का कोण 36º है।)
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त्रिभुज की ऊँचाई निकालें: इस त्रिभुज की ऊंचाई पंचकोण के किनारे पर समकोण पर स्थित केंद्र की ओर जाने वाली भुजा है। आप इस भुजा की लंबाई निकालने के लिए आसान ट्रिग्नोमेट्री का उपयोग कर सकते हैं:^{[१]Xरिसर्च सोर्स}
- समकोण त्रिभुज में, कोण का tangent विपरीत पक्ष की लंबाई, बगल की भुजा की लंबाई से विभाजित लम्बाई के बराबर होता है।
- 36º कोण के विपरीत वाली भुजा त्रिभुज का आधार (पंचकोण की भुजा का आधा) है। 36º कोण के बगल वाली भुजा त्रिभुज की ऊंचाई होती है।
- tan(36º) = विपरीत / बगल वाली
- हमारे उदाहरण में, tan(36º) = 3.5 / ऊँचाई
- ऊँचाई x tan(36º) = 3.5
- ऊँचाई = 3.5 / tan(36º)
- ऊँचाई = (about) 4.8 यूनिट है।
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त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ आधार x ऊँचाई के बराबर होता है। (A = ½bh.) अब जब आपको ऊँचाई पता है, तो अपने छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए इन वैल्यूज को प्लग करें।
- हमारे उदाहरण में, छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½bh = ½(3.5)(4.8) = 8.4 स्क्वायर यूनिट है।
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पंचकोण का क्षेत्रफल निकालने के लिए गुणा करें: इन छोटे त्रिभुजों में से एक पेंटागन के क्षेत्रफल का 1/10 भाग कवर करता है। कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए, छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल को 10 से गुणा करें।
- हमारे उदाहरण में, पूरे पंचकोण का क्षेत्रफल = 8.4 x 10 = 84 स्क्वायर यूनिट है।

विधि 3

विधि 3 का 3:

एक फॉर्मूले का उपयोग करना

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परिधि (perimeter) और अन्तःत्रिज्या (apothem) का उपयोग करें: अन्तःत्रिज्या एक पंचकोण के केंद्र से एक रेखा है, जो एक भुजा को समकोण पर काटती है। यदि आपको इसकी लंबाई दी गई है, तो आप इस आसान फॉर्मूले का उपयोग कर सकते हैं।
- रेगुलर पंचकोण का क्षेत्रफल = pa/2, जहाँ p = परिधि और a = अन्तःत्रिज्या है।^{[२]Xरिसर्च सोर्स}
- अगर आप परिधि नहीं जानते हैं, तो उसे भुजा की लंबाई: p = 5s से कैलकुलेट करें, जहाँ s भुजा की लंबाई है।
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भुजा की लम्बाई का उपयोग करें: अगर आप केवल भुजा की लंबाई जानते हैं, तो इस फॉर्मूले का उपयोग करें:^{[३]Xरिसर्च सोर्स}
- रेगुलर पंचकोण का क्षेत्रफल = (5s²) / (4tan(36º)), जहाँ s = भुजा की लंबाई है।
- tan(36º) = √(5-2√5)^{[४]Xरिसर्च सोर्स} इसलिए अगर आपके कैलकुलेटर में "tan" फंक्शन नहीं है, तो फॉर्मूला क्षेत्रफल = (5s²) / (4√(5-2√5)) का उपयोग करें।
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उस फॉर्मूले को चुनें जो केवल त्रिज्या का उपयोग करता है: आप क्षेत्रफल भी निकाल सकते हैं अगर आपको केवल त्रिज्या पता है। इस फॉर्मूले का उपयोग करें:^{[५]Xरिसर्च सोर्स}
- रेगुलर पंचकोण का क्षेत्रफल = (5/2)r²sin(72º), जहाँ r त्रिज्या है।

सलाह

फॉर्मूले ज्यामितीय तरीकों से प्राप्त हुए हैं, जो यहाँ बताए गए हैं। देखें कि क्या आप पता लगा सकते हैं कि उन्हें कैसे निकालना है। त्रिज्या से फॉर्मूले को हल करना दूसरों की तुलना ज्यादा कठिन है (हिंट: आपको डबल एंगल आइडेंटिटी की जरूरत होगी)।
यहाँ दिए उदाहरण में गणित को सरल करने के लिए राउंड वैल्यू का उपयोग किया है। अगर आप दी गयी भुजा की लंबाई वाले असली पंचकोण को नापते हैं, तो आपको दूसरी लंबाईयों और क्षेत्रफल के लिए थोडें अलग रिजल्ट मिलेंगे।
इररेगुलर पंचकोण, या असमान भुजाओं वाले पंचकोण पढ़ने में ज्यादा कठिन हैं। आमतौर पर पंचकोणों को त्रिभुजों में बाँटना, और हर त्रिभुज के क्षेत्रफल को जोड़ देना सबसे अच्छा तरीका है। आपको पंचकोण के चारों तरफ एक बड़ा आकार खींचने करने की जरूरत भी पड़ सकती है, जिसका क्षेत्रफल निकालें, और एक्स्ट्रा जगह के क्षेत्रफल को घटा दें।
अगर संभव हो, तो दोनों ज्यामितिक तरीके और फॉर्मूला तरीके का उपयोग करें, और आपका उत्तर सही है तो कन्फर्म करने के लिए रिजल्ट की तुलना करें। आपको थोड़े अलग उत्तर मिल सकते हैं अगर आप फॉर्मूले को एक बार में लगा देते हैं (क्योंकि आप इस तरह राउंड नहीं करेंगे), लेकिन वे बहुत पास होने चाहिए।