Karekök x'in Türevi Nasıl Alınır?

Makaleyi İndir

Makaleyi İndir

Bu Makalede:

Kuvvet Kuralını Kullanma

Karekök Fonksiyonları İçin Zincir Kuralını Kullanma

Köklü Fonksiyonların Türevleri İçin Kısayol Kullanma

İlgili Makaleler

Referanslar

Matematik dersi aldıysan basit fonksiyonların türevini bulmak için kullanılan kuvvet kuralını muhakkak öğrenmişsindir. Ancak, fonksiyon ${\sqrt {x}}$ gibi bir köklü veya kareköklü ifade içerdiğinde, kuvvet kuralının uygulanması zor görünebilir. Basit bir üslü ifadeye geçiş yaptığında ise bu fonksiyonun türevini almak oldukça kolay bir hâle gelir. Sonrasında aynı değişimi uygulayarak ve matematikteki zincir kuralını kullanarak kök içeren diğer birçok fonksiyonun türevini alabilirsin.

Adımlar

Yöntem 1

Yöntem 1 / 3:

Kuvvet Kuralını Kullanma

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Türev işlemlerindeki kuvvet kuralını tekrar et. Türev almak için muhtemelen öğrendiğin ilk kural, kuvvet kuralıdır. Bu kurala göre $a$ üssüne sahip bir $x$ değişkeninin türevi şu şekilde alınır:

   • $f(x)=x^{a}$
   • $f^{\prime }(x)=ax^{a-1}$
   • Örneğin, aşağıdaki fonksiyonları ve türevlerini gözden geçir:
     • Eğer $f(x)=x^{2}$ ise $f^{\prime }(x)=2x$
     • Eğer $f(x)=3x^{2}$ ise $f^{\prime }(x)=2*3x=6x$
     • Eğer $f(x)=x^{3}$ ise $f^{\prime }(x)=3x^{2}$
     • Eğer $f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}$ ise $f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}$
2. 
   2
   Karekökü üs olarak yaz. Bir karekök fonksiyonunun türevini bulmak için herhangi bir sayı veya değişkene ait karekökün üs olarak da yazılabileceğini hatırlaman gerekir. Karekök işaretinin altındaki terim taban olarak yazılır ve bu terim 1/2 üssüne yükseltilir. Aşağıdaki örnekleri ele alalım:

   • ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$
   • ${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}$
   • ${\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}$
   • Unutma ki karekök, karesini almanın tersidir çünkü üsler ve kökler birbirinin tersidir. Örneğin dördün karesi 16'dır. Bu nedenle 16'nın karekökü 4'tür.
   • O zaman, bir sayının karesini almaya çalışıyorsan sayının tam kare olup olmadığına bak. Örneğin 81'in karekökünü bulman gerekiyorsa 81 elde etmek için hangi sayıyı kendisiyle çarpabileceğini düşün. Dokuz kere dokuzun 81 ettiğini biliyorsun. Demek ki 81'in karekökü dokuzdur.
   • Bu yöntemle tahmin edilebilecek çok fazla sayı vardır. Yediyi ve sekizi deneyebilirsin. Eğer çok küçükse dokuza kadar gidebilirsin. 10'u denersen 10'un karesi 100'dür. Bu çok büyük. Daha küçük bir sayıyı denemen gerekebilir.
3. 
   3
   Kuvvet kuralını uygula. Eğer fonksiyon en basit karekök olan $f(x)={\sqrt {x}}$ şeklindeyse türevi bulmak için kuvvet kuralını aşağıdaki gibi uygula:

   • $f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \$(Orijinal fonksiyonu yaz.)
   • $f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \$(Kareköklü ifadeyi üslü ifade şeklinde yaz.)
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \$(Kuvvet kuralını kullanarak türevi bul.)
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \$(Üssü sadeleştir.)
4. 
   4
   Sonucu sadeleştir. Bu aşamada, negatif üssün, sayının pozitif üssünün çarpmaya göre tersini almak anlamına geldiğini bilmen gerekir. $-{\frac {1}{2}}$ üssü, tabanın karekökünü bir kesrin paydası şeklinde yazman gerektiği anlamına gelir.

   • Yukarıdaki karekök x fonksiyonuna devam edersek türev şu şekilde sadeleştirilebilir:
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}$
     • $f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
   Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 3:

Karekök Fonksiyonları İçin Zincir Kuralını Kullanma

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Fonksiyonlarda zincir kuralını tekrar et. Zincir kuralı, orijinal fonksiyon iki farklı fonksiyonun birleşiminden meydana geldiğinde kullandığın bir türev kuralıdır. Zincir kuralına göre $f(x)$ ve $g(x)$ gibi iki fonksiyonun birleşiminden oluşan bir fonksiyonun türevi şu şekilde bulunabilir:

   • Eğer $y=f(g(x))$ ise $y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$.
2. 
   2
   Zincir kuralı için fonksiyonları tanımla. Zincir kuralını kullanmak, ilk olarak birleşik fonksiyonunu oluşturan iki ayrı fonksiyonu tanımlamanı gerektirir. Karekök fonksiyonlarında dış fonksiyon, $f(g)$, karekök fonksiyonu ve iç fonksiyon, $g(x)$, ise karekökün içerisinde yer alan ifade olacaktır.

   • Örneğin, ${\sqrt {3x+2}}$ ifadesinin türevini bulmak istediğini varsayalım. İki farklı fonksiyonu şu şekilde tanımla:
     • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$
     • $g(x)=(3x+2)$
3. 
   3
   İki fonksiyonun türevlerini bul. Zincir kuralını bir fonksiyonun kareköküne uygulamak için öncelikle genel karekök fonksiyonunun türevini bulman gerekir:

   • $f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}$
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}$
     • $f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}$
   • Ardından ikinci fonksiyonun türevini bul:
     • $g(x)=(3x+2)$
     • $g^{\prime }(x)=3$
4. 
   4
   Fonksiyonları zincir kuralıyla birleştir. Zincir kuralını hatırla, $y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)$ve ardından türevleri aşağıdaki şekilde birleştir:

   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3$
   • $y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3$
   • $y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}$
   Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 3:

Köklü Fonksiyonların Türevleri İçin Kısayol Kullanma

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Herhangi bir köklü fonksiyona ait türevin kısayolunu öğren. Bir değişkenin veya fonksiyonun karekökünün türevini bulmak istediğinde basit bir kalıp uygulayabilirsin. Türev her zaman kök içerisindeki ifadenin türevi bölü orijinal karekökün iki katına eşit olacaktır. Sembolik olarak bu işlem şu şekilde gösterilebilir:

   • Eğer $f(x)={\sqrt {u}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}$
2. 
   2
   Kök içerisindeki ifadenin türevini bul. Karekök içerisindeki ifade, karekök işaretinin içerisindeki terim veya fonksiyondur. Bu kısayolu uygulamak için kök içerisindeki ifadenin tek başına türevini al. Aşağıdaki örnekleri ele alalım:

   • ${\sqrt {5x+2}}$ fonksiyonundaki kök içerisindeki ifade $(5x+2)$'dir. Bu ifadenin türevi $5$'tir.
   • ${\sqrt {3x^{4}}}$ fonksiyonunda kök içerisindeki ifade $3x^{4}$'tür. Bu ifadenin türevi $12x^{3}$'tür.
   • ${\sqrt {sin(x)}}$ fonksiyonunda kök içeresindeki ifade $\sin(x)$'tir. Bu ifadenin türevi $\cos(x)$'tir.
3. 
   3
   Kök içerisindeki ifadenin türevini bir kesrin payı şeklinde yaz. Köklü ifadeye sahip bir fonksiyonun türevi kesirli olacaktır. Bu kesrin payı, kök içerisindeki ifadenin türevidir. Dolayısıyla, yukarıdaki örnek fonksiyonlar için türevin ilk kısmı aşağıdaki gibi olacaktır:

   • Eğer $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{payda}}}$
   • Eğer $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{payda}}}$
   • Eğer $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{payda}}}$
4. 
   4
   Paydaya orijinal karekökün iki katını yaz. Bu kısayolu kullandığında payda, orijinal karekök fonksiyonunun iki katı olacaktır. Dolayısıyla, yukarıdaki üç örnek fonksiyona ait türevlerin paydaları şu şekilde olacaktır:

   • Eğer $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {\text{pay}}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
   • Eğer $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {\text{pay}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
   • Eğer $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {\text{pay}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
5. 
   5
   Türevi bulmak için pay ve paydayı birleştir. Kesrin iki yarısını birleştirdiğinde sonuç, orijinal fonksiyonun türevi olacaktır.

   • $f(x)={\sqrt {5x+2}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}$
   • Eğer $f(x)={\sqrt {3x^{4}}}$ise $f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}$
   • Eğer $f(x)={\sqrt {\sin(x)}}$ ise $f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}$
   Reklam