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이번 글에서는 3차 다항식를 인수분해하는 방법에 대해 배워보겠습니다. 항을 그룹으로 묶는 방법과 대입법을 이용하여 인수분해를 해봅시다.
단계
식을 두 부분으로 그룹지으세요. 각 부분을 따로 공략할 수 있게 됩니다.[1]- 식 x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0 이 있다고 합시다. 이 식을 (x3 + 3x2) 그리고 (- 6x - 18)로 그룹화합시다.
각 항목에 공통항이 있나 찾으세요.- (x3 + 3x2)을 보면, x2항을 공통으로 가지고 있다는 것을 알 수 있습니다.
- (- 6x - 18)을 보면, -6을 공통으로 가지고 있습니다.
두 항에서 이 공통부분을 빼내세요.- 첫 부분에서 x2를 빼내세요, x2(x + 3)이 됩니다.
- 두 번째 부분에서 -6를 빼내세요, -6(x + 3)가 됩니다.
각 부분이 같은 인수를 포함하고 있다면 이 인수를 합칠 수 있습니다.[2]- (x + 3)(x2 - 6)이 됩니다.
근을 보며 해결법을 찾도록 하세요. 근 값이 x2을 포함한다면, 두 음수와 양수가 식을 만족한다는 것을 알아 두세요.[3]- 답은 -3, √6 과 -√6.
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항을 다시 나열하여 이런 형태가 되게 하세요 : ax3+bx2+cx+d.[4]- 이런 식이 있다고 합시다 : x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
여기서 "d"에 해당하는 모든 인수를 구하세요. 상수 "d"는 변수를 포함하지 않은 모든 숫자가 될 겁니다. "x"같은 변수를 옆에 두지 않아요.- 인수란 서로 곱해서 다른 숫자를 만들 수 있는 숫자들을 말합니다. 이 경우, 10의 인수, 또는 "d," 는: 1, 2, 5, 그리고 10 입니다.
식을 0과 같다고 놓고 이를 만족하는 한 인수를 찾으세요. 어떤 인수가 각 "x"를 인수로 바꿨을 때 식을 0으로 만들 수 있는지 찾으세요.- 첫 인수부터 시작하세요, 1. "1"을 "x" 대신에 식에 넣으세요:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0 - 답은 : 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- 0 = 0이 참이므로, x = 1이 맞는 답입니다.
- 첫 인수부터 시작하세요, 1. "1"을 "x" 대신에 식에 넣으세요:
재배열 하세요. 만약 x = 1이라면, 의미를 바꾸지 않고 재배열하여 살짝 다르게 보이게 할 수 있어요.- "x = 1" 는 "x - 1 = 0" 또는 "(x - 1)"입니다. 각 식에서 "1"를 빼도록 만들었습니다.
식에서 근 인자를 빼내도록 하세요. "(x - 1)"이 우리의 근입니다. 식에서 이 항을 빼낼 수 있는지 보도록 하세요. 한 번에 한 항을 시도하세요.- (x - 1)를 x3에서 빼낼 수 있나요? 못합니다. 하지만 두 번째 변수에서 -x2를 빌려올 수 있어요; 그런 뒤 인수분해하세요: x2(x - 1) = x3 - x2.
- 두 번째 변수의 남은 것들에서 (x - 1)를 빼낼 수 있나요? 아닙니다, 할 수 없어요. 세 번째 변수에서 또 빌려와야 합니다. 3x 하나를 -7x에서 빌려옵니다. -3x(x - 1) = -3x2 + 3x가 됩니다.
- -7x에서 3x를 빌려왔으므로, 세 번째 변수는 -10x가 되고 상수는 10가 됩니다. 인수분해가 되나요? 네 가능합니다! -10(x - 1) = -10x + 10.
- 지금 한 것은 변수를 재배열하여 (x-1)을 식에서 빼낸 것입니다. 재배열한 식은 이렇습니다 : x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, 하지만 x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0 과 같은 식입니다.
구한 항을 인수로 대체하는 방법을 계속 사용하세요. 단계5에서 (x-1)을 사용하여 빼낸 숫자들을 보세요:- x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. 인수분해하기 쉽게 또 한 번 재배열할 수 있습니다: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- (x2 - 3x - 10)을 인수분해하려 합니다. 이렇게 인수분해할 수 있어요 (x + 2)(x - 5).
이 해결법은 인수분해된 근이 될 겁니다. 각 항을 원래 식에 끼워 넣어 답이 맞나 확인해볼 수 있어요.- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 의 답은 1, -2, 그리고5입니다.
- -2를 식에 넣어 확인해보세요: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- 5를 식에 넣어 확인해보세요 : (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
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팁
- 3차 다항식은 세 개의 1차 다항식이나 한 1차 다항식과 인수분해 불가능한 2차 다항식의 결과물입니다. 후자의 경우 1차 다항식을 찾아낸 뒤 장제법을 이용하여 2차 다항식을 찾아낼 수 있어요.
- 3차 다항식에서 인수분해가 되지 않는 실수항은 없을 겁니다. 각 식은 실근을 갖기 때문입니다. x^3 + x + 1 과 같은 식은 허근을 가지므로 정수나 실수 계수를 가지는 다항식으로 인수분해할 수 없습니다. 3차식으로 인수분해될 수는 있어도 정수 다항식으로 분해할 수는 없어요.[5]
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출처
- ↑ http://web.math.ucsb.edu/~vtkala/2016/S/4B/FactoringCubicPolynomials.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-polynomials-2409.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-solving.html
- ↑ https://www.dummies.com/education/math/pre-calculus/factoring-four-or-more-terms-by-grouping/
- ↑ https://kipkis.com/Factor_a_Cubic_Polynomial
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