Come Scomporre in Fattori i Polinomi di Secondo Grado (Equazioni Quadratiche)

Un polinomio contiene una variabile (x) elevata a una potenza, detta «grado», e diversi termini e/o costanti. Scomporre un polinomio significa ridurre l'espressione in altre più piccole che vengono moltiplicate insieme. È un'abilità che si apprende nei corsi di algebra e può essere difficile da capire se non sei a questo livello.

Passaggi

Scarica PDF

Iniziare

Il formato standard per l'equazione quadratica è:ax² + bx + c = 0Inizia ordinando i termini della tua equazione da quello di grado più alto a quello più basso, proprio come nel formato standard. Ad esempio, prendiamo:6 + 6x² + 13x = 0 Riordiniamo questa espressione spostando semplicemente i termini in modo che sia più facile risolverla:6x² + 13x + 6 = 0
La scomposizione o fattorizzazione del polinomio si tradurrà in due espressioni più piccole che possono essere moltiplicate per ritornare al polinomio originale:6 x² + 13 x + 6 = (2 x + 3) (3 x + 2)In questo esempio, (2 x + 3) e (3 x + 2) sono fattori dell'espressione originale, 6x² + 13 x + 6.
Moltiplica i fattori individuati. Dopo di che, combina i termini simili e avrai finito. Inizia con:(2 x + 3) (3 x + 2) Proviamo a moltiplicare ogni termine della prima espressione con ogni termine della seconda, ottenendo:6x² + 4x + 9x + 6Da qui, possiamo sommare 4 x e 9 x dato che sono tutti termini simili. Sappiamo che i nostri fattori sono corretti perché otteniamo l'equazione di partenza:6x² + 13x + 6
Pubblicità

Metodo 1

Metodo 1 di 6:

Procedere per Tentativi

Scarica PDF

Se hai un polinomio abbastanza semplice, potresti essere in grado di capirne i fattori anche solo osservandolo. Per esempio, con la pratica, molti matematici sono in grado di sapere che l'espressione 4 x² + 4 x + 1 ha come fattori (2 x + 1) e (2 x + 1) proprio dopo aver visto tante volte. (Questo ovviamente non sarà facile con i polinomi più complicati.) In questo esempio usiamo un'espressione meno comune:

3 x² + 2x - 8

Utilizzando il formato di espressione ax ² + bx + c = 0, identifica i termini 'a' e 'c' ed elenca quali fattori hanno. Per 3x² + 2x - 8, significa:a = 3 e ha una serie di fattori: 1 * 3c = -8 e ha quattro serie di fattori: 4 * -2, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
Potrai inserire le costanti all'interno dello spazio che hai lasciato in ogni espressione: ( x )( x )
Per il termine 'a' nel nostro esempio, 3 x², c'è solo una possibilità: (3x )(1x )
Supponiamo di aver scelto 8 e 1. Scrivili:(3x 8)(x 1)
Secondo i segni dell'espressione originale, è possibile capire quali dovrebbero essere i segni delle costanti. Chiameremo 'h' e ' k' le due costanti per i nostri due fattori: Se ax² + bx + c allora (x + h)(x + k)Se ax² - bx - c oppure ax² + bx - c allora (x - h)(x + k)Se ax² - bx + c allora (x - h)(x - k)Per il nostro esempio, 3x² + 2x - 8, i segni devono essere:(x - h)(x + k), con due fattori:(3x + 8) e (x - 1)
Un rapido test da eseguire è vedere se almeno il termine medio è del valore corretto. Se non lo è, potresti aver scelto i fattori 'c' sbagliati. Controlliamo la nostra risposta: (3 x + 8)(x-1)Moltiplicando, arriviamo a:3 x ² - 3 x + 8x - 8Semplificando questa espressione aggiungendo termini come (-3x) e (8x), otteniamo:3 x² - 3 x + 8x - 8 = 3 x² + 5 x - 8Sappiamo adesso che dobbiamo aver identificato i fattori sbagliati:3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8
Nel nostro esempio, proviamo con 2 e 4 invece che con 1 e 8: (3 x + 2)(x-4)Ora il nostro termine c è un -8, ma il nostro prodotto esterno/interno (3x * -4) e (2 * x) è -12x e 2x, che non si combinano per rendere il termine corretto b +2x.-12x + 2x = 10x10x ≠ 2x
Proviamo a spostare il 2 e il 4:(3x + 4)(x - 2)Ora il nostro termine c (4 * 2 = 8) va ancora bene, ma i prodotti esterno/interno sono -6x e 4x. Se li uniamo:-6x + 4x = 2x2x ≠ -2xSiamo abbastanza vicini al 2x a cui noi puntavamo, ma il segno è sbagliato.
Andiamo nello stesso ordine, ma invertiamo quello con il meno:(3x- 4)(x + 2)Ora il termine c va ancora bene e i prodotti esterni/interni sono ora (6x) e (-4x). Poiché:6x - 4x = 2x2x = 2xOra possiamo riconoscere dal testo originale che 2x è positivo. Devono essere i fattori corretti.
Pubblicità

Metodo 2

Metodo 2 di 6:

Scomposizione

Scarica PDF

Questo metodo identifica tutti i possibili fattori dei termini 'a' e 'c' e li usa per capire quali dovrebbero essere i fattori. Se i numeri sono molto grandi o se le altre congetture sembrano prenderti troppo tempo, utilizza questo metodo. Usiamo l'esempio:

6x² + 13x + 6

In questo esempio, a è 6 e c è ancora 6.6 * 6 = 36
Stiamo cercando due numeri che sono fattori del prodotto 'a' * 'c' che abbiamo identificato e aggiungiamo il termine 'b' (13).4 * 9 = 364 + 9 = 13
Usiamo 'k' e 'h' per rappresentare i due numeri che abbiamo ottenuto, 4 e 9: ax² + kx + hx + c6x² + 4x + 9x + 6
Organizza l'equazione in modo da poter portar fuori il fattore comune più grande tra i primi due termini e gli ultimi due. Entrambi i restanti gruppi fattorizzati dovrebbero essere uguali. Metti insieme i massimi divisori comuni e racchiudili tra parentesi accanto al gruppo fattorizzato; il risultato sarà dato dai tuoi due fattori: 6x² + 4x + 9x + 62x(3x + 2) + 3(3x + 2)(2x + 3)(3x + 2)
Pubblicità

Metodo 3

Metodo 3 di 6:

Triplo Gioco

Scarica PDF

Simile al metodo di decomposizione, il metodo del 'triplo gioco' esamina i possibili fattori del prodotto 'a' per 'c' e li utilizza per capire quale dovrebbe essere 'b'. Considera questa equazione d'esempio:

8x² + 10x + 2

Come con il metodo di scomposizione, questo ci aiuterà a identificare i possibili candidati per il termine 'b'. In questo esempio, 'a' è 8 e 'c' è 2.8 * 2 = 16
Questo passaggio è identico al metodo di scomposizione - stiamo testando ed escludendo i possibili valori delle costanti. Il prodotto dei termini 'a' e 'c' è 16 e la somma è 10: 2 * 8 = 168 + 2 = 10
Prendi i nostri due numeri del passaggio precedente - chiamiamoli 'h' e 'k' - e mettili in questa espressione:((ax + h)(ax + k))/ aA questo punto otterremmo:((8x + 8)(8x + 2)) / 8
In questo esempio, stiamo controllando se (8 x + 8) o (8 x + 2) può essere diviso per 8. (8 x + 8) è divisibile per 8, quindi dividiamo questo termine per 'a' e lasciamo l'altro così com'è.(8 x + 8) = 8 (x + 1)Il termine trovato è ciò che resta dopo aver diviso il termine per 'a': (x + 1)
In questo esempio, il secondo termine ha un MCD di 2, perché 8 x + 2 = 2(4x + 1). Combina questa risposta con il termine identificato nel passaggio precedente. Questi sono i fattori della tua equazione.2(x + 1)(4x + 1)
Pubblicità

Metodo 4

Metodo 4 di 6:

Differenza di Due Quadrati

Scarica PDF

Alcuni coefficienti dei polinomi possono essere identificati come 'quadrati' o prodotti di due numeri. Identificare questi quadrati ti consente rendere molto più veloce la scomposizione di alcuni polinomi. Si consideri l'equazione:

27x² - 12 = 0

In questo caso, possiamo vedere che 27 e 12 sono entrambi divisibili per 3, quindi otterremo:27x² - 12 = 3(9x² - 4)
Per utilizzare questo metodo dovresti essere in grado di fare la radice quadrata dei quadrati perfetti. (Nota che omettiamo i segni negativi - dal momento che questi numeri sono dei quadrati, essi possono essere prodotti di due numeri negativi o di due positivi)9x² = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
Prendiamo i valori 'a' e 'c' dal nostro passaggio precedente, 'a' = 9 e 'c' = 4, dopo di che troviamo le loro radici quadrate, √ 'a' = 3 e √ 'c' = 2. Questi sono i coefficienti delle espressioni semplificate:27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Pubblicità

Metodo 5

Metodo 5 di 6:

Formula Quadratica

Scarica PDF

Se tutto il resto fallisce e l'equazione non può essere scomposta, utilizza la formula quadratica. Si consideri l'esempio:

x² + 4x + 1 = 0

x = -b ± √(b² - 4ac) --------------------- 2aOtteniamo l'espressione:x = -4 ± √(4² - 4•1•1) / 2
Dovresti ottenere due valori x. Come mostrato sopra, otteniamo due risposte:x = -2 + √(3) e anche x = -2 - √(3)
Inserisci i valori di x ottenuti come fossero costanti nelle due espressioni polinomiali. Questi saranno i tuoi fattori. Se chiamiamo 'h' e 'k' le nostre due risposte, scriviamo i due fattori in questo modo:(x - h) (x - k)In questo caso, è la nostra risposta definitiva è:(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
Pubblicità

Metodo 6

Metodo 6 di 6:

Usare una Calcolatrice

Scarica PDF

Se sei autorizzato a utilizzare una calcolatrice grafica, essa rende molto più facile il processo di scomposizione, soprattutto su prove standardizzate. Queste istruzioni sono per una calcolatrice grafica della Texas Instruments. Usiamo l'equazione di esempio:

y = x² − x − 2

Una volta che hai inserito la tua equazione, premi [GRAPH]: si dovrebbe vedere un arco continuo che rappresenta l'equazione (e sarà un arco dal momento che abbiamo a che fare con polinomi).
3
Trova dove l'arco interseca l'asse x. Poiché le equazioni polinomiali sono tradizionalmente scritte come ax² + bx + c = 0, questi sono i due valori di x che rendono l'espressione uguale a zero: (-1, 0), (2, 0)x = -1, x = 2
- Se non riesci a individuare i punti manualmente, premi [2nd] e quindi [TRACE]. Premi [2] o seleziona zero. Scorri il cursore a sinistra di un'intersezione e premi [ENTER]. Scorri il cursore a destra di un'intersezione e premi [ENTER]. Scorri il cursore il più vicino possibile a un'intersezione e premi [ENTER]. La calcolatrice troverà il valore di x. Ripeti la stessa cosa per la seconda intersezione.
Se chiamiamo i nostri due valori di x 'h' e 'k', l'espressione che useremo sarà:(x - h) (x - k) = 0Così, i nostri due fattori devono essere:(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Pubblicità

Consigli

Se hai una calcolatrice tipo TI-84, esiste un programma chiamato SOLVER, in grado di risolvere un'equazione quadratica. Potrà risolvere polinomi di ogni grado.
Il coefficiente di un termine non esistente è 0. Se questo è il caso, può essere utile riscrivere l'equazione.

x² + 6 = x² + 0x + 6
Se hai scomposto in fattori un polinomio usando la formula quadratica e il risultato contiene un radicale, potresti convertire i valori di x in frazioni per verificare il risultato.
Se un termine non ha un coefficiente, è sottointeso 1.

x² = 1x²
Alla fine, imparerai ad andare per tentativi mentalmente. Fino a quel momento, sarà meglio farlo per iscritto.

Avvertenze

Se stai imparando questo concetto a scuola, fai attenzione a quello che t'insegna la tua insegnante. Non usare solo il tuo metodo preferito. In una prova, la tua insegnante potrebbe richiedere di usare un determinato metodo o non permettere l'uso di calcolatrici grafiche.