Как разложить многочлен третьей степени на множители

Эта статья посвящена разложению на множители многочлена третьей степени. Мы расскажем, как это сделать с помощью метода группировки и через свободный член.

Часть 1

Часть 1 из 2:

Разложение методом группировки

Загрузить PDF

1
Разбейте многочлен на два составляющих многочлена (на две группы). Разложите многочлен на две группы и работайте с каждой из них отдельно.^{[1]XИсточник информации}
- Например, возьмем многочлен: x³ + 3x² - 6x - 18 = 0. Разобьем его на группы (x³ + 3x²) и (- 6x - 18)
2
Найдите общий множитель в каждой группе.
- Для (x³ + 3x²) общим множителем будет x²
- Для (- 6x - 18) общий множитель -6.
3
Вынесите общие множители за скобки (упрощение).
- Выносим x² за скобки первого двучлена и получаем: x²(x + 3).
- Выносим -6 за скобки второго двучлена и получаем: -6(x + 3).
4
Если в упрощенных группах есть один и тот же многочлен, то можно сложить общие знаменатели и умножить на такой многочлен.^{[2]XИсточник информации}
- В нашем случае получим: (x + 3)(x² - 6).
5
Найдите решение каждого из полученных двучлена (множителя). Если у вас переменная x², то помните, что возможен как положительный, так и отрицательный ответ.^{[3]XИсточник информации}
- В нашем примере x = -3 и x = √6.
Реклама

Часть 2

Часть 2 из 2:

Разложение через свободный член

Загрузить PDF

1
Приведите многочлен к виду: ax³+bx²+cx+d.^{[4]XИсточник информации}
- Для примера будем рассматривать многочлен: x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
2
Найдите все множители «d».Свободный член «d» — член без переменной «x» (член, не содержащий неизвестного).
- Множители — числа, которые при перемножении дают рассматриваемое число. В нашем случае множители 10, или «d»: 1, 2, 5 и 10.
3
Найдите один множитель, который является решением многочлена. То есть нужно выбрать множитель, при котором многочлен равен 0, если этот множитель подставить вместо «x».
- Начнем с 1. Подставляя «1» вместо «x», получим:
  (1)³ - 4(1)² - 7(1) + 10 = 0
- Решение: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Так как 0 = 0, то x = 1 является корнем исходного многочлена.
4
Сделаем упрощение. Если x = 1, то можно упростить исходный многочлен без изменения его значения.
- «x = 1» — это то же самое, что и «x - 1 = 0» или «(x - 1)». Мы просто перенесли 1 в левую часть равенства.
5
Вынесите корень за скобки начального многочлена. «(x - 1)» — это наш корень многочлена. Попытаемся вынести его за скобки. Работайте с каждым членом многочлена отдельно.
- Можно ли вынести (x - 1) из x³? Нет. Но можно взять («занять») -x² из второго члена; и тогда можно вынести наш корень за скобки: x²(x - 1) = x³ - x².
- Можно ли вынести (x - 1) из оставшейся части второго члена? Нет. Для этого необходимо взять что-то из третьего члена. Нужно взять 3x из -7x. Это даст: 3x(x - 1) = -3x² + 3x.
- Так как мы взяли 3x из -7x, то нашим третьим членом будет теперь -10x, а свободным членом 10. Можно вынести корень (х - 1)? Да! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Таким образом, мы переделали члены нашего многочлена для того, чтобы вынести (x - 1) за скобки исходного многочлена. Наш переделанный многочлен выглядит следующим образом: x³ - x² - 3x² + 3x - 10x + 10 = 0, но это то же самое, что и x³ - 4x² - 7x + 10 = 0.
6
Продолжим разлагать многочлены через свободный член. Вынесите (x - 1) из членов, полученных в шаге 5:
- x²(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Этот многочлен можно упростить через вынесение (х - 1) за общие скобки: (x - 1)(x² - 3x - 10) = 0.
- Здесь разложите (x² - 3x - 10). Это приведет к (x + 2)(x - 5).
7
Корнями начального многочлена будут корни его разложенного варианта. Это можно проверить, напрямую подставив каждый корень в исходный многочлен.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Корнями будут: 1, -2, и 5.
- Подставьте -2 в исходный многочлен: (-2)³ - 4(-2)² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Подставьте 5 в исходный многочлен: (5)³ - 4(5)² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Реклама

Советы

Кубический многочлен является произведением трех многочленов первой степени или произведением одного многочлена первой степени и неразлагаемого многочлена второй степени. В последнем случае — после нахождения многочлена первой степени — используется деление для получения многочлена второй степени.
Все кубические многочлены с рациональными действительными корнями можно разложить. Кубические многочлены вида x^3 + x + 1, у которых иррациональные корни, нельзя разложить на многочлены с целыми (рациональными) коэффициентами. Хотя такой многочлен может быть разложен по кубической формуле, он не разлагается как целый многочлен.^{[5]XИсточник информации}