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Este artículo fue coescrito por Joseph Quinones. Joseph Quinones es un maestro de física de escuela secundaria que trabaja en South Bronx Community Charter High School. Se especializa en astronomía y astrofísica, y le interesa la educación en ciencias y la divulgación científica, actualmente practicando formas de hacer que la física sea accesible a más estudiantes con el objetivo de llevar a más estudiantes de color a los campos STEM. Tiene experiencia trabajando en proyectos de investigación de astrofísica en el Museo de Historia Nacional (AMNH). Joseph obtuvo una licenciatura en física en Lehman College, además de una maestría en educación física en City College of New York (CCNY). También es miembro de una red llamada New York City Men Teach.
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Este es un artículo acerca de cómo factorizar un polinomio de tercer grado. Vamos a explorar cómo factorizar utilizando la agrupación, así como el uso de los factores de la expresión libre.
Pasos
Agrupa el polinomio en dos secciones. Agrupar el polinomio en dos secciones te permitirá atacar cada sección por separado.[1]- Digamos que estamos trabajando con el polinomio x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Agrupémoslo en (x3 + 3x2) y (- 6x - 18).
Encuentra lo que es común en cada sección.- En cuanto a (x3 + 3x2), podemos ver que x2 es común.
- En cuanto a (- 6x - 18), podemos ver que -6 es común.
Factoriza los puntos en común de los dos términos.- Al factorizar x2 de la primera sección, obtenemos x2(x + 3).
- Al factorizar -6 de la segunda sección, obtenemos -6 (x + 3).
Si cada uno de los dos términos contiene el mismo factor, se pueden combinar los factores en conjunto.[2]- Esto nos da (x + 3)(x2 - 6).
Encuentra la solución mirando las raíces. Si tienes una x2 en tus raíces, recuerda que ambos números negativo y positivo cumplen esa ecuación.[3]- Las soluciones es 3 y √ 6.
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Vuelve a ordenar la expresión de manera que esté en forma de aX3+bX2+cX+d.[4]- Supongamos que tenemos la ecuación: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Encuentra la totalidad de los factores de "d". La constante "d" va a ser el número que no tiene variables, como la "x", al lado de ella.- Los factores son los números que pueden multiplicarse en conjunto para obtener otro número. En nuestro caso, los factores de 10, o "d", son: 1, 2, 5, y 10.
Encuentra un factor que haga que el polinomio sea igual a cero. Queremos determinar qué factor hace que el polinomio sea igual a cero cuando sustituimos el factor para cada "x" en la ecuación.- Vamos a empezar con nuestro primer factor, 1. Vamos a sustituir el "1" para cada "x" en la ecuación:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0. - Esto nos da: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Debido a que 0 = 0 es una declaración verdadera, sabemos que x = 1 es una solución.
- Vamos a empezar con nuestro primer factor, 1. Vamos a sustituir el "1" para cada "x" en la ecuación:
Reorganiza un poco. Si x = 1, podemos reorganizar el estado para verse un poco diferente sin cambiar su significado.- "X = 1" es lo mismo que "x - 1 = 0" o "(x - 1)". Hemos restado un "1" de cada lado de la ecuación.
Factoriza la raíz fuera del resto de la ecuación. "(X - 1)" es nuestra raíz. Vamos a ver si podemos factorizarlo del resto de la ecuación. Vamos a tomar un polinomio a la vez.- ¿Podemos factorizar (x - 1) y x3? No, no se puede. Sabemos que puede pedir prestado un -x2 de la segunda variable, entonces lo podemos factorizar: x2(x - 1) = x3 - x2.
- ¿Podemos factorizar (x - 1) con lo que queda de nuestra segunda variable? No, otra vez no podemos. Tenemos que pedir prestado otro poco de la tercera variable. Tenemos que pedir prestado un 3x de -7x. Esto nos da -3x(x - 1) = -3x2 + 3x.
- Como tomamos un 3x de -7x, nuestra tercera variable es ahora -10x y nuestra constante es 10. ¿Podemos factorizar esto? ¡Podemos! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Lo que hicimos fue reorganizar las variables para que pudiéramos factorizar (x - 1) de la ecuación completa. Nuestra ecuación reordenada se parece a esto: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, pero sigue siendo lo mismo que x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
A continuación, sustituye por los factores de la expresión libre. Mira los números que factorizamos utilizando el (x - 1) en el paso 5:- x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Podemos arreglar esto para que sea mucho más fácil de factorizar una vez más: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Solo estamos tratando de factorizar (x2 - 3x - 10) aquí. Esto se factoriza en (x + 2)(x - 5).
Tus soluciones serán las raíces factorizadas. Puedes comprobar si las soluciones funcionan realmente conectando cada una, individualmente, en la ecuación original.- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Esto nos da soluciones de 1, -2 y 5.
- Conecta -2 en la ecuación: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Conecta 5 en la ecuación: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
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Consejos
- El polinomio cúbico es un producto de un polinomio de primer grado o el producto de un polinomio de primer grado y de otro polinomio de segundo grado sin factorizar. En este último caso utilizamos la división larga después de encontrar el polinomio de primer grado para obtener el polinomio de segundo grado.
- No hay polinomios cúbicos sin factorizar sobre los números reales porque cada cubo debe tener una raíz real. Los cubos como x^3 + x + 1 que tienen una raíz real irracional no se pueden factorizar en polinomios con coeficientes enteros o racionales. Mientras que puede ser factorizado con la fórmula cúbica, es irreducible como un polinomio entero.[5]
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Referencias
- ↑ http://web.math.ucsb.edu/~vtkala/2016/S/4B/FactoringCubicPolynomials.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-polynomials-2409.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-solving.html
- ↑ https://www.dummies.com/education/math/pre-calculus/factoring-four-or-more-terms-by-grouping/
- ↑ https://kipkis.com/Factor_a_Cubic_Polynomial
Acerca de este How.com.vn
Maestro de física de educación secundaria
Este artículo fue coescrito por Joseph Quinones. Joseph Quinones es un maestro de física de escuela secundaria que trabaja en South Bronx Community Charter High School. Se especializa en astronomía y astrofísica, y le interesa la educación en ciencias y la divulgación científica, actualmente practicando formas de hacer que la física sea accesible a más estudiantes con el objetivo de llevar a más estudiantes de color a los campos STEM. Tiene experiencia trabajando en proyectos de investigación de astrofísica en el Museo de Historia Nacional (AMNH). Joseph obtuvo una licenciatura en física en Lehman College, además de una maestría en educación física en City College of New York (CCNY). También es miembro de una red llamada New York City Men Teach. Este artículo ha sido visto 336 812 veces.
Categorías: Álgebra
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