Cómo calcular la vida media

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En este artículo:

Repasar la vida media

Aprender la ecuación para la vida media

Calcular la vida media a partir de un gráfico

Usar una calculadora o computadora

Ejemplos de problemas sobre la vida media y sus respuestas

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Referencias

La vida media de una sustancia en descomposición constituye el tiempo que toma para que la cantidad de la sustancia se reduzca a la mitad. Originalmente, se usaba para describir la descomposición de elementos radioactivos (por ejemplo, el uranio o el plutonio), pero puede usarse para cualquier sustancia que se descomponga a un ritmo establecido o exponencial. Es posible calcular la vida media de cualquier sustancia dado el índice de descomposición, que es la cantidad inicial de la sustancia y la cantidad que queda después de un periodo de tiempo calculado.

Pasos

Método 1

Método 1 de 5:

Repasar la vida media

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   ¿Qué es la vida media? El término "vida media" hace referencia a la cantidad de tiempo que toma para que la mitad de la sustancia inicial se descomponga o cambie. Con mayor frecuencia, se utiliza en la descomposición radioactiva para determinar cuándo una sustancia deja de ser dañina para los seres humanos.

   • Los elementos como el uranio y el plutonio se estudian con mayor frecuencia teniendo en mente la vida media.
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   ¿La temperatura o la concentración afecta la vida media? La respuesta corta es no. Los cambios químicos a veces se ven afectados por el entorno o la concentración, pero cada isótopo radioactivo tiene su propia vida media única que no se ve afectada por estos cambios.

   • Por ende, puedes calcular la vida media de un elemento en particular y saber con certeza la rapidez con la que se descompondrá, pase lo que pase.
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   ¿La vida media puede usarse en la datación por radiocarbono? Sí. La datación por radiocarbono, o determinar la edad de algo según la cantidad de carbono que contenga, es una forma muy práctica de usar la vida media. Todo ser vivo ingiere carbono mientras está vivo, por lo que, al morir, su cuerpo contiene una determinada cantidad de este elemento. Mientras más tiempo se descomponga, habrá menos carbono, y esto puede usarse para datar el organismo según la vida media del carbono.

   • Técnicamente, hay dos tipos de carbono: el carbono-14, el cual se descompone, y el carbono-12, el cual permanece constante.
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Método 2

Método 2 de 5:

Aprender la ecuación para la vida media

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   Comprende la descomposición exponencial. La descomposición exponencial ocurre en una función exponencial general: $f(x)=a^{x}$, en donde $|a|<1$.

   • En otras palabras, a medida que $x$ incrementa, $f(x)$ disminuye y se acerca a cero. Este es exactamente el tipo de relación que se quiere para describir la vida media. En este caso, $a={\frac {1}{2}}$ debe ser cierto de forma que se tenga la relación $f(x+1)={\frac {1}{2}}f(x)$.
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   Reescribe la función en términos de la vida media. Por supuesto que esta función no depende de la variable genérica $x$ sino del tiempo $t$.

   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{t}$
   • Sin embargo, solo reemplazar la variable no dice todo. De todos modos, hay que tomar en cuenta la vida media en sí, la cual, para nuestros fines, es una constante.
   • Luego, se podría añadir la vida media $t_{1/2}$ al exponente, pero es necesario tener cuidado en cuanto a la forma de hacerlo. Otra propiedad de las funciones exponenciales en la física es que el exponente no debe tener una dimensión. Sabes que la cantidad de la sustancia depende del tiempo, por lo que hay que dividir entre la vida media, la cual también se mide en unidades de tiempo, para obtener una cantidad sin dimensión.
   • Hacerlo también implica que $t_{1/2}$ y $t$ deben medirse en las mismas unidades. Por tanto, se obtiene la siguiente función:
   • $f(t)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
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   Incorpora la cantidad inicial. Por supuesto que la función $f(t)$ tal y como está es únicamente una función relativa que mide la cantidad de la sustancia que queda después de un tiempo determinado como un porcentaje de la cantidad inicial. Lo único que hay que hacer es añadir la cantidad inicial $N_{0}$. Ahora, se tiene la fórmula para la vida media de una sustancia.

   • $N(t)=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
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   Encuentra la vida media. En principio, la fórmula anterior describe todas las variables que se necesitan. Sin embargo, imagina que te encuentras con una sustancia radioactiva desconocida. Es fácil medir directamente la masa antes y después de un tiempo transcurrido, pero no la vida media. Entonces, expresa la vida media en términos de las demás variables medidas (conocidas). Al hacer esto, no se expresa nada nuevo, sino que es una cuestión de conveniencia. A continuación, un desglose del proceso paso a paso:

   • Divide ambos lados entre la cantidad inicial $N_{0}$.
     • ${\frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • Obtén el logaritmo, base ${\frac {1}{2}}$, de ambos lados. Esto reduce el exponente.
     • $\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={\frac {t}{t_{1/2}}}$
   • Multiplica ambos lados por $t_{1/2}$ y divide ambos lados entre todo el lado izquierdo para encontrar la vida media. Debido a que hay logaritmos en la expresión final, es probable que necesites una calculadora para resolver los problemas de vida media.
     • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$
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Método 3

Método 3 de 5:

Calcular la vida media a partir de un gráfico

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   Lee la tasa original de conteo a los 0 días. Revisa el gráfico y encuentra el punto inicial, o la marca de los 0 días, en el eje x. La marca de los 0 días es justo antes de cuando el material empieza a descomponerse, por lo que se encuentra en su punto original.

   • En los gráficos de vida media, en el eje x se suele mostrar la línea de tiempo, en tanto que en el eje y se suele mostrar la tasa de descomposición.
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   Encuentra la mitad de la tasa de conteo original y márcala en el gráfico. Empieza en la parte superior de la curva y marca la tasa de conteo en el eje y. Luego, divide ese número entre 2 para obtener el número en el punto intermedio. Marca ese punto en el gráfico con una línea horizontal.

   • Por ejemplo, si el punto inicial es 1640, divide 1640 entre 2 para obtener 820.
   • Si estás trabajando con un gráfico semilogarítmico, lo que significa que la tasa de conteo no está espaciada uniformemente, deberás obtener el logaritmo de cualquier número del eje vertical.
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   Traza una línea vertical hacia abajo desde la curva. Empieza en el punto intermedio que acabas de marcar en el gráfico y traza una segunda línea hacia abajo hasta que se encuentre con el eje x. Con suerte, la línea cruzará un número fácil de leer que puedas identificar.
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   Lee la vida media en donde la línea cruce el eje de tiempo. Observa el punto que la línea cruce y lee en dónde se encuentra en la línea de tiempo. Después de identificar el punto en la línea de tiempo, habrás encontrado la vida media.
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Método 4

Método 4 de 5:

Usar una calculadora o computadora

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   Determina 3 de los 4 valores relevantes. Si vas a encontrar la vida media, será necesario que conozcas la cantidad inicial, la cantidad restante y el tiempo que haya pasado. Luego, puedes determinar la vida media usando cualquier calculadora de vida media en línea.

   • Si conoces la vida media, pero no la cantidad inicial, puedes ingresar la primera, la cantidad restante y el tiempo que haya pasado. Podrás usar una calculadora de vida media siempre y cuando sepas 3 de los 4 valores.
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   Calcula la constante de descomposición con una calculadora de vida media. Si quieres calcular la edad de un organismo, puedes ingresar la vida media y la esperanza de vida promedio para obtener la constante de descomposición. Esta constituye una herramienta excelente que puedes usar para la datación por radiocarbono o determinar la esperanza de vida de un organismo.

   • Si no sabes la vida media pero sí la constante de descomposición y la esperanza de vida promedio, puedes ingresarlas en su lugar. Al igual que la ecuación inicial, únicamente debes saber 2 de los 3 valores para obtener el tercero.
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   Ingresa la ecuación para la vida media en una calculadora gráfica. Si conoces la ecuación para la vida media y quieres graficarla, abre el eje Y e ingresa la ecuación en Y-1. Luego, presiona "graph" ("graficar") para abrir el gráfico y hacer ajustes a la ventana hasta poder ver toda la curva. Por último, mueve el cursor por encima y por debajo del punto medio del gráfico para obtener la vida media.

   • Esta es una imagen útil y puede servirte si no quieres hacer todo el trabajo de la ecuación.
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Método 5

Método 5 de 5:

Ejemplos de problemas sobre la vida media y sus respuestas

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   Problema 1. 300 g de una sustancia radioactiva desconocida se descomponen a 112 g después de 180 segundos. ¿Cuál es la vida media de esta sustancia?

   • Solución: sabes la cantidad inicial $N_{0}=300{\rm {\ g}}$, la cantidad final $N=112{\rm {\ g}}$ y el tiempo transcurrido $t=180{\rm {\ s}}$.
   • Recuerda la fórmula para la vida media $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}$. Debido a que la vida media de por sí está aislada, tan solo reemplaza los valores apropiados y evalúa.
     • ${\begin{aligned}t_{1/2}&={\frac {180{\rm {\ s}}}{\log _{1/2}\left({\frac {112{\rm {\ g}}}{300{\rm {\ g}}}}\right)}}\\&\approx 127{\rm {\ s}}\end{aligned}}$
   • Revisa si la solución tiene sentido. Debido a que 112 g es menos de la mitad de 300 g, debe haber transcurrido como mínimo una vida media. La respuesta concuerda.
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   Problema 2. Un reactor nuclear produce 20 kg de uranio-232. Si la vida media del uranio-232 es de alrededor de 70 años, ¿cuánto tiempo tomará para que se descomponga a 0,1 kg?

   • Solución: sabes que la cantidad inicial es $N_{0}=20{\rm {\ kg}}$, la cantidad final es $N=0.1{\rm {\ kg}}$ y la vida media del uranio-232 es $t_{1/2}=70{\rm {\ a.}}$.
   • Reescribe la fórmula para la vida media para encontrar el tiempo.
     • $t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({\frac {N(t)}{N_{0}}}\right)$
   • Reemplaza y evalúa.
   • ${\begin{aligned}t&=(70{\rm {\ a.}})\log _{1/2}\left({\frac {0.1{\rm {\ kg}}}{20{\rm {\ kg}}}}\right)\\&\approx 535{\rm {\ a.}}\end{aligned}}$
   • No olvides revisar la solución intuitivamente para fijarte si tiene sentido.
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   Problema 3. El Os-182 tiene una vida media de 21,5 horas. ¿Cuántos gramos de una muestra de 10,0 gramos se habrán descompuesto después de exactamente 3 vidas medias?

   • Solución: $(1/2)^{3}=0.125$ (la cantidad que queda después de 3 vidas medias).
   • Quedan $10.0gx0.125=1.25g$.
   • Se descompusieron $10g-1.25g=8.75g$.
   • Para esta ecuación en particular, la duración de la vida media en sí no entra en juego.
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   Problema 4. Un isótopo radioactivo se descompuso a 17/32 de su masa original después de 60 minutos. Encuentra la vida media de este radioisótopo.

   • Solución: $17/32=0.53125$ (esta es la cantidad que queda en decimales).
   • $(1/2)n=0.53125$
   • $nlog0.5=log0.53125$
   • $n=0.91254$ (esta es la cantidad de vidas medias que han transcurrido)
   • $60min/0.91254=65.75min$
   • $n=66min$ (a 2 cifras significativas)
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Consejos

• Una formulación alternativa para la vida media utiliza un número entero como base. Ten en cuenta que esto invierte $N(t)$ y $N_{0}$ en la expresión logarítmica:
  • $t_{1/2}={\frac {t}{\log _{2}\left({\frac {N_{0}}{N(t)}}\right)}}$

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