De oppervlakte van een vijfhoek berekenen

Een vijfhoek is een veelhoek met vijf rechte zijden. Bijna alle opgaven die je tijdens de wiskundeles tegen zult komen zullen betrekking hebben op regelmatige vijfhoeken, met vijf gelijke zijden. Er zijn twee gangbare manieren om de oppervlakte uit te rekenen, afhankelijk van hoeveel informatie je hebt.

Methode 1

Methode 1 van 3:

Het bepalen van de oppervlakte met behulp van de zijden en de apothema

Pdf downloaden

1
Begin met de lengte van de zijde en apothema. Deze methode werkt voor regelmatige vijfhoeken, met vijf gelijke zijden. Naast de lengte van de zijde heb je de 'apothema' van de vijfhoek nodig. De apothema is de lijn vanuit het midden van de vijfhoek naar een zijde, die de zijde loodrecht snijdt (dus onder een hoek van 90º).
- Verwar de apothema niet met de straal van een veelhoek, want die snijdt een hoek (vertex) in plaats van een punt in het midden van de zijde. Als je alleen de lengte van een zijde en de straal weet, ga dan verder met de volgende methode.
- We gebruiken als voorbeeld een vijfhoek met zijde 3 en apothema 2.
Teken vijf lijnen vanuit het midden van de vijfhoek, welke elk naar een hoekpunt (hoek) leiden. Je hebt nu vijf driehoeken.
3
Bereken de oppervlakte van een driehoek. Elke driehoek heeft een basis gelijk aan de zijde van de vijfhoek. Het heeft ook een hoogte die gelijk is aan de apothema. (Vergeet niet, de hoogte van een driehoek is de lengte van de zijde die loodrecht staat op de basis en naar een hoekpunt loopt). Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen gebruik je ½ x basis x hoogte.
- In ons voorbeeld is de oppervlakte van de driehoek=½ x 3 x 2=3.
4
Vermenigvuldig met vijf voor de totale oppervlakte van de vijfhoek. We hebben de vijfhoek onderverdeeld in vijf gelijke driehoeken. Voor het berekenen van de totale oppervlakte, vermenigvuldig je de oppervlakte van een driehoek met vijf.
- In ons voorbeeld, A(totaal van de vijfhoek)=5 x A(driehoek)=5 x 3=15.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 3:

Het bepalen van de oppervlakte met behulp van de lengte van een zijde

Pdf downloaden

1
Begin met de lengte van een zijkant. Deze methode werkt alleen voor regelmatige vijfhoeken, die vijf zijden hebben van gelijke lengte.
- In dit voorbeeld gebruiken we een vijfhoek met lengte 7 voor elke zijde.
Teken een lijn vanuit het midden van de vijfhoek naar een hoekpunt. Herhaal dit voor elk hoekpunt. Je hebt nu vijf driehoeken, elk van dezelfde grootte.
Teken een lijn vanuit het midden van de vijfhoek naar de basis van een driehoek. Deze lijn moet de basis snijden in een rechte hoek (90º), die de driehoek verdeelt in twee gelijke, kleinere driehoeken.
4
Label een van de kleinere driehoeken. We kunnen een zijde en een hoek van de kleinere driehoek al labelen:
- De basis van de driehoek is ½ maal de zijde van de vijfhoek. In ons voorbeeld is dit ½ x 7=3,5 eenheden.
- De hoek in het midden van de vijfhoek is altijd 36º.^[1]XBron (Uitgaande van 360º voor een volledige cirkel, kun je dit verdelen in 10 kleinere driehoeken. 360 ÷ 10=36, en dus is de hoek van een dergelijke driehoek 36º).
5
Bereken de hoogte van de driehoek. De hoogte van deze driehoek is de zijde loodrecht op de zijde van de vijfhoek, die naar het middelpunt leidt. We gebruiken eenvoudige goniometrie voor het bepalen van de lengte van deze zijde:^[2]XBron
- In een rechthoekige driehoek is de tangens van een hoek gelijk aan de lengte van de overstaande zijde, gedeeld door de lengte van de aangrenzende zijde.
- De zijde tegenover de hoek van 36º is de basis van de driehoek (de helft van de zijde van de vijfhoek). De aangrenzende zijde van de hoek van 36º is de hoogte van de driehoek.
- tan(36º)=overstaande / aangrenzende
- In ons voorbeeld, tan(36º)=3,5 / hoogte
- hoogte x tan(36º)=3,5
- hoogte=3,5 / tan(36º)
- hoogte=(ongeveer) 4,8 .
6
Bereken de oppervlakte van de driehoek. De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan ½ basis x de hoogte. (A=½bh.) Nu je de hoogte weet, voer je deze waarden in voor het bepalen van de hoogte van je kleine driehoek.
- In ons voorbeeld is de oppervlakte van een van de kleine driehoeken=½bh=½(3,5)(4,8)=8,4.
7
Vermenigvuldig om de oppervlakte van de vijfhoek te vinden. Een van deze kleinere driehoeken bestrijkt 1/10 deel van de oppervlakte van de vijfhoek. Voor de totale oppervlakte, vermenigvuldig je de oppervlakte van de kleinere driehoek met 10.
- In ons voorbeeld is de oppervlakte van de hele vijfhoek=8,4 x 10=84.
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 3:

Met behulp van een formule

Pdf downloaden

1
Gebruik de omtrek en apothema. De apothema is een lijn vanuit het midden van een vijfhoek, die een zijde in een rechte hoek snijdt. Als de lengte is gegeven, dan kun je deze eenvoudige formule gebruiken.
- Oppervlakte van een regelmatige vijfhoek=pa / 2, waarbij p=de omtrek en a=de apothema.^[3]XBron
- Weet je de omtrek niet, bereken deze dan met behulp van de lengte van de zijde: p=5s, waarbij s de lengte van de zijde is.
2
Gebruik de lengte van de zijde. Als je alleen de lengte van de zijden weet, gebruik dan de volgende formule:^[4]XBron
- Oppervlakte van een regelmatige vijfhoek=(5s ²) / (4tan(36º)), waarbij s=lengte van een zijde.
- tan(36º)=√(5-2√5).^[5]XBron Heeft je rekenmachine geen 'tan'-functie, gebruik dan de formule voor de oppervlakte: Oppervlakte=(5s²) / (4√(5-2√5)).
3
Kies een formule die alleen de straal gebruikt. Je kunt zelfs de oppervlakte vinden als je alleen de straal weet. Gebruik de volgende formule:^[6]XBron
- De oppervlakte van een regelmatige vijfhoek=(5/2)r²sin(72º), waarbij r de straal is.
Advertentie

Tips

Onregelmatige vijfhoeken of vijfhoeken met ongelijke zijden zijn moeilijker om te bestuderen. De beste aanpak is meestal om de vijfhoek in driehoeken te verdelen, en de oppervlaktes van alle driehoeken bij elkaar op te tellen. Het is wellicht ook nodig om een grotere vorm te tekenen rond de vijfhoek, de oppervlakte ervan te berekenen en vervolgens de oppervlakte van de extra ruimte ervan af te trekken.
Indien mogelijk gebruik je zowel een meetkundige methode als een formule, en vergelijk je de resultaten om je antwoord te controleren. De antwoorden kunnen iets verschillen wanneer je de formule in een keer volledig invult (omdat de stappen waarin je afrondt dan ontbreken), maar ze zouden elkaar zeer dicht moeten naderen.
De voorbeelden die hier zijn gegeven, gebruiken afgeronde waarden om de wiskunde ervan eenvoudiger te maken. Als je een echte veelhoek hebt met de gegeven lengtes van de zijden, dan krijg je enigszins afwijkende resultaten voor de andere lengtes en de oppervlakte.
De formules zijn afgeleid van geometrische methoden, vergelijkbaar met die die hier worden beschreven. Probeer te achterhalen hoe je ze zelf kunt afleiden. De formule van de straal is moeilijker af te leiden dan de anderen (hint: je hebt de dubbele-hoek-identiteit nodig).

Advertentie