Een derdegraads polynoom ontbinden in factoren

Dit artikel gaat over het ontbinden in factoren van een derdegraads polynoom, ook wel een veelterm genoemd. We gaan verkennen hoe we dit kunnen doen met behulp van groeperen en het gebruiken van de factoren van de vrije term.

Deel 1

Deel 1 van 2:

Ontbinden door groeperen

Pdf downloaden

1
Verdeel de polynoom in twee groepen. Het opdelen van de polynoom helpt bij het oplossen van elke individueel onderdeel.
- Stel, we werken met de volgende polynoom:" x³ + 3x² - 6x - 18 = 0. Laten we dit eens opdelen in (x³ + 3x²) en (- 6x - 18)
2
Probeer erachter te komen wat hetzelfde is in elke groep.
- Bij (x³ + 3x²), zien we dat x² gelijk is.
- Bij (- 6x - 18), zien we dat -6 gelijk is.
3
Haal deze gelijke factoren uit de twee termen.
- Door x² te ontbinden krijgen we x²(x + 3).
- Door -6 uit het tweede stuk te ontbinden krijgen we -6(x + 3).
4
Als elk van de twee termen dezelfde factor bevat, dan kun je deze factoren combineren.
- Dit geeft (x + 3)(x² - 6).
5
Vind de oplossing door naar de wortels te kijken. Heb je x² in een wortel, onthoud dan dat zowel positieve als negatieve getallen geldig zijn voor die vergelijking.
- De oplossingen zijn -3, en √6.
Advertentie

Deel 2

Deel 2 van 2:

Ontbinden in factoren met de vrije term

Pdf downloaden

1
Herschik de uitdrukking in de volgende vorm: ax³+bx²+cx+d.
- Stel je werkt met de vergelijking: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
2
Vind alle factoren van "d". De constante "d" wordt het getal zonder variabelen naast zich zoals "x".
- Factoren zijn de getallen die je met elkaar kunt vermenigvuldigen zodat je een ander getal krijgt. In dit geval zijn dit de factoren van 10, of "d": 1, 2, 5 en 10.
3
Vind een factor die ervoor zorgt dat de polynoom gelijk wordt aan nul. We willen bepalen welke factor de polynoom gelijk maakt aan nul als we deze factor voor "x" invullen in de vergelijking.
- Begin door de eerste factor te gebruiken, 1. Substitueer "1" voor elke "x" in de vergelijking:
  (1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0
- Dit geeft: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Omdat 0 = 0 een ware bewering is weet je dat x = 1 de oplossing is.
4
Ga nu alles herschikken. Als x=1 dan is het mogelijk om deze vergelijking net iets anders te schrijven zonder dat de betekenis verandert.
- "x = 1" is hetzelfde als "x - 1 = 0" of "(x - 1)". Je hebt alleen maar een "1" afgetrokken van elke kant van de vergelijking.
5
Ontbind de wortel uit de vergelijking. "(x - 1)" is de wortel. Probeer deze uit de rest van de vergelijking te ontbinden. Doe dit met één polynoom tegelijkertijd.
- Kun je (x - 1) als factor ontbinden uit x³? Nee, dat kan niet. Maar wel als je eerst a -x² van de tweede variabele leent: x²(x - 1) = x³ - x².
- Kun je (x - 1) als factor ontbinden uit wat overblijft van de tweede variabele? Nee, ook hierbij kan dit niet. Je moet weer iets lenen van de derde variabele, namelijk 3x van -7x. Dit geeft ons -3x(x - 1) = -3x² + 3x.
- Omdat je 3x uit -7x hebt gehaald is de derde variabele nu -10x en de constante is 10. Kun je deze ontbinden. Jazeker! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Wat je hebt gedaan is het herschikken van de variabelen waardoor je de factor (x - 1) uit de hele vergelijking kunt halen. De gewijzigde vergelijking ziet er zo uit: x³ - x² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0, maar is nog steeds hetzelfde als x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
6
Ga verder met het vervangen van de factoren van de vrije term. Bekijk de getallen die je hebt ontbonden met behulp van (x - 1) in Stap 5:
- x²(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Deze kun je herschikken zodat het nogmaals ontbinden een stuk gemakkelijker wordt: (x - 1)(x² - 3x - 10) = 0.
- Hier probeer je alleen maar (x² - 3x - 10) te ontbinden. De factoren worden dan (x + 2)(x - 5).
7
Je oplossing is de in factoren verdeelde wortels. Controleer deze oplossing door deze ieder afzonderlijk weer in te vullen in de originele vergelijking.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Dit geeft de oplossingen voor 1, -2, en 5.
- Vul -2 in de vergelijking in: (-2)³ - 4(-2)² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Vul 5 in de vergelijking in: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Advertentie

Tips

De derdegraads vergelijking is het product van 3 eerstegraadsvergelijkingen of van een eerstegraadsvergelijking en een tweedegraadsvergelijking die niet te ontbinden is. In dit laatste geval gebruik je staartdeling, na het vinden van de eerstegraads veelterm, om de tweedegraads veelterm te vinden.
Er zijn geen derdegraads veeltermen die niet te ontbinden zijn als het gaat om reële getallen, omdat deze vergelijking een wortel met reële getallen moet hebben. Derdegraads vergelijkingen zoals x³ + x + 1 die een irrationale reële wortel hebben, kunnen niet worden ontbonden in veeltermen met gehele of rationale getallen als coëfficiënt. Hoewel het kan worden ontbonden in de vergelijking zelf, is het niet terug te brengen tot een veelterm met gehele getallen.

Methode 2 komt neer op de staartdeling van twee polynomen , a.v:

(x-1) ∕ x³ - 4x² - 7x + 10 ∕

- 10x + 10................= (x-1) ( - 10 )

De termen x², -3x en -10 van het quotiënt krijg je door steeds de 1e term van de deler ( x ) af te trekken van de eerste term van het deeltal, of wat daarvan over is ( x³, -3x², -10x ).

Advertentie