วิธีการ คํานวณครึ่งชีวิต

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

ทำความเข้าใจครึ่งชีวิต

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา

บทความที่เกี่ยวข้อง

ข้ออ้างอิง

ครึ่งชีวิตของสสารที่มีการสลายตัว คือเวลาที่สสารใช้ในการสลายตัวจนเหลือครึ่งหนึ่งสำหรับปริมาณนั้นๆ โดยแต่เดิมนั้นครึ่งชีวิตถูกนำมาใช้เพื่อบอกถึงการสลายตัวของสารกัมมันตรังสีอย่างยูเรเนียมหรือพลูโตเนียม แต่จริงๆ แล้วครึ่งชีวิตก็สามารถนำมาใช้กับสสารใดๆ ที่สลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียลได้เช่นกัน คุณสามารถคำนวณหาครึ่งชีวิตของสสารใดๆ ก็ได้ถ้ารู้อัตราการสลายตัว ซึ่งก็คือปริมาณเริ่มต้นของสสารนั้นและปริมาณของสสารที่เหลืออยู่หลังจากเวลาผ่านไประยะหนึ่ง

ขั้นตอน

ส่วน 1

ส่วน 1 ของ 2:

ทำความเข้าใจครึ่งชีวิต

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   ทำความเข้าใจสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียล. การสลายตัวแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็นไปตามฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลทั่วไปที่ $f(x)=a^{x}$ โดยที่ $|a|<1$

   • กล่าวได้ว่า ขณะที่ $x$ เพิ่มขึ้น $f(x)$ ก็จะลดลงและเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้น รูปแบบดังกล่าวเป็นรูปแบบความสัมพันธ์ที่เราอยากจะนำมาใช้อธิบายถึงครึ่งชีวิต โดยในกรณีนี้ เราอยากให้ $a={\frac {1}{2}}$ เพื่อที่เราจะได้ความสัมพันธ์ $f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x).$
2. 
   2
   เขียนฟังก์ชันขึ้นมาใหม่ให้เป็นกรณีของครึ่งชีวิต. แน่นอนว่าฟังก์ชันของเราไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปรทั่วๆ ไปอย่าง $x$ แต่เป็นเวลา $t$

   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}$
   • แค่แทนที่ตัวแปรเฉยๆ บอกอะไรเราทุกอย่างไม่ได้ เรายังต้องนำครึ่งชีวิตจริงๆ มาคิดด้วย ซึ่งสำหรับวัตถุประสงค์ของเราแล้วมันก็คือค่าคงที่
   • จากนั้นเราก็สามารถที่จะเพิ่มครึ่งชีวิต $t_{1/2}$ เข้าไปในเลขชี้กำลังได้ แต่ถ้าทำแบบนี้เราต้องระมัดระวัง เพราะคุณสมบัติหนึ่งของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของฟิสิกส์ก็คือการที่เลขชี้กำลังจะต้องไร้มิติ เมื่อเรารู้แล้วว่าปริมาณของสสารนั้นขึ้นอยู่กับเวลา เราก็ต้องนำครึ่งชีวิตไปหารเพื่อหาปริมาณที่ไร้มิติ โดยวัดครึ่งชีวิตให้อยู่ในหน่วยของเวลาเช่นกัน
   • การที่ทำแบบนั้นก็บ่งบอกเช่นกันว่า $t_{1/2}$ และ $t$ ถูกวัดอยู่ในหน่วยเดียวกัน จากนั้นเราก็จะได้ฟังก์ชันด้านล่าง
   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
3. 
   3
   นำปริมาณเริ่มต้นมาร่วมคำนวณ. แน่นอนว่าฟังก์ชัน $f(t)$ ของเรานั้น ถ้าอยู่เดี่ยวๆ ก็เป็นแค่ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกัน โดยเป็นฟังก์ชันที่วัดปริมาณสสารที่เหลืออยู่หลังจากเวลาผ่านไประยะหนึ่งในรูปแบบเปอร์เซ็นต์ของปริมาณเริ่มต้น ทั้งหมดที่เราต้องทำคือเพิ่มปริมาณเริ่มต้น $N_{0}$ เข้ามา แล้วเราก็จะมีสูตรสำหรับครึ่งชีวิตของสสารใดๆ

   • $N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
4. 
   4
   แก้สมการ หาครึ่งชีวิต. สูตรด้านบนนั้นมีตัวแปรทุกตัวที่เราต้องมีในเบื้องต้น แต่ถ้าเราต้องเจอกับสารกัมมันตรังสีที่เราไม่รู้จักแล้ว การหามวลก่อนและหลังผ่านไประยะเวลาหนึ่งโดยตรงนั้นอาจจะเป็นเรื่องง่าย แต่ก็ไม่ใช่กับการหาครึ่งชีวิตของสารนั้นๆ ดังนั้นมาหาครึ่งชีวิตในแง่ของหน่วยตัวแปรอื่นๆ (ที่รู้จัก) กันเถอะ วิธีนี้ไม่ได้หาค่าอะไรใหม่ๆ แต่เป็นวิธีที่สะดวก โดยเราจะอธิบายขั้นตอนไปทีละขั้นที่ด้านล่าง

   • หารทั้งสองข้างด้วยปริมาณเริ่มต้น $N_{0}$
     • ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • ใส่ลอการิทึมฐาน ${\frac {1}{2}},$ ทั้งสองข้าง ซึ่งจะนำเลขชี้กำลังลงมา
     • $\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • คูณทั้งสองข้างด้วย $t_{1/2}$ และหารทั้งสองข้างด้วยฝั่งซ้ายทั้งหมดเพื่อหาครึ่งชีวิต คุณอาจจะต้องใช้เครื่องคิดเลขเพื่อหาครึ่งชีวิตเนื่องจากมีลอการิทึมในผลลัพธ์
     • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$
   โฆษณา

ส่วน 2

ส่วน 2 ของ 2:

ตัวอย่างโจทย์ปัญหา

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   โจทย์ปัญหาข้อที่ 1. สารกัมมันตรังสีไม่ทราบชื่อ 300 g สลายตัวเหลือ 112 g หลังจากผ่านไป 180 วินาที สารนี้มีครึ่งชีวิตเท่าไร

   • วิธีแก้ : เรารู้ปริมาณเริ่มต้น $N_{0}=300{\rm {\ g}}$ ปริมาณท้าย $N=112{\rm {\ g}}$ และระยะเวลาที่ผ่านไป $t=180{\rm {\ s}}.$
   • คิดถึงสูตรครึ่งชีวิต $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$ ครึ่งชีวิตนั้นอยู่เดี่ยวๆ อยู่แล้ว ดังนั้นให้แทนค่าตัวแปรที่เหมาะสมแล้วหาค่าออกมาได้เลย
     • ${\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\log _{1/2}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\&\approx 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}$
   • ตรวจดูว่าผลลัพธ์ถูกต้องหรือไม่ ในเมื่อ 112 g น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของ 300 g แปลว่าอย่างน้อยต้องผ่านไปหนึ่งครึ่งชีวิตแล้ว คำตอบถูกต้อง
2. 
   2
   โจทย์ปัญหาข้อที่ 2. เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ผลิตยูเรเนียม-232 ออกมา 20 kg ถ้าครึ่งชีวิตของยูเรเนียม-232 คือประมาณ 70 ปี จะต้องใช้เวลาเท่าไรจึงจะสลายตัวจนเหลือ 0.1 kg

   • วิธีแก้ : เรารู้ปริมาณเริ่มต้น $N_{0}=20{\rm {\ kg}}$ ปริมาณท้าย $N=0.1{\rm {\ kg}}$ และครึ่งชีวิตของยูเรเนียม-232 $t_{1/2}=70{\rm {\ years}}$
   • เขียนสูตรครึ่งชีวิตใหม่เพื่อหาเวลา
     • $t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)$
   • แทนค่าและหาค่า
   • ${\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ years}})\log _{1/2}\left({\frac {0.1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\approx 535{\rm {\ years}}\end{aligned}}$
   • อย่าลืมตรวจสอบผลลัพธ์คร่าวๆ ว่าถูกต้องหรือไม่
   โฆษณา

เคล็ดลับ

• อีกสูตรที่ใช้หาครึ่งชีวิตโดยใช้ฐานจำนวนเต็ม จำไว้ว่าสูตรนี้สลับ $N(t)$ และ $N_{0}$ ในการหาค่าลอการิทึม
  • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{2}\left({\frac {N_{0}}{N(t)}}\right)}}$
• ครึ่งชีวิตคือการประเมินความน่าจะเป็นว่าสสารที่ยังเหลืออยู่ครึ่งหนึ่งใช้เวลาเท่าไรในการสลายตัว ไม่ใช่การคำนวณแบบแม่นยำ ตัวอย่างเช่น ถ้าสสารมีอะตอมเหลืออยู่แค่หนึ่งอะตอม หลังจากเวลาผ่านไปครึ่งชีวิตอะตอมก็จะไม่ได้ลดลงเหลือครึ่งหนึ่ง แต่อาจจะเหลือหนึ่งหรือศูนย์อะตอม ยิ่งมีปริมาณของสสารเหลืออยู่มากเท่าไร การคำนวณหาครึ่งชีวิตก็จะแม่นยำขึ้นมากเท่านั้นตามกฎว่าด้วยจำนวนมาก

โฆษณา