Een getal ontbinden in factoren

De factoren van een bepaald productgetal zijn die getallen die, indien met elkaar vermenigvuldigd, dat product als resultaat geven. Een andere manier om hierover na te denken is dat elk getal het product is van meerdere factoren. Leren hoe je kunt ontbinden in factoren is een belangrijke wiskundige vaardigheid, niet alleen gebruikt bij het rekenen, maar ook bij algebra, analyse en andere wiskundige vakgebieden. Lees verder hoe je meer kunt leren over ontbinden in factoren!

Methode 1

Methode 1 van 2:

Het ontbinden in factoren van gehele getallen

Pdf downloaden

1
Schrijf het getal op. Je kunt elk getal ontbinden in factoren, maar voor de eenvoud beginnen we met een geheel getal. Gehele getallen zijn positieve of negatieve getallen zonder breuken of decimalen.
- Neem het getal 12. Schrijf dit op een stuk papier.
2
Vind nog twee getallen die met elkaar vermenigvuldigd het eerste getal als product vormen. Elk geheel getal kan worden geschreven als het product van twee andere gehele getallen. Zelfs priemgetallen kunnen worden geschreven als het product van 1 en het priemgetal zelf. Het denken in termen van factoren vraagt een andere manier van redeneren. Je vraagt eigenlijk aan jezelf, "wat voor vermenigvuldiging is gelijk aan dit getal?"
- In ons voorbeeld heeft 12 meerdere factoren - 12 × 1, 6 × 2 en 3 × 4 -- allemaal zijn ze gelijk aan 12. Dus kunnen we stellen dat 1, 2, 3, 4, 6 en 12 allemaal factoren van 12 zijn. Voor ons doel volstaat het om verder te gaan met de factoren 6 en 2.
- Even getallen zijn vooral gemakkelijk om te ontbinden, omdat deze getallen altijd 2 als factor hebben. 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2, etc.
3
Bepaal of de gekozen factoren zelf weer ontbonden kunnen worden. Veel getallen – zeker de grotere – kunnen meerdere keren ontbonden worden. Afhankelijk van de situatie heb je hier wel of geen voordeel bij.
- We hebben bijvoorbeeld 12 ontbonden in 2 × 6. Merk op dat 6 weer te ontbinden is in de factoren 3 × 2 = 6. Dus kunnen we zeggen dat 12 = 2 × (3 × 2).
4
Stop met ontbinden als je een priemfactor tegenkomt. Priemgetallen zijn getallen die deelbaar zijn door 1 en zichzelf. Bijvoorbeeld 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 en 17 zijn allemaal priemgetallen. Als je een getal hebt ontbonden, zover dat er alleen nog maar priemfactoren over zijn, dan heeft het geen zin om verder te gaan, omdat de enige factoren die dan nog overblijven 1 en het priemgetal zelf zijn.
- In ons voorbeeld hebben we 12 ontbonden en vereenvoudigd tot 2 × (2 × 3). 2, 2 en 3 zijn allemaal priemgetallen. Zouden we nu nog verder gaan dan moeten we (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)) ontbinden, waar je niets meer aan hebt..
5
Ontbind negatieve getallen op dezelfde manier. Negatieve getallen kunnen op bijna dezelfde manier worden ontbonden als positieve getallen. Het grote verschil is dat de factoren met elkaar vermenigvuldigt een negatief getal als product moeten krijgen, dus een oneven aantal van de factoren moet negatief zijn.
- Laten we als voorbeeld 60 ontbinden. Kijk hieronder verder:
  - -60 = -10 × 6
  - -60 = (-5 × 2) × 6
  - -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
  - -60 = -5 × 2 × 3 × 2. Merk op dat het hebben van een oneven aantal negatieve getallen naast de 1 hetzelfde product als resultaat geeft. Bijvoorbeeld, -5 × 2 × -3 × -2 is ook gelijk aan 60.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Strategie voor het ontbinden van grote getallen

Pdf downloaden

1
Schrijf je getal bovenaan een tabel met 2 kolommen. Hoewel het gewoonlijk erg gemakkelijk is om kleinere getallen te ontbinden, kunnen grotere getallen soms nogal ontmoedigend zijn. De meesten van ons zouden er een harde dobber aan hebben om een getal van 4 of 5 cijfers te ontbinden in factoren met niets anders dan je brein. Gelukkig wordt dit een stuk eenvoudiger met de hulp van een tabel.
- Kies een getal van 4 cijfers om te ontbinden in factoren - 6552.
2
Deel je getal door de kleinst mogelijke priemfactor, behalve 1. Schrijf het priemgetal in de linkerkolom en het antwoord in de kolom ernaast. Zoals hierboven al beschreven, zijn even getallen het makkelijkst om te ontbinden omdat het kleinste priemgetal (behalve 1) altijd gelijk is aan 2. Oneven getallen aan de andere kant, hebben verschillende kleinste priemfactoren.
- In ons voorbeeld weten we dat 2 de kleinste priemfactor is, omdat 6552 een even getal is. 6552 ÷ 2 = 3276. In de linkerkolom schrijven we 2 en in de rechter 3276.
3
Ga op deze manier verder met het ontbinden in factoren. Ontbind nu het getal in de rechterkolom en zoek de kleinste priemfactor van dit getal. Schrijf deze onder de vorige priemfactor in de linkerkolom en het nieuwe getal in de rechterkolom. Ga zo verder tot je niet meer kunt ontbinden (het getal in de rechterkolom wordt steeds kleiner).
- Dus om ons voorbeeld voort te zetten: 3276 ÷ 2 = 1638, dus schrijven we in de linkerkolom een volgende 2 en in de rechterkolom 1638. 1638 ÷ 2 = 819, dus noteren we 2 en 819 in de linker- en rechterkolom.
4
Behandel de oneven getallen door steeds te beginnen met de kleinste priemfactoren. Bij oneven getallen kan het kleinste priemgetal verschillen, in tegenstelling tot even getallen waarbij 2 altijd het kleinste priemgetal is (behalve 1). Begin met priemfactoren zoals 3, 5, 7, 11 enzovoort, tot je er één vindt die een factor is van je getal. Dit is de kleinste priemfactor.
- In ons voorbeeld zien we dat 819 oneven is en dus niet een 2 als priemfactor kan hebben. Dus proberen we een volgend priemgetal. 819 ÷ 3 = 273 zonder rest, dus is 3 de kleinste priemfactor van 819 en gaan we verder met 273.
- Bij het zoeken naar factoren probeer je alle priemgetallen tot de wortel van de grootste factor die je hebt gevonden. Als geen van de getallen die je uitprobeert een deler is van die grootste factor, dan is die grootste deler zelf waarschijnlijk een priemgetal en ben je dus klaar met ontbinden in factoren.
5
Ga door tot je bij 1 bent. Ga door met het zoeken naar de kleinste priemfactor van de getallen in de rechterkolom tot je in die rechterkolom een priemgetal overhoudt. Deze deel je vervolgens door zichzelf, waardoor het getal in de linkerkolom komt te staan en een "1" in de rechterkolom.
- Laten we nu het ontbinden afronden. zie hieronder voor de details:
  - Deel weer door 3: 273 ÷ 3 = 91, geen rest, dus noteren we 3 en 91.
  - Laten we nogmaals een 3 uitproberen: dit lukt niet voor 91 en evenmin met 5 (het volgende priemgetal), maar 91 ÷ 7 = 13 lukt wel, zonder rest, dus noteren we 7 en 13.
  - Laten we 7 nogmaals proberen: 13 heeft geen 7 of 11 als factor, maar wel zichzelf: 13 ÷ 13 = 1. Dus om deze tabel af te sluiten, noteren we 13 en 1. We kunnen nu eindelijk stoppen met ontbinden in factoren.
6
De getallen in de linkerkolom zijn je factoren. Dit betekent dus dat het product van een vermenigvuldiging van deze getallen gelijk moet zijn aan het getal dat bovenaan de tabel staat. Als dezelfde factor meerdere keren voorkomt, schrijf deze dan als een macht van die factor, om ruimte te besparen. Bijvoorbeeld, als in je lijst met factoren de 2 vier keer voorkomt, noteer deze dan als 2⁴ in plaats van 2 × 2 × 2 × 2.
- In ons voorbeeld noteren we dus als volgt: 6552 = 2³ × 3² × 7 × 13. Dit is de volledige ontbinding in priemfactoren van 6552. Het product van de vermenigvuldiging van deze getallen is dus 6552.
Advertentie

Tips

De 1 is geen priemgetal, maar een speciaal geval.
De eerste priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 en 23.
Begrijp dat een getal een factor is van een ander, groter getal, als dit getal helemaal door de factor deelbaar is; dus zonder dat er een rest overblijft. Bijvoorbeeld het getal 6 is een factor van 24, omdat 24 ÷ 6 = 4, zonder rest. 6 is dus geen factor van 25.
Als de getallen in de teller bij elkaar opgeteld een veelvoud zijn van drie, dan is drie een factor van dat getal. ( 819 = 8+1+9 = 18 = 1+8 =9. Drie is een factor van negen, dus is het ook een factor van 819)
Sommige getallen kunnen sneller in factoren worden ontbonden, maar deze manier werkt altijd en een bijkomend voordeel is dat de priemfactoren in oplopende volgorde staan genoteerd als je klaar bent.
Onthoud dat we het alleen maar hebben over gehele getallen zoals 1, 2, 3, 4, 5... en niet over breuken of decimale getallen, wat buiten het bestek van dit artikel valt.

Advertentie

Waarschuwingen

Maak het jezelf niet te moeilijk. Als je een factor hebt uitgesloten, blijf dan niet eindeloos controleren. Heb je ontdekt dat 2 geen factor van 819 kan zijn, ga dan verder in de wetenschap dat je de 2 niet nogmaals als factor hoeft te overwegen.

Advertentie