कैसे त्रिघात बहुपद का गुणनखंड निकालें (Factor a Cubic Polynomial)

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इस आर्टिकल में:

ग्रुपिंग करके त्रिघात बहुपद का गुणनखंड निकालना (Factoring By Grouping)

फ्री टर्म या कांस्टेंट पद का इस्तेमाल करके गुणनखंड करना (Factoring Using the Free Term)

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स्रोत और उद्धरण

इस विकिहाउ आर्टिकल में घात 3 (3^rd डिग्री) वाले बहुपद का गुणनखंड (factor) कैसे निकालते हैं इस बारे में बताया गया है। इसके अलावा घात 3 वाले समीकरण को ग्रुप में विभाजित करके या फ्री टर्म अर्थात कांस्टेंट पद का इस्तेमाल करके त्रिघात बहुपद का गुणनखंड कैसे निकालते हैं यह भी आप इस आर्टिकल के जरिए सीखेंगे।

चरण

विधि 1

विधि 1 का 2:

ग्रुपिंग करके त्रिघात बहुपद का गुणनखंड निकालना (Factoring By Grouping)

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1. 
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   बहुपद को दो सेक्शन में विभाजित करें: बहुपद को दो सेक्शन में विभाजित करने से हर सेक्शन को आप अलग-अलग फैक्टराइज़ कर सकते हैं।

   • मान लेते हैं कि आपको x³ + 3x² - 6x - 18 = 0 के फैक्टर निकालना है। इस बहुपद को (x³ + 3x²) और (- 6x - 18) में ग्रुप करें।
2. 
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   हर सेक्शन में कौन सा पद कॉमन है यह पता करें।

   • पहले सेक्शन (x³ + 3x²) में, आप पाएंगे कि x² क़ॉमन है।
   • दूसरे सेक्शन में, आप देखेंगे कि -6 कॉमन है।
3. 
   3
   दोनों पदों में से कॉमन पद को बाहर निकालें।

   • पहले सेक्शन में x² को बाहर निकालने पर, आपको समीकरण x²(x + 3) मिलेगा।
   • दूसरे सेक्शन में -6 को बाहर निकालने पर, आपको समीकरण -6(x + 3) मिलेगा।
4. 
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   यदि दोनों ब्रैकेट में समान पद मौजूद है, तो उन्हें केवल एक बार लिखें।

   • ऐसा करने पर, आपका समीकरण (x + 3)(x² - 6) बन जाएगा।
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   समीकरण के मूल पता (roots) करें: यदि समीकरण में x² मौजूद है, तो याद रखें कि आपको धनात्मक (positive) और ऋणात्मक (negative) दोनों ही मूल मिलेंगे जो समीकरण को सिद्ध करते हैं।

   • इसलिए, दिए गए समीकरण के मूल -3, √6 और -√6 हैं।

विधि 2

विधि 2 का 2:

फ्री टर्म या कांस्टेंट पद का इस्तेमाल करके गुणनखंड करना (Factoring Using the Free Term)

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   व्यंजक (expression) को रीअरेन्ज करके ax³+bx²+cx+d फॉर्म में लिखें:

   • मान लेते हैं, आपको निम्नलिखित समीकरण का गुणनखंड या फैक्टर (factor) निकालना है: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0।
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   2
   कांस्टेंट पद "d" के सारे गुणनखंड निकालें: कांस्टेंट पद "d" एक ऐसी संख्या है जिसमें कोई भी चर पद जैसे "x" जुड़ा नहीं होता है।

   • गुणनखंड वह संख्याएं हैं जिन्हें आपस में एक साथ गुणा करने पर वही संख्या पुनः प्राप्त हो सकती है। इस समीकरण में, कांस्टेंट पद 10 या "d" के गुणनखंड हैं: 1, 2, 5, और 10।
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   ऐसे गुणनखंड या फैक्टर (factor) को ढूँढें जिसे चर के स्थान पर सब्स्टिट्यूट करने पर बहुपद की वैल्यू बराबर शून्य होती है: आपको पता करने की आवश्यकता होगी कि किस फैक्टर वैल्यू को समीकरण में "x" के स्थान पर सब्स्टिट्यूट करने पर समीकरण की वैल्यू शून्य होती है।

   • फैक्टर वैल्यू में से पहले फैक्टर संख्या 1 से शुरूआत करें। समीकरण में मौजूद हर "x" के स्थान पर "1" सब्स्टिट्यूट करें। आपका समीकरण निम्नलिखित तरीके से लिखा जाएगा:
     (1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0।
   • इसे हल करने पर आपको 1 - 4 - 7 + 10 = 0 मिलेगा।
   • यदि x के स्थान पर संख्या 1 सब्स्टिट्यूट करने पर यदि 0 = 0 मिल रहा है जो समीकरण को सिद्ध करता है, तो आपको पता चलेगा कि समीकरण का एक मूल (root) x = 1 है।
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   समीकरण को थोड़ा बदलकर लिखें: यदि x = 1 है, तो आपको समीकरण को रीअरेंज करके लिखने की आवश्यकता होगी ताकि समीकरण थोड़ा अलग दिखें लेकिन उसका अर्थ ओरिजिनल समीकरण की तरह ही रहें।

   • "x = 1" और "x - 1 = 0" या "(x - 1)" एक समान ही है। आपने केवल समीकरण की दोनों तरफ 1 घटाया है।
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   बाकी बचे समीकरण से समीकरण के मूल (root) निकालें: "(x - 1)" समीकरण का पहला मूल या रूट है। अब बचे समीकरण से मूल निकालने के लिए समीकरण को देखें। एक बार में केवल एक बहुपद को हल करें।

   • क्या आप x³ से (x - 1) फैक्टर निकाल सकते हैं? नहीं, ऐसा नहीं हो सकता है। लेकिन आप दूसरे वेरिएबल से -x² उधार ले सकते हैं; तब आपको निम्नलिखित फैक्टर मिलेगा: x²(x - 1) = x³ - x²।
   • क्या आप दूसरे बचे वेरिएबल से (x - 1) फैक्टर निकाल सकते हैं? नहीं, फिर से ऐसा नहीं हो सकता है। फिर से आपको तीसरे वेरिएबल से एक छोटे हिस्से को उधार लेने की आवश्यकता होगी। आपको -7x से 3x को उधार लेना होगा। ऐसा करने पर आपको -3x(x - 1) = -3x² + 3x मिलेगा।
   • चूंकि आपने -7x से 3x बाहर निकाला है, अब आपका तीसरा वेरिएबल -10x है और कांस्टेंट 10 है। क्या आप अंतिम दो पदों के फैक्टर निकाल सकते हैं? हाँ! -10(x - 1) का फैक्टर = -10x + 10 है।
   • आपने केवल समीकरण में वेरिएबल को रीअरेंज करके लिखा है ताकि आप पूरे समीकरण में से फैक्टर (x - 1) कॉमन निकाल सकें। आपके द्वारा रीअरेंज की गया समीकरण निम्नलिखित तरीके से रीअरेंज होना चाहिए: x³ - x² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0, लेकिन इसका अर्थ मूल समीकरण x³ - 4x² - 7x + 10 = 0 के समान ही रहेगा।
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   कांस्टेंट पद यानि फ्री टर्म के फैक्टर को सब्स्टिट्यूट करके गुणनखंड निकालना जारी रखें: स्टेप-5 में (x - 1) को कॉमन निकालने के बाद बचे हुए समीकरण को देखें:

   • x²(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0। आप इस समीकरण को निम्नलिखित तरीके से आसानी से फैक्टराइज़ कर सकते हैं: (x - 1)(x² - 3x - 10) = 0।
   • अब आपको केवल (x² - 3x - 10) समीकरण का फैक्टर निकालने की आवश्यकता होगी। समीकरण को फैक्टराइज़ करने पर आपको (x + 2)(x - 5) मिलेगा।
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   समीकरण के मूल (roots) लिखें: हर एक मूल को ओरिजिनल समीकरण में सब्स्टिट्यूट करके जाँच लें कि निकाले गए मूल सही है या नहीं।

   • (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 है, इससे आपको समीकरण के मूल 1, -2, और 5 मिलेंगे।
   • -2 को दोबारा निम्नलिखित समीकरण में सब्स्टिट्यूट करें: (-2)³ - 4(-2)² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0।
   • 5 को दोबारा निम्नलिखित समीकरण में सब्स्टिट्यूट करें: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0।

सलाह

• तीन रैखिक या एक घात वाले बहुपद (linear polynomial) को एक दूसरे से गुणा करने पर त्रिघात अर्थात तीन घात वाला बहुपद (cubic polynomial) प्राप्त होता है या एक रैखिक बहुपद को द्विघात बहुपद से गुणा करने पर भी हमें एक त्रिघात बहुपद मिलता है। एक रैखिक बहुपद मिलने के बाद आप लंबी विभाजन प्रक्रिया (long division method) का इस्तेमाल करके भी द्विघात बहुपद (quadratic or second-degree polynomial) प्राप्त कर सकते हैं।
• ऐसा एक भी त्रिघात बहुपद नहीं है जिसके फैक्टर नहीं निकाले जा सकते हैं क्योंकि हर त्रिघात बहुपद के वास्तविक मूल होते ही है। त्रिघात बहुपद जैसे x^3 + x + 1 के अपरिमेय वास्तविक मूल होते हैं जिसे पूर्णांक या परिमेय संख्याओं की तरह बहुपदों में फैक्टराइज़ नहीं किया जा सकता है। भले ही आप इस बहुपद को क्यूबिक फॉर्मूला का इस्तेमाल करके फैक्टराइज़ कर लेते हैं, तब भी इसे इंटिज़र (integer) बहुपद में सरल नहीं किया जा सकता है।