Halbwertzeiten berechnen

PDF herunterladen

PDF herunterladen

In diesem Artikel:

Die Halbwertszeit verstehen

Die Gleichung für die Halbwertszeit lernen

Die Halbwertszeit aus einem Graphen berechnen

Einen Taschenrechner/Computer verwenden

Beispielaufgaben zur Halbwertszeit und ihre Lösungen

Mehr 2 zeigen...

Weniger zeigen...

Verwandte Artikel

Literaturhinweise

Die Halbwertszeit eines Substanz, die im Zerfall befindlich ist, ist die Zeit, welche die Substanz benötigt, um halb zu zerfallen. Ursprünglich wurde sie dafür verwendet, den Zerfall radioaktiver Elemente wie Uran oder Plutonium zu beschreiben, sie kann aber bei jeder Substanz angewandt werden, die zu einer festgelegten oder exponentiellen Geschwindigkeit einem Verfall unterliegt. Du kannst die Halbwertszeit jeder Substanz berechnen anhand ihrer Verfallsgeschwindigkeit, was die ursprüngliche Menge der Substanz und die verbleibende Menge nach einer gemessenen Zeitdauer ist.

Vorgehensweise

Methode 1

Methode 1 von 5:

Die Halbwertszeit verstehen

PDF herunterladen

1. 
   1
   Was ist die Halbwertszeit? Der Begriff „Halbwertszeit“ bezeichnet die Zeitdauer, die die Hälfte der anfänglichen Substanz braucht, um zu zerfallen oder sich zu verändern. Sie wird am häufigsten bei radioaktivem Zerfall verwendet, um zu ermitteln, wann eine Substanz für Menschen nicht mehr schädlich ist.

   • Elemente wie Uran und Plutonium werden oft mit Hinblick auf die Halbwertszeit studiert.
2. 
   2
   Wirkt sich die Temperatur oder Konzentration auf die Halbwertszeit aus? Die kurze Antwort ist nein. Während chemische Veränderungen häufig von der Umgebung oder Konzentration beeinflusst werden, hat jedes radioaktive Isotop seine eigene Halbwertszeit, die von diesen Änderungen nicht berührt wird.

   • Deswegen kannst du die Halbwertszeit eines bestimmten Elements berechnen und in jedem Fall mit Sicherheit wissen, wie schnell es zerfallen wird.
3. 
   3
   Kann die Halbwertszeit bei der Kohlenstoffdatierung eingesetzt werden? Ja! Kohlenstoffdatierung oder das Verfahren um herauszufinden, wie alt etwas ist basierend darauf, wie viel Kohlenstoff es enthält, ist eine praxisnahe Möglichkeit, die Halbwertszeit einzusetzen. Jedes Lebewesen nimmt während es am Leben ist Kohlenstoff auf, wenn es stirbt, hat es also eine bestimmte Menge Kohlenstoff in seinem Körper. Je länger es zerfällt, desto weniger Kohlenstoff ist vorhanden, was genutzt werden kann, um den Organismus anhand der Halbwertszeit von Kohlenstoff zu datieren.

   • Eigentlich gibt es zwei Arten von Kohlenstoff: C14, der zerfällt, und C12, der konstant bleibt.
   Werbeanzeige

Methode 2

Methode 2 von 5:

Die Gleichung für die Halbwertszeit lernen

PDF herunterladen

1. 
   1
   Verstehe den exponentiellen Zerfall. Ein exponentieller Zerfall tritt in einer allgemeinen Exponentialfunktion $f(x)=a^{x}$ auf, wobei $|a|<1.$

   • In anderen Worten nimmt $f(x)$ ab und nähert sich Null an, während $x$ steigt. Das ist exakt das Verhältnis, das man zur Beschreibung der Halbwertszeit benötigt. In diesem Fall suchen wir $a={\frac {1}{2}}$ und haben somit ein Verhältnis von $f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x)$.
2. 
   2
   Schreibe die Funktion in Bezug auf die Halbwertszeit um. Natürlich hängt die Funktion in unserem Fall nicht von der allgemeinen Variable $x$ ab, sondern von der Zeit $t.$

   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}$
   • Die Variable einfach auszutauschen lässt uns jedoch nichts weiter erkennen. Wir müssen dennoch die Halbwertszeit berücksichtigen, die, für unsere Zwecke, eine Konstante ist.
   • Wir könnten die Halbwertszeit $t_{1/2}$ zu dem Exponenten hinzufügen, wir müssen aber vorsichtig dabei sein, wie wir vorgehen. Eine weitere Eigenschaft von Exponentialfunktionen in der Physik ist, dass der Exponent dimensionslos sein muss. Da wir wissen, dass die Menge der Substanz von der Zeit abhängig ist, müssen wir dann durch die Halbwertszeit dividieren, die ebenfalls in Zeiteinheiten gemessen wird, um eine dimensionslose Angabe zu erhalten.
   • Das bedeutet, dass $t_{1/2}$ und $t$ ebenfalls in denselben Einheiten gemessen werden müssen. Somit erhalten wir die unten genannte Funktion.
   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
3. 
   3
   Beziehe die anfängliche Menge mit ein. Natürlich ist unsere Funktion $f(t)$, wie sie jetzt aussieht, nur eine relative Funktion, mit der die Menge der Substanz als Prozentanteil der anfänglichen Menge gemessen wird, die nach einer bestimmten Zeit übrig ist. Wir müssen die anfängliche Menge $N_{0}$ hinzufügen. Jetzt haben wir die Formel für die Halbwertszeit einer Substanz.

   • $N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
4. 
   4
   Löse nach der Halbwertszeit. Im Prinzip beschreibt die oben genannte Formel alle Variablen, die wir benötigen. Nehmen wir aber an, wir stoßen auf eine unbekannte radioaktive Substanz. Man kann leicht direkt die Masse vor und nach einer Zeitspanne berechnen, aber nicht die Halbwertszeit. Drücken wir also die Halbwertszeit mittels der anderen gemessenen (bekannten) Variablen aus. Es wird nichts Neues zum Ausdruck gebracht, wenn wir das machen, es geht mehr um die Zweckmäßigkeit. Hier betrachten wir die Vorgehensweise einen Schritt nach dem anderen:

   • Teile beide Seiten durch die anfängliche Menge $N_{0}.$
     • ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • Logarithmisiere mit der Basis ${\frac {1}{2}}$ auf beiden Seiten. Dadurch wird der Exponent nach unten gebracht.
     • $\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • Multipliziere beide Seiten mit $t_{1/2}$ und dividiere beide Seiten durch die gesamte linke Seite, um nach der Halbwertszeit zu lösen. Da es Logarithmen in dem endgültigen Ausdruck gibt, wirst du vermutlich einen Taschenrechner brauchen, um Aufgaben zur Halbwertszeit zu lösen.
     • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$
   Werbeanzeige

Methode 3

Methode 3 von 5:

Die Halbwertszeit aus einem Graphen berechnen

PDF herunterladen

1. 
   1
   Lies die ursprüngliche Zählrate bei 0 Tagen ab. Betrachte den Graphen und finde den Startpunkt oder die Markierung für Tag 0, auf der x-Achse. Die Markierung für Tag 0 liegt direkt bevor der Stoff beginnt zu zerfallen, also an seinem Ursprungspunkt.

   • Bei grafischen Darstellungen der Halbwertszeit zeigt die x-Achse normalerweise die Zeitachse, während die y-Achse die Zerfallsrate anzeigt.
2. 
   2
   Gehe die Hälfte der ursprünglichen Zählrate nach unten und markiere sie auf dem Graphen. Beginne oben an der Kurve und zeichne die Zählrate auf der y-Achse ein. Teile diese Zahl dann durch zwei, um die Zahl für den Punkt auf halber Strecke zu finden. Markiere diesen Punkt mit einer horizontalen Linie auf dem Graphen.

   • Wenn der Startpunkt zum Beispiel 1.640 ist, teile 1.640 / 2 und du erhältst 820.
   • Wenn du mit einer semilogarithmischen Darstellung arbeitest, was bedeutet, dass die Zählrate nicht in gleichmäßigen Abständen ist, musst du den Logarithmus jeder Zahl auf der vertikalen Achse nehmen.
3. 
   3
   Zeichne eine senkrechte Linie von der Kurve nach unten. Fange am Punkt in der Mitte an, den du gerade markiert hast. Beginne an dem Punkt auf halber Strecke, den du gerade im Graphen markiert hast, und zeichne eine zweite Linie, die nach unten verläuft, bis sie die x-Achse berührt. Mit etwas Glück berührt die Linie eine leicht abzulesende Zahl, die du einfach feststellen kannst.
4. 
   4
   Lies die Halbwertszeit an der Stelle ab, wo die Linie die Zeitachse schneidet. Betrachte den Punkt, den die Linie berührt, und lies ab, wo er auf der Zeitachse liegt. Wenn du diesen Punkt auf der Zeitachse festgestellt hast, hast du die Halbwertszeit gefunden.
   Werbeanzeige

Methode 4

Methode 4 von 5:

Einen Taschenrechner/Computer verwenden

PDF herunterladen

1. 
   1
   Stelle drei der vier wesentlichen Werte fest. Wenn du nach der Halbwertszeit löst, musst du die anfängliche Menge, die restliche Menge und die vergangene Zeit kennen. Dann kannst du jeden Online-Rechner für die Halbwertszeit verwenden, um die Halbwertszeit zu ermitteln.

   • Wenn du die Halbwertszeit kennst, aber nicht die anfängliche Menge, kannst du die Halbwertszeit, die restliche Menge und die vergangene Zeit einsetzen. Sofern du drei der vier Werte kennst, kannst du einen Rechner für die Halbwertszeit verwenden.
2. 
   2
   Berechne die Zerfallskonstante mit einem Rechner für die Halbwertszeit. Möchtest du berechnen, wie alt ein Organismus ist, kannst du die Halbwertszeit und die mittlere Lebensdauer eingeben, um die Zerfallskonstante zu erhalten. Das ist ein gutes Hilfsmittel, das du für Kohlenstoffdatierung oder zum Feststellen der Lebenszeit eines Organismus einsetzen kannst.

   • Wenn du nicht die Halbwertszeit kennst, aber die Zerfallskonstante und die durchschnittliche Lebenszeit, kannst du stattdessen sie einsetzen. Wie bei der ursprünglichen Gleichung musst du auch hier nur zwei der drei Werte kennen, um den dritten zu ermitteln.
3. 
   3
   Stelle die Gleichung für die Halbwertszeit in einem grafikfähigen Taschenrechner dar. Wenn du die Gleichung für die Halbwertszeit aufgestellt hast und sie grafisch darstellen möchtest, öffne die Darstellung und gib die Gleichung in Y-1 ein. Drücke dann auf „zeichnen“, um den Graphen zu öffnen und passe das Fenster an, bis du die ganze Kurve sehen kannst. Bewege den Cursor schließlich über und unter den Mittelpunkt des Graphen, um die Halbwertszeit zu finden.

   • Das ist ein hilfreiches visuelles Hilfsmittel und kann nützlich sein, wenn du nicht die ganzen Gleichungen durcharbeiten möchtest.
   Werbeanzeige

Methode 5

Methode 5 von 5:

Beispielaufgaben zur Halbwertszeit und ihre Lösungen

PDF herunterladen

1. 
   1
   Aufgabe 1. 300 g einer unbekannten radioaktiven Substanz zerfallen nach 180 Sekunden zu 112 g. Was ist die Halbwertszeit dieser Substanz?

   • Lösung: Wir wissen, dass die anfängliche Menge $N_{0}=300{\rm {\ g}}$ ist, die restliche Menge $N=112{\rm {\ g}}$ und die vergangene Zeit $t=180{\rm {\ s}}.$
   • Rufe dir die Formel für die Halbwertszeit in Erinnerung: $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}.$ Die Halbwertszeit ist bereits isoliert, setze also einfach für die entsprechenden Variablen ein und rechne es aus.
     • ${\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\log _{1/2}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\&\approx 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}$
   • Überprüfe, ob die Lösung Sinn ergibt. Da 112 weniger als die Hälfte von 300 g ist, muss mindestens eine Halbwertszeit abgelaufen sein. Die Lösung sieht gültig aus.
2. 
   2
   Aufgabe 2. Ein Kernreaktor produziert 20 kg Uran-232. Wenn die Halbwertszeit von Uran-232 etwa 70 Jahre beträgt, wie lange dauert es, bis 0,1 kg zerfallen?

   • Lösung: Wir kennen die anfängliche Menge $N_{0}=20{\rm {\ kg}},$ die restliche Menge $N=0,1{\rm {\ kg}}$ und die Halbwertszeit von Uran-232 $t_{1/2}=70{\rm {\ Jahre}}.$
   • Schreibe die Formel für die Halbwertszeit um, um nach der Zeit zu lösen.
     • $t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)$
   • Setze ein und berechne.
   • ${\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ Jahre}})\log _{1/2}\left({\frac {0,1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\approx 535{\rm {\ Jahre}}\end{aligned}}$
   • Denke daran, intuitiv zu überprüfen, ob deine Lösung Sinn ergibt.
3. 
   3
   Aufgabe 3. Osmium-182 hat eine Halbwertszeit von 21,5 Jahren. Wie viele Gramm von einer Probe mit 10,0 Gramm wären nach drei Halbwertszeiten verfallen?

   • Lösung: $(1/2)^{3}=0,125$ (die Menge, die nach Halbwertszeiten übrig geblieben ist)
   • $10,0gx0,125=1,25g$ verbleiben
   • $10g-1,25g=8,75g$ sind zerfallen
   • Bei dieser Gleichung hat die tatsächliche Länge der Halbwertszeit keine Rolle gespielt.
4. 
   4
   Aufgabe 4. Ein radioaktives Isotop ist nach 60 Minuten auf 17/32 der ursprünglichen Menge zerfallen. Finde die Halbwertszeit dieses Radioisotops.

   • Lösung: $17/32=0,53125$ (das ist die verbleibende Menge als Dezimalzahl)
   • $(1/2)n=0,53125$
   • $nlog0.5=log0,53125$
   • $n=0,91254$ (so viele Halbwertszeiten sind vergangen)
   • $60min/0,91254=65,75min$
   • $n=66min$ (auf 2 signifikante Stellen gerundet)
   Werbeanzeige

Tipps

• Bei einem alternativen Ansatz zur Halbwertszeit wird ein Integer als Basis eingesetzt. Beachte, dass dadurch das $N(t)$ und $N_{0}$ im Ausdruck mit Logarithmus vertauscht werden.
  • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{2}\left({\frac {N_{0}}{N(t)}}\right)}}$

Werbeanzeige