كيفية حساب عمر النصف

تنزيل المقال

تنزيل المقال

عمر النصف للمادة المتحللة هو الوقت المستغرق لتقل كتلة المادة إلى النصف. استُخدم هذا المصطلح في الأصل لوصف تحلل العناصر النشطة إشعاعيًا كاليورانيوم أو البلوتونيوم لكن يمكن استخدامه لأي مادة متحللة بمعدل أسي أو ثابت. يمكنك حساب عمر النصف لأي مادة بمعرفة معدل التحلل، وهو الكمية الأولية للمادة والكمية المتبقية بعد فترة محددة.

الخطوات

جزء 1

جزء 1 من 2:

فهم عمر النصف

تنزيل المقال

1. 
   1
   فهم التحلل الأسي. يحدث التحلل الأسي وفق دالة أسية عامة $f(x)=a^{x},$ حيث $|a|<1.$

   • بعبارة أخرى كلما زادت $x$ قلت $f(x)$ واقتربت من الصفر وهذه بالضبط نوع العلاقة المطلوبة لتفسير عمر النصف. نحتاج في هذه الحالة لإيجاد $a={\frac {1}{2}},$ في حتى يصبح لدينا العلاقة $f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x).$
2. 
   2
   أعد كتابة الدالة بالنسبة لعمر النصف. لا تعتمد دالتنا على المتغير العام $x,$ بالطبع وإنما على الزمن $t.$

   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}$
   • لن نعرف كل شيء من خلال استبدال المتغير فحسب، فلا زال علينا حساب عمر النصف الفعلي، وهو عبارة عن ثابت بالنسبة لأغراضنا هنا.
   • يمكننا بعدها إضافة عمر النصف $t_{1/2}$ للأس لكن علينا الاحتراس بشأن طريقة فعل هذا. هناك خاصية أخرى للدوال الأسية في الفيزياء وهي أن الأس لابد أن يكون بلا تمييز. نعرف أن مقدار المادة يعتمد على الزمن لذا لابد من القسمة على عمر النصف –الذي يقاس بوحدات الزمن أيضًا- للحصول على كمية بلا تمييز.
   • كما أن فعل هذا يثبت أنه يمكن قياس $t_{1/2}$ و$t$ بالوحدات نفسها أيضًا لذا سنحصل على الدالة الموضحة أدناه.
   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
3. 
   3
   أدخل الكمية الأولية. دالتنا بصيغتها الحالية $f(t)$ هي بالطبع مجرد دالة نسبية تقيس كمية المادة بعد انقضاء فترة محددة كنسبة مئوية من الكمية الأولية. كل ما علينا فعله هو إضافة الكمية الأولية $N_{0}.$ أصبح لدينا الآن معادلة لعمر النصف للمادة.

   • $N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
4. 
   4
   حل المعادلة لإيجاد عمر النصف. تصف المعادلة الموضحة أعلاه جميع المتغيرات التي نحتاجها مبدئيًا، لكن لنفترض أننا أمام مادة مشعة مجهولة! يسهل قياس الكتلة قبل الوقت المنقضي وبعده مباشرة، لكن ليس في عمر النصف، لذا لنعبر عن عمر النصف من ناحية المتغيرات المقاسة الأخرى (المعروفة). لا جديد هنا وإنما هي مسألة تبسيط. وضحنا العملية خطوة بخطوة أدناه:

   • اقسم الطرفين على الكمية الأولية $N_{0}.$
     • ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • خذ لوغاريتم الأساس ${\frac {1}{2}},$ للطرفين كي يخلصك من الأس.
     • $\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • اضرب الطرفين في $t_{1/2}$ واقسمهما على الطرف الأيسر لحل المعادلة وإيجاد عمر النصف. ستحتاج لآلة حاسبة في الغالب لحل مسائل عمر النصف نظرًا لوجود لوغاريتمات في الجواب النهائي.
     • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$

جزء 2

جزء 2 من 2:

أمثلة

تنزيل المقال

1. 
   1
   مسألة 1. يتحلل 300 جم من مادة مشعة مجهولة لتصبح كتلتها 112 جم بعد 180 ثانية. ما عمر النصف لهذه المادة؟

   • الحل: نعرف الكمية الأولية $N_{0}=300{\rm {\ g}},$ والنهائية $N=112{\rm {\ g}},$ والوقت المنقضي $t=180{\rm {\ s}}.$
   • تذكر معادلة عمر النصف $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}.$. عمر النصف منفصلٌ بالفعل لذا عوض بالمتغيرات اللازمة واحسب الناتج فقط.
     • ${\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\log _{1/2}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\&\approx 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}$
   • راجع الحل لتتأكد أنه منطقي. 112 جم أقل من نصف 300 جم لذا فقد انقضى عمر النصف مرة على الأقل، لذا فإن الإجابة منطقية.
2. 
   2
   مسألة 2. ينتج مفاعل نووي 20 كجم من يورانيوم-232. إذا كان عمر النصف ليورانيوم – 232 هو 70 عامًا تقريبًا فما الوقت المستغرق لتحلل 0,1 كجم؟

   • الحل: نعلم أن الكمية الأولية $N_{0}=20{\rm {\ kg}},$ والنهائية $N=0.1{\rm {\ kg}},$ وعمر النصف لليورانيوم -232 $t_{1/2}=70{\rm {\ years}}.$
   • أعد كتابة معادلة عمر النصف لإيجاد الزمن.
     • $t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)$
   • عوض واحسب الناتج.
   • ${\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ years}})\log _{1/2}\left({\frac {0.1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\approx 535{\rm {\ years}}\end{aligned}}$
   • تذكر أن تراجع حلك بالبديهة لتتحقق من منطقيته.

أفكار مفيدة

• تستغل المعادلة البديلة لعمر النصف وجود أساس صحيح. لاحظ أن هذا يقلب $N(t)$ و$N_{0}$ في تعبير اللوغاريتم.
  • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{2}\left({\frac {N_{0}}{N(t)}}\right)}}$
• عمر النصف هو تقديرٌ احتماليٌ للزمن المطلوب لتحلل النصف الباقي من المادة وليس حسابًا دقيقًا، فمثلًا إذا كان هناك ذرة واحدة من المادة فلن يتبقى نصف ذرة بعد انقضاء عمر النصف وإنما ستوجد ذرة واحدة أو لا ذرات على الإطلاق. كلما زادت كمية المادة المتبقية كان حساب عمر النصف أدق نتيجةً لقانون الأعداد الكبيرة.