Die Fläche eines Pentagons berechnen

Ein Pentagon (oder Fünfeck) ist ein Vieleck mit fünf geraden Seiten. Bei nahezu allen Aufgaben im Mathematikunterricht wird es um regelmäßige Fünfecke gehen, die fünf gleich lange Seiten haben. Es gibt zwei geläufige Arten, die Fläche herauszufinden, abhängig davon, welche Informationen gegeben sind.

Methode 1

Methode 1 von 3:

Die Fläche anhand der Seitenlänge und des Apothemas finden

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Beginne mit der Seitenlänge und dem Apothema. Diese Methode funktioniert bei regelmäßigen Pentagonen mit fünf gleich langen Seiten. Abgesehen von der Seitenlänge wirst du auch das "Apothema" des Pentagons brauchen. Als Apothema bezeichnet man die Linie von der Mitte des Pentagons zu einer Seite hin, die diese Seite in einem 90-Grad-Winkel schneidet.
- Verwechsle das Apothema nicht mit dem Radius, der einen Eckpunkt berührt und nicht die Mitte einer Seite. Wenn du nur die Seitenlänge und den Radius kennst, gehe zu einer anderen Methode weiter.
- Wir werden als Beispiel ein Pentagon mit einer Seitenlänge von 3 Einheiten und einem Apothema von 2 Einheiten verwenden.
Zeichne fünf Linien von der Mitte des Pentagons zu jedem Eckpunkt. Jetzt hast du fünf Dreiecke.
3
Berechne die Fläche eines der Dreiecke. Jedes Dreieck hat eine Grundseite, die der Seite des Pentagons entspricht. Es hat außerdem eine Höhe, die dem Apothema des Pentagons entspricht. (Erinnere dich daran, dass die Höhe eines Dreiecks in einem rechten Winkel von dem Eckpunkt zur entgegengesetzten Seite verläuft). Rechne, um die Fläche eines Dreiecks herauszufinden, ½ x Grundseite x Höhe.
- In unserem Beispiel beträgt die Fläche des Dreiecks = ½ x 3 x 2 = 3 Quadrateinheiten.
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Multipliziere mit fünf, um die Gesamtfläche zu ermitteln. Wir haben das Pentagon in fünf gleich große Dreiecke aufgeteilt. Um die Gesamtfläche des Pentagons zu finden, multiplizierst du einfach die Fläche eines der Dreiecke mit fünf.
- In unserem Beispiel ist A(ganzes Pentagon) = 5 x A(Dreieck) = 5 x 3 = 15 Quadrateinheiten.
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Die Fläche anhand der Seitenlänge finden

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Beginne allein mit der Seitenlänge. Diese Methode funktioniert nur bei regelmäßigen Pentagonen, die fünf Seiten mit gleicher Länge haben.
- In diesem Beispiel verwenden wir ein Pentagon mit einer Seitenlänge von 7 Einheiten.
Zeichne eine Linie von der Mitte des Pentagons zu einem Eckpunkt und wiederhole das mit jedem der Eckpunkte. Nun hast du fünf Dreiecke, die alle dieselbe Größe haben.
Zeichne eine Linie von der Mitte des Pentagons bis zur Grundseite eines der Dreiecke. Diese Linie sollte in einem 90-Grad-Winkel auf die Grundseite auftreffen und das Dreieck in zwei gleich große, kleinere Dreiecke teilen.
4
Beschrifte eines der kleineren Dreiecke. Wir können bereits eine der Seiten und einen Winkel der kleineren Dreiecks beschriften:
- Die Grundseite des Dreiecks ist die Hälfte der Seite eines Pentagons. In unserem Beispiel ist das ½ x 7 = 3,5 Einheiten.
- Der Winkel in der Mitte des Pentagons ist immer 36° groß. (Wenn man mit einer vollständigen Mitte von 360° beginnt, könnte man sie in zehn dieser kleineren Dreiecke aufteilen. 360 ÷ 10 = 36, also ist der Winkel eines Dreiecks 36º.)
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Berechne die Höhe des Dreiecks. Die Höhe dieses Dreiecks ist die Seite, die in einem rechten Winkel auf den Rand des Pentagons trifft und zur Mitte führt. Wir können die Trigonometrie rechteckiger Dreiecke einsetzen, um die Länge dieser Seite zu ermitteln:^{[1]XForschungsquelle}
- In einem rechtwinkeligen Dreieck entspricht der Tangens eines Winkels der Länge der Gegenkathete geteilt durch die Länge der Ankathete.
- Die Seite gegenüber von dem 36-Grad-Winkel ist die Grundseite des Dreiecks (die Hälfte der Seite des Pentagons). Die Seite gegenüber von diesem Winkel, also die Gegenkathete, ist die Höhe des Dreiecks.
- tan(36º) = Gegenkathete / Ankathete
- In unserem Beispiel ist tan(36º) = 3,5 / Höhe
- Höhe x tan(36º) = 3,5
- Höhe = 3,5 / tan(36º)
- Höhe = (etwa) 4,8 Einheiten.
6
Finde die Fläche des Dreiecks heraus. Die Fläche eines Dreiecks entspricht ½ x Grundseite x Höhe, A = ½ *s*h. Jetzt wo du die Höhe kennst, kannst du diese Werte in die Formel einsetzen, um die Fläche des kleinen Dreiecks zu ermitteln.
- In unserem Beispiel ist die Fläche des kleinen Dreiecks = ½ * s * h = ½ * 3,5 * 4,8 = 8,4 Quadrateinheiten.
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Multipliziere weiter, um die Fläche des Pentagons zu finden. Eines dieser kleineren Dreiecke nimmt 1/10 der Fläche des Pentagons ein. Um die Gesamtfläche zu finden, multipliziere die Fläche des kleineren Dreiecks mit 10.
- In unserem Beispiel beträgt die Fläche des ganzen Pentagons = 8,4 x 10 = 84 Quadrateinheiten.
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Mit Hilfe einer Formel

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Verwende den Umfang und das Apothema. Das Apothema ist eine Linie von der Mitte des Pentagons aus, die in einem rechten Winkel auf eine Seite trifft. Wenn du ihre Länge hast, kannst du diese einfache Formel einsetzen:
- Fläche eines regelmäßigen Pentagons = U*a/2, wobei U = der Umfang und a = das Apothema ist.^{[2]XForschungsquelle}
- Wenn du den Umfang nicht kennst, berechne ihn anhand der Seitenlänge: U = 5*s, wobei s die Seitenlänge ist.
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Verwende die Seitenlänge. Wenn du nur die Seitenlänge kennst, verwende folgende Formel:^{[3]XForschungsquelle}
- Fläche eines regelmäßigen Pentagons = (5*s²) / (4tan(36º)), wobei s = Seitenlänge ist.
- tan(36º) = √(5-2√5).^{[4]XForschungsquelle} Wenn dein Taschenrechner keine "tan"-Funktion hat, verwende die Formel Fläche = (5*s²) / (4√(5-2√5)).
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Entscheide dich für eine Formel, in der nur der Radius verwendet wird. Du kannst sogar die Fläche herausfinden, wenn du nur den Radius kennst. Verwende dafür diese Formel:^{[5]XForschungsquelle}
- Fläche eines regelmäßigen Pentagons = (5/2)*r²sin(72º), wobei r der Radius ist.
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Tipps

Die angegebenen Beispiele beinhalten gerundete Werte, um die Berechnungen zu vereinfachen. Würdest du ein echtes Pentagon mit der angegebenen Seitenlänge abmessen, würdest du vermutlich ein leicht unterschiedliches Ergebnis für die anderen Längen und die Fläche bekommen.
Unregelmäßige Pentagone oder Pentagone mit ungleich langen Seiten sind schwieriger zu berechnen. Die beste Herangehensweise ist meistens, das Pentagon in Dreiecke zu teilen und die Flächen der einzelnen Dreiecke zu addieren. Du könntest auch eine größere Fläche rund um das Fünfeck zeichnen, seine Fläche berechnen und die Flächen außerhalb des Pentagons subtrahieren.
Verwende, wenn es möglich ist, sowohl eine geometrische Methode als auch eine Methode mit Formel und vergleiche die Ergebnisse, um zu bestätigen, dass du das richtige Ergebnis hast. Du könntest ein etwas anderes Ergebnis erhalten, wenn du die Formel auf einmal eintippst (weil du zwischendurch nicht rundest), sie sollten aber sehr nahe beieinander liegen.
Die Formeln wurden von geometrischen Methoden abgeleitet, die so ähnlich sind wie die hier beschriebenen. Sieh nach, ob du herausfinden kannst, wie man dazu kommt. Die Formel mit Radius ist schwieriger herzuleiten als die anderen (Hinweis: du wirst die Doppelwinkelfunktionen brauchen).

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