Como Fatorar um Polinômio do 3º Grau

Este é um artigo de como fatorar um polinômio de 3º grau. Ele irá explorar como fazer a fatoração através do agrupamento, assim como usando o termo livre.

Parte 1

Parte 1 de 2:

Fatoração por agrupamento

Baixe em PDF

1
Agrupe o polinômio em duas partes. Agrupar o polinômio em duas partes nos permite abordar cada seção individualmente.^{[1]XFonte de pesquisa}
- Digamos que estamos trabalhando com o polinômio x³ + 3x² - 6x - 18 = 0. Vamos agrupá-lo em (x³ + 3x²) e (- 6x - 18)
2
Descubra o que é comum a cada parte.
- Olhando para (x³ + 3x²), podemos ver que x² é comum.
- Olhando para (- 6x - 18), podemos ver que -6 é comum.
3
Fatore os comuns dos dois termos.
- Fatorando x² da primeira seção, temos x²(x + 3).
- Fatorando o -6 na segunda seção, temos -6(x + 3).
4
Se cada um dos termos tiver o mesmo fator, podemos combiná-los.^{[2]XFonte de pesquisa}
- Isso nos dá (x + 3)(x² - 6).
5
Encontre a solução olhando nas raízes. Se você tem x² na raiz, lembre-se de que ambos os números, negativo e positivo, preenchem essa equação.^{[3]XFonte de pesquisa}
- As soluções são 3 e √6.
Publicidade

Parte 2

Parte 2 de 2:

Fatoração pelo Termo Livre

Baixe em PDF

1
Rearranje a expressão para que fique no formato de aX³+bX²+cX+d.^{[4]XFonte de pesquisa}
- Digamos que estamos trabalhando com a seguinte equação: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
2
Encontre todos os fatores de "d". A constante "d" será o número que não tem nenhuma variável, como o "x" próximo a ela.
- Fatores são números que você pode multiplicar para obter outro número. Em nosso caso, os fatores de 10, ou "d", são: 1, 2, 5 e 10.
3
Encontre um fator que iguale o polinômio com zero. Queremos determinar qual fator faz com que o polinômio seja igual a zero quando substituirmos o fator por cada "x" na equação.
- Vamos começar usando nosso primeiro fator, 1. Vamos substituir o "1" por cada "x" na equação:
  (1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0
- Isso nos dá: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Já que 0 = 0 é verdadeiro, sabemos que x = 1 é uma solução.
4
Faça um pequeno reajuste. Se x = 1, podemos reajustar a equação para parecer um pouco diferente sem mudar seu resultado.
- "x = 1" é a mesma coisa que "x - 1 = 0" ou "(x - 1)". Acabamos de subtrair "1" de cada lado da equação.
5
Fatore o termo em todo resto da equação. "(x - 1)" é seu termo. Vejamos se podemos fatorá-lo fora do resto da equação. Vamos um polinômio por vez.
- Podemos fatorar (x - 1) fora de x³? Não podemos. Mas podemos pegar emprestado um -x² da segunda variável; daí podemos fatorá-lo: x²(x - 1) = x³ - x².
- Podemos fatorar (x - 1) do que resta da nossa segunda variável? Não, de novo, não podemos. Precisamos pegar emprestado um pouquinho da terceira variável. Precisamos pegar emprestado um 3x do -7x. Isso nos dá -3x(x - 1) = -3x² + 3x.
- Já que tiramos o 3x do -7x, nossa terceira variável agora é -10x e nossa constante é 10. Podemos fatorar isso? Podemos! -10(x - 1) = -10x + 10.
- O que fizemos foi reorganizar as variáveis para que pudéssemos fatorar (x - 1) em toda a equação. Nossa equação reorganizada deve estar assim: x³ - x² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0, mas ainda é o mesmo que x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
6
Continue substituindo os fatores pelo termo livre. Olhe os números que fatoramos usando (x - 1) no Passo 5:
- x²(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Podemos reorganizar isso para que seja muito mais fácil de fazer a fatoração mais uma vez: (x - 1)(x² - 3x - 10) = 0.
- Estamos apenas tentando fatorar (x² - 3x - 10) aqui. Isso tem como resultado (x + 2)(x - 5).
7
Sua solução será seu termo fatorado. Você pode ver se suas soluções realmente funcionam colocando cada uma, individualmente, de volta na equação original.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 Isso nos dá a solução de 1, -2 e 5.
- Coloque o -2 de volta na equação: (-2)³ - 4(-2)² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Coloque o 5 de volta na equação: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Publicidade

Dicas

O polinômio de terceiro grau é o produto de três polinômios de primeiro grau ou o produto de um polinômio de primeiro grau e um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado. Neste último caso, usamos a divisão longa depois de encontrar o polinômio de primeiro grau para encontrar o polinômio de segundo grau.
Não existem polinômios de terceiro grau dentro dos números reais que não possam ser fatorados, porque cada polinômio cúbico deve ter um termo real. Cúbicos como x^3 + x + 1 que tem um número irracional não podem ser fatorados em polinômios com um coeficiente inteiro ou racional. Embora possa ser fatorado com a fórmula cúbica, é irredutível enquanto polinômio inteiro.