Come Fattorizzare un Polinomio Cubico

Quest'articolo spiega come scomporre in fattori un polinomio di terzo grado. Esploreremo come fattorizzare con il raccoglimento e con i fattori del termine noto.

Parte 1

Parte 1 di 2:

Fattorizzazione per raccoglimento

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Raggruppa il polinomio in due parti: questo ci permetterà di affrontare ciascuna parte separatamente.
- Supponiamo di lavorare con il polinomio x³ + 3x² - 6x - 18 = 0. Raggruppiamolo in (x³ + 3x²) e (- 6x - 18)
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In ogni parte, trova il fattore comune.
- Nel caso di (x³ + 3x²), x² è il fattore comune.
- Nel caso di (- 6x - 18), -6 è il fattore comune.
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Raccogli le parti in comune al di fuori dei due termini.
- Raccogliendo x² nella prima sezione, otterremo x²(x + 3).
- Raccogliendo -6, avremo -6(x + 3).
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Se ciascuno dei due termini contiene lo stesso fattore, puoi combinare i fattori tra loro.
- Questo darà (x + 3)(x² - 6).
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Trova la soluzione considerando le radici. Se nelle radici hai x², ricordati che sia numeri negativi che positivi soddisfano quell’equazione.
- Le soluzioni sono 3 e √6.
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Parte 2

Parte 2 di 2:

Fattorizzazione usando il termine noto

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Riscrivi l'espressione in modo che sia nella forma aX³+bX²+cX+d.
- Supponiamo di lavorare con l’equazione: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
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Trova tutti i fattori di d. La costante d è quel numero che non è associato a nessuna variabile.
- I fattori sono quei numeri che moltiplicati tra loro danno un altro numero. Nel nostro caso, i fattori di 10, o d, sono: 1, 2, 5, e 10.
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Trova un fattore che renda il polinomio uguale a zero. Vogliamo stabilire qual è il fattore che, sostituito alla x nell’equazione, rende il polinomio uguale a zero.
- Incominciamo con il fattore 1. Sostituiamo 1 in tutte le x dell’equazione:
  (1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0
- Ne deriva che: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Poiché 0 = 0 è un’affermazione vera, allora sappiamo che x = 1 è la soluzione.
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Sistema un po’ le cose. Se x = 1, possiamo cambiare un po’ l’affermazione per farla sembrare un po’ diversa senza cambiarne il significato.
- x = 1 è lo stesso che dire x - 1 = 0 o (x - 1). Abbiamo semplicemente sottratto 1 da entrambe le parti dell' equazione.
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Fattorizza la radice del resto dell'equazione. La nostra radice è "(x - 1)". Vediamo se è possibile raccoglierla al di fuori del resto dell'equazione. Consideriamo un polinomio alla volta.
- E' possibile raccogliere (x - 1) da x³? No, non è possibile. Possiamo però prendere -x² dalla seconda variabile; adesso possiamo scomporla in fattori: x²(x - 1) = x³ - x².
- E' possibile raccogliere (x - 1) da quello che rimane della seconda variabile? No, non è possibile. Dobbiamo prendere di nuovo qualcosa dalla terza variabile. Prendiamo 3x da -7x.
- Questo darà -3x(x - 1) = -3x² + 3x.
- Poiché abbiamo preso 3x da -7x, la terza variabile ora sarà -10x e la costante sarà 10. Possiamo scomporlo in fattori? Sì, è possibile! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Quello che abbiamo fatto è stato riarrangiare le variabili in modo da poter raccogliere (x - 1) in tutta l' equazione. Ecco l' equazione modificata: x³ - x² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0, ma è lo stesso che x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
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Continua a sostituire per i fattori del termine noto. Considera i numeri che abbiamo scomposto usando (x - 1) nel passaggio 5:
- x²(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Possiamo riscrivere per rendere più facile la fattorizzazione: (x - 1)(x² - 3x - 10) = 0.
- Qui stiamo cercando di scomporre in fattori (x² - 3x - 10). La scomposizione sarà (x + 2)(x - 5).
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Le soluzioni saranno le radici fattorizzate. Per controllare se le soluzioni sono corrette, le puoi inserire una alla volta nell' equazione originale.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Le soluzioni sono 1, -2, e 5.
- Inserisci -2 nell' equazione: (-2)³ - 4(-2)² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Inserisci 5 nell' equazione: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
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Consigli

Un polinomio cubico è il prodotto di tre polinomi di primo grado o il prodotto di un polinomio di primo grado e un altro polinomio di secondo non scomponibile in fattori. Nell'ultimo caso, per trovare il polinomio di secondo grado, usiamo una lunga divisione una volta trovato il polinomio di primo grado.
Non esistono polinomi cubici non scomponibili tra i numeri reali, poiché ogni polinomio cubico deve avere una radice reale. Polinomi cubici come x^3 + x + 1 che hanno una radice reale irrazionale non possono essere fattorizzati in polinomi con coefficienti interi o razionali. Nonostante possa essere fattorizzato con la formula cubica, è irriducibile come polinomio intero.