Como Calcular Meia Vida

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Estudando a meia-vida

Estudando a equação da meia-vida

Calculando a meia-vida a partir de um gráfico

Usando uma calculadora ou um computador

Resolvendo alguns problemas de meia-vida

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Referências

A meia-vida de uma substância em processo de decomposição equivale ao tempo necessário para ela se desintegrar pela metade. O conceito foi criado para descrever o decaimento de elementos radioativos, como urânio ou plutônio, mas também se aplica a substâncias que estão se desintegrando em uma taxa específica ou exponencial. Dá para calcular a meia-vida de qualquer substância, desde que se tenha a taxa de decaimento — que inclui a quantidade inicial da substância e a quantidade restante após um período de tempo específico.

Passos

Método 1

Método 1 de 5:

Estudando a meia-vida

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   O que é a meia-vida? O termo "meia-vida" designa o tempo necessário para determinada substância se desintegrar pela metade. O conceito é usado no estudo do decaimento radioativo para determinar quando um elemento já não é nocivo aos humanos.

   • Os principais elementos usados no estudo da meia-vida são urânio e plutônio.
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   Fatores como temperatura ou concentração afetam a meia-vida? Em termos simples, não. Embora o ambiente e a concentração possam afetar as mudanças químicas nos elementos, cada isótopo radioativo tem uma meia-vida específica e que não é alterada por esses fatores.

   • Isso quer dizer que dá para calcular a meia-vida de um elemento em particular e determinar com precisão quanto tempo ele vai demorar para se desintegrar.
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   É possível usar a meia-vida na datação por radiocarbono? Sim! A datação por radiocarbono — ou seja, o processo de descobrir a idade de um elemento de acordo com a quantidade de carbono na sua composição — é uma forma bastante prática de se usar a meia-vida. Todo organismo ingere carbono quando está vivo; após a morte, o elemento continua presente na matéria orgânica. Quanto mais tempo se passa, menor é a quantidade do elemento. E é assim que dá para fazer a datação por radiocarbono de acordo com a meia-vida.

   • Tecnicamente, existem dois tipos de carbono: carbono-14, que decai, e carbono-12, que é constante.
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Método 2

Método 2 de 5:

Estudando a equação da meia-vida

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   Entenda o decaimento exponencial. O decaimento exponencial acontece de acordo com a função exponencial geral $f(x)=a^{x}$, em que $|a|<1$.

   • Ou seja: conforme $x$ aumenta, $f(x)$ diminui e se aproxima de zero. É exatamente esse tipo de relação que descreve a meia-vida. Nesse caso, espera-se que $a={\frac {1}{2}}$ para que a relação se transforme em $f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x)$.
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   Reescreva a função nos termos da meia-vida. A função não depende da variável genérica $x$, mas sim do tempo $t$.

   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}$
   • No entanto, não basta substituir a variável: ainda é preciso levar a meia-vida em consideração — que, neste contexto, é uma constante.
   • Você pode incorporar a meia-vida $t_{1/2}$ ao expoente em seguida, mas precisa ter cuidado. Na física, uma das propriedades das funções exponenciais é que o expoente não deve ter dimensão. Como se sabe que a quantidade de determinada substância depende do tempo, é preciso dividir esse valor pela meia-vida (que também é medida em termos temporais) para chegar à tal quantidade sem dimensão.
   • Isso indica que $t_{1/2}$ e $t$ também são medidos em unidades temporais. Sendo assim, a função que se obtém é:
   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
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   Incorpore a quantidade inicial à função. No seu estado atual, a função $f(t)$ é relativa e mede a quantidade da substância que resta depois de determinado tempo em uma porcentagem em relação à quantidade original. Sendo assim, você só precisa incluir a quantidade inicial $N_{0}$ para chegar à fórmula da matemática propriamente dita.

   • $N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
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   Resolva a equação da meia-vida. Em princípio, a fórmula acima descreve todas as variáveis necessárias. No entanto, imagine que você está lidando com uma substância radioativa desconhecida. É fácil medir diretamente a massa antes e depois de determinado período, mas não a sua meia-vida. Sendo assim, é melhor expressar a meia-vida em termos das outras variáveis (conhecidas). Não passa de uma questão de conveniência, e não se trata de expressar valores novos. Veja como funciona o processo:

   • Divida os dois lados pela quantidade inicial $N_{0}$.
     • ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • Pegue o logaritmo e coloque ${\frac {1}{2}}$ na base dos dois lados para acabar com o expoente.
     • $\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • Multiplique os dois lados por $t_{1/2}$ e, em seguida, divida ambos por todo o lado esquerdo para enfim chegar à meia-vida. Como há logaritmos na expressão final, você provavelmente vai precisar de uma calculadora para solucionar os problemas de vez.
     • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$
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Método 3

Método 3 de 5:

Calculando a meia-vida a partir de um gráfico

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   Leia a taxa de contagem original em zero dias. Dê uma olhada no gráfico e encontre o ponto inicial (o dia "zero") no eixo-x. Esse ponto acontece logo antes de a substância começar a se desintegrar.

   • Geralmente, gráficos de meia-vida trazem a linha do tempo no eixo-x e a taxa de desintegração no eixo-y.
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   Avance na taxa de contagem e faça a marcação no gráfico. Anote a taxa de contagem no eixo-y começando no topo da curva. Depois, divida o número por 2 para chegar ao valor que fica no meio e marque esse ponto com um tracinho.

   • Por exemplo: se o ponto inicial é 1.640, divida-o por 2 para chegar a 820.
   • Se estiver mexendo com um gráfico semi-log (ou seja, em que os espaços na taxa de contagem não são equidistantes), você vai ter que pegar o algoritmo de qualquer número do eixo vertical.
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   Desenhe uma linha vertical descendente a partir da curva. Começando no tracinho que você acabou de fazer no gráfico, desenhe uma segunda linha que desça até encostar no eixo-x. Se tudo der certo, essa linha vai encostar em um número que seja fácil de ler e identificar.
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   Leia a meia-vida no ponto em que a linha cruza o eixo do tempo. Dê uma olhada no ponto que a linha encostou e identifique o tempo em que isso acontece. Pronto: você acabou de descobrir a meia-vida da substância!
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Método 4

Método 4 de 5:

Usando uma calculadora ou um computador

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   Determine três dos quatro valores relevantes. Você precisa saber a quantidade inicial da substância, a quantidade restante e quanto tempo se passou antes de conseguir calcular a meia-vida com uma calculadora virtual.

   • Pode ser também que você tenha a meia-vida, mas não um dos outros valores. De todo modo, o importante é saber três desses quatro na hora de usar a calculadora.
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   Use uma calculadora de meia-vida para determinar a constante de decaimento. Caso queira calcular a idade de um organismo, você pode inserir a meia-vida e a vida média na calculadora e obter a constante de decaimento. Isso é uma mão na roda para quem precisa fazer a datação por radiocarbono ou descobrir a expectativa de vida de um organismo.

   • Você pode usar a constante de decaimento e a vida média se não souber a meia-vida. Assim como na equação inicial, basta ter dois dos três valores em mãos.
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   Insira a equação da meia-vida em uma calculadora gráfica. Caso você tenha a equação da meia-vida e queira representar os valores dela na forma de um gráfico, insira-os nos devidos campos da calculadora e ajuste a janela até enxergar a curva inteira. Por fim, mexa o cursor para cima e para baixo do meio do gráfico para calcular a meia-vida.

   • Essa dica visual é bastante útil, principalmente para quem não quer ter todo o trabalho de montar a equação.
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Método 5

Método 5 de 5:

Resolvendo alguns problemas de meia-vida

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   Problema 1. A massa de uma substância radioativa desconhecida cai de 300 g para 112 g em 180 segundos. Qual é a meia-vida dessa substância?

   • Solução: temos a quantidade inicial ($N_{0}=300{\rm {\ g}}$), a quantidade final ($N=112{\rm {\ g}}$) e o tempo que se passou ($t=180{\rm {\ s}}$).
   • Lembre-se da fórmula da meia-vida: $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$. Nessa equação, a meia-vida já está isolada — então basta substituir as demais variáveis e fazer as contas.
     • ${\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\log _{1/2}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\&\approx 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}$
   • Veja se a resposta faz sentido. Como a massa de 112 g equivale a menos da metade de 300 g, pelo menos uma meia-vida se passou nesse período. A resposta está correta!
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   Problema 2. Um reator nuclear produz 20 kg de urânio-232. Se a meia-vida do urânio-232 é de cerca de 70 anos, quanto tempo ele leva para se desintegrar e chegar a 0,1 kg?

   • Solução: temos a quantidade inicial ($N_{0}=20{\rm {\ kg}}$), a quantidade final ($N=0,1{\rm {\ kg}}$) e a matemática do urânio-232 ($t=70{\rm {\ anos}}$).
   • Reescreva a fórmula da meia-vida para resolver o problema:
     • $t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)$
   • Substitua os valores e faça as contas:
   • ${\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ anos}})\log _{1/2}\left({\frac {0.1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\approx 535{\rm {\ anos}}\end{aligned}}$
   • Lembre-se de testar a resposta e ver se ela faz sentido.
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   Problema 3. O ósmio-182 tem meia-vida equivalente a 21,5 horas. Quantas gramas de uma amostra de 10 g se desintegrariam depois de exatamente três meias-vidas?

   • Solução: $(1/2)^{3}=0,125$ (a quantidade que resta depois de três meias-vidas).
   • Resta $10gx0,125=1,25g$.
   • $10g-1,25g=8,75g$ se desintegraram.
   • Neste exemplo, a duração da meia-vida em si não foi um fator importante.
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   Problema 4. Um isótopo radioativo se desintegrou até chegar a 17/32 da sua massa original em 60 minutos. Calcule a meia-vida desse radioisótopo.

   • Solução: $17/32=0,53125$ (a quantidade da substância que resta em valores decimais).
   • $(1/2)n=0,53125$
   • $nlog0,5=log0,53125$
   • $n=0,91254$ (o número de meias-vidas que se passaram).
   • $60min/0,91254=65,75min$
   • $n=66min$ (para dois algarismos significativos).
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Dicas

• Você pode calcular a meia-vida usando uma fórmula alternativa de base inteira. Nesse caso, basta inverter $N(t)$ e $N_{0}$ na expressão logarítmica:
  • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{2}\left({\frac {N_{0}}{N(t)}}\right)}}$

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