कैसे हाफ लाइफ की गणना करें

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अर्ध-आयु (हाफ-लाइफ) को समझना

सवाल के उदाहरण

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स्रोत और उद्धरण

विघटन के द्वारा किसी पदार्थ की मात्रा को आधा होने में लगने वाले समय को पदार्थ की अर्द्ध आयु (half life) कहा जाता है। यह मूल रूप से यूरेनियम या प्लूटोनियम जैसे रेडियोऐक्टिव तत्वों के विघटन के बारे में बताने के लिए इस्तेमाल किया गया था, लेकिन इसका उपयोग किसी भी पदार्थ के लिए किया जा सकता है जो एक सेट या घातीय दर (एक्सपोनेंशियल रेट) से विघटित होता हो। आप किसी भी पदार्थ की अर्द्ध आयु की गणना दी गई विघटन की दर, पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा और समय की मापी गई अवधि के बाद बची हुई मात्रा से कर सकते हैं।

चरण

भाग 1

भाग 1 का 2:

अर्ध-आयु (हाफ-लाइफ) को समझना

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   घातीय (एक्स्पोनेंशीयल) विघटन को समझें: घातीय विघटन आमतौर घातीय फंक्शन (exponential function) $f(x)=a^{x}$ होता है, जहाँ $|a|<1$ है।

   • दूसरे शब्दों में, जैसे ही $x$ बढ़ता है, $f(x)$ घट जाता है और शून्य तक पहुँच जाता है। यह सम्बन्ध बिल्कुल वैसा है जैसा हम अर्द्ध-आयु को दिखाना चाहते हैं। इस मामले में, हम $a={\frac {1}{2}}$ चाहते हैं, ताकि हमारे पास $f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x)$ रहे।
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   फंक्शन को अर्द्ध-आयु के रूप में लिखें: बेशक, हमारा फंक्शन जेनेरिक वेरिएबल $x$ पर नहीं, बल्कि समय $t$ पर निर्भर करता है।

   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}$
   • हालाँकि सिर्फ वेरिएबल को बदलने से हमें सब कुछ पता नहीं चलता है। हमें फिर भी अपने उद्देश्यों के लिए असली अर्द्ध-आयु को एक स्थिरांक (constant) मानना पड़ता है।
   • हम तब घातांक में अर्द्ध-आयु $t_{1/2}$ को जोड़ सकते थे, लेकिन हम यह कैसे करते हैं इसमें हमें सावधानी बरतने की जरूरत है। फिजिक्स में घातीय फंक्शन की एक और विशेषता यह है कि घातांक आयामरहित (dimensionless) होना चाहिए। चूँकि हम जानते हैं कि पदार्थ की मात्रा समय पर निर्भर करती है, इसलिए हमें एक आयामरहित मात्रा पाने के लिए समय की इकाइयों में मापी जाने वाली अर्द्ध-आयु से भाग देना चाहिए।
   • ऐसा करना यह बताता है कि $t_{1/2}$ और $t$ भी एक समान इकाइयों में मापे जाते हैं। जैसे, हम नीचे दिए गए फंक्शन को पाते हैं।
   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
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   शुरुआती मात्रा (initial amount) को शामिल करें: बेशक, हमारा फंक्शन $f(t)$ जैसा कि यह बताता है कि केवल रिलेटिव फंक्शन है जो एक निश्चित समय के बाद पदार्थ की बची हुई मात्रा को शुरुआती मात्रा के प्रतिशत के रूप में मापता है। हमें केवल शुरुआती मात्रा $N_{0}$ को लिखने की जरूरत है। अब, हमारे पास किसी पदार्थ की अर्द्ध-आयु का फॉर्मूला है।

   • $N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
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   अर्द्ध-आयु को हल करें: सिद्धांत रूप में, ऊपर दिया गया फॉर्मूला उन सभी वेरिएबल को बताता है जिनकी हमें जरूरत है। लेकिन मान लीजिए कि हमें एक अज्ञात रेडियोधर्मी पदार्थ का सामना करना पड़ा। एक बीते हुए समय से पहले और बाद में द्रव्यमान को मापना आसान है, लेकिन इसकी अर्द्ध-आयु को नहीं। तो, आइए अर्द्ध-आयु को दूसरे मापे गए (ज्ञात) वेरिएबल के रूप में लिखें। ऐसा करने से कुछ भी नया नहीं बताया जा रहा है; बल्कि, यह सिर्फ सुविधा के लिए है। नीचे, हम इस प्रक्रिया में एक बार में एक कदम आगे बढ़ते हैं।

   • दोनों तरफ शुरुआती मात्रा $N_{0}$ से भाग दें।
     • ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • दोनों तरफ के आधार ${\frac {1}{2}}$ का लघुगुणक लें। यह घातांक को नीचे लाता है।
     • $\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • दोनों तरफ $t_{1/2}$ से गुणा करें और अर्द्ध-आयु को निकालने के लिए दोनों तरफ पूरी बाईं ओर से भाग दें। चूँकि अंत में लघुगुणक (logarithms) में दिखाया जाता है, तो आपको अर्द्ध-आयु के सवालों को हल करने के लिए शायद कैलकुलेटर की जरूरत पड़ेगी।
     • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$

भाग 2

भाग 2 का 2:

सवाल के उदाहरण

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   सवाल 1: 300 ग्राम अज्ञात रेडियोऐक्टिव पदार्थ 180 सेकंड में विघटित होकर 112 ग्राम हो जाता है। इस पदार्थ की अर्द्ध-आयु क्या है?

   • हल: हमें शुरुआती मात्रा $N_{0}=300{\rm {\ g}},$ आख़िरी मात्रा $N=112{\rm {\ g}},$ और बीता हुआ समय $t=180{\rm {\ s}}$ पता है।
   • अर्द्ध-आयु के फॉर्मूले $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$ को फिर से याद करें। अर्द्ध-आयु पहले से ही निकाली गयी है, इसलिए बस सही वेरिएबल को बदल दें और मूल्यांकन करें।
     • ${\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\log _{1/2}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\&\approx 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}$
   • अपने जवाब को चेक करें अगर यह सही लगता है। चूँकि 112 ग्राम, 300 ग्राम के आधे से कम है, तो कम से कम एक अर्द्ध-आयु बीत चुकी होगी। हमारा जवाब यह बताता है।
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   सवाल 2: एक न्यूक्लीयर रिएक्टर 20 किलोग्राम यूरेनियम-232 का उत्पादन करता है। यदि यूरेनियम-232 की अर्द्ध आयु लगभग 70 वर्ष है, तो इसे 0.1 किलोग्राम तक विघटित होने में कितना समय लगेगा?

   • जवाब: हम जानते हैं कि शुरुआती मात्रा $N_{0}=20{\rm {\ kg}},$ आखिरी मात्रा $N=0.1{\rm {\ kg}},$ और यूरेनियम-232 की अर्द्ध-आयु $t_{1/2}=70{\rm {\ years}}$ है।
   • समय को निकालने के लिए अर्द्ध-आयु के फॉर्मूले को फिर से लिखें।
     • $t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)$
   • सबस्टीटयूट करें और जांचें।
   • ${\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ years}})\log _{1/2}\left({\frac {0.1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\approx 535{\rm {\ years}}\end{aligned}}$
   • अपने जवाब को चेक करें अगर यह सही लगता है।

सलाह

• अर्द्ध-आयु को निकालने का दूसरा तरीका पूर्णांक आधार (integer base) का उपयोग करता है। नोट करें कि यह $N(t)$ और $N_{0}$ को लघुगुणक (logarithm) के रूप में बदल देता है।
  • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{2}\left({\frac {N_{0}}{N(t)}}\right)}}$
• अर्द्ध-आयु एक सटीक गणना के बजाय बाकी बचे पदार्थ के आधे हिस्से के विघटन के लिए जरूरी समय की मात्रा का एक अंदाजा है। उदाहरण के लिए, यदि पदार्थ का केवल एक परमाणु बचा है, तो अर्द्ध-आयु समय ख़त्म होने के बाद केवल आधा परमाणु बाकी नहीं रहेगा, बल्कि या तो एक या शून्य परमाणु बाकी रहता है। बचे हुए पदार्थ की मात्रा जितनी ज्यादा होगी, बड़ी संख्याओं के नियमों की वजह से अर्द्ध-आयु की गणना उतनी ही सटीक होगी।