Comment calculer le volume d'une pyramide

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Dans cet article:

Calculer le volume d'une pyramide à base rectangulaire

Calculer le volume d'une pyramide à base triangulaire

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Références

Pour calculer le volume d'une pyramide, il faut se servir de la formule suivante :
$V={\frac {1}{3}}Llh$, dans laquelle $L$ et $l$ sont respectivement la longueur et la largeur de la base, $h$ étant la hauteur de la pyramide. Cette formule peut être simplifié sous la forme : $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$, dans laquelle $A_{b}$ représente l'aire de la base, $h$ restant la hauteur de la pyramide. Cette dernière formule s'applique à toutes les pyramides, que leurs bases soient triangulaires, rectangulaires ou carrées. Seule change la formule de l'aire de la base en fonction de la forme de la base.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:

Calculer le volume d'une pyramide à base rectangulaire

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   Déterminez la longueur et la largeur de la base. Nous prendrons comme exemple une pyramide ayant une base de 4 cm de long sur 3 cm de large. En cas de base carrée, longueur et largeur sont absolument égales. Inscrivez ces mesures.

   • La formule du volume est donc : $V={\frac {1}{3}}Llh$. Récupérez les valeurs de la longueur $L$ et de la largeur $l$ de la base. Ici :
   • $L=4\,{\text{cm}}$
   • $l=3\,{\text{cm}}$
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   Pour obtenir l'aire de la base, multipliez la longueur et la largeur. Dans notre exemple, il suffit de multiplier 3 cm par 4 cm .

   • La formule étant $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$, il convient de remplacer en premier $A_{b}$ par sa valeur. Dans notre exemple, multipliez $L$ par $l$, soit 4 cm par 3 cm.
   • $A_{b}=Ll$
   • $A_{b}=(4\,{\text{cm}})(3\,{\text{cm}})=12\,{\text{cm}}^{2}$
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   Multipliez l'aire de la base par la hauteur. L'aire de la base est donc de 12 cm² et la hauteur est de 4 cm, il suffit alors de multiplier 12 cm² par 4 cm.

   • Reprenons la formule de départ : $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$. Si l'on reprend l'exemple précédent, remplacez $A_{b}$ et $h$ par leurs valeurs, puis faites le calcul.
   • $A_{b}=12\,{\text{cm}}^{2}$
   • $h=4\,{\text{cm}}$
   • $A_{b}h=(12\,{\text{cm}}^{2})(4\,{\text{cm}})=48\,{\text{cm}}^{3}$
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   Multipliez ce résultat par$$ 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} . Cela revient en fait à diviser le résultat obtenu par 3. Comme vous venez de calculer un volume, la réponse sera donnée avec une unité de volume.

   • Repartons de la formule de base : $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$. Dans l'exemple utilisé depuis le début, nous avons précédemment trouvé que $A_{b}h=48\,{\text{cm}}^{3}$. Le calcul terminal est le suivant :
   • $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$
     
     
   • $V=({\frac {1}{3}})(48\,{\text{cm}}^{3})=16\,{\text{cm}}^{3}$
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:

Calculer le volume d'une pyramide à base triangulaire

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   Déterminez la longueur et la largeur de la base. Nous partirons d'une pyramide ayant une base en forme de triangle rectangle (deux des côtés sont à angle droit). Ces côtés sont la longueur $L$ et la largeur $l$ de la base, mais ce sont aussi respectivement la base $b$ et la hauteur $h_{t}$ du triangle. Prenons un triangle de 4 cm de long sur 2 cm de large .

   • Ce qui suit ne fonctionnera pas si votre triangle de base n'est pas rectangle. S'il est isocèle ou quelconque, vous devrez toujours calculer son aire et pour cela, soit vous connaissez les formules soit vous consultez avec profit cet article sur l'aire des triangles.
   • La formule du volume d'une pyramide n'a pas changé : $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$. Pour calculer $A_{b}$, vous avez besoin de connaitre en priorité $L$ et $l$.
   • $L={\text{longueur de la base}}={\text{base du triangle, soit}}\,b=2\,{\text{cm}}$
   • $l={\text{largueur de la base}}={\text{hauteur du triangle, soit}}\,h_{t}=4\,{\text{cm}}$
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   Calculez l'aire de la base ($$ A b {\displaystyle A_{b}} ). Étant un triangle, elle se calcule à l'aide de la formule suivante : $A_{b}={\frac {1}{2}}bh_{t}$.

   • Dans la formule $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$, nous calculons d'abord $A_{b}$, l'aire du triangle de base, ce qui se présente comme suit avec les valeurs de notre exemple :
   • $A_{b}={\frac {1}{2}}bh_{t}$
     
     
   • $A_{b}=({\frac {1}{2}})(2\,{\text{cm}})(4\,{\text{cm}})$
     
     
   • $A_{b}=({\frac {1}{2}})(8\,{\text{cm}}^{2})$
     
     
   • $A_{b}=4\,{\text{cm}}^{2}$
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   Multipliez l'aire de la base par la hauteur de la pyramide. L'aire de la base est de 4 cm² et la hauteur de 5 cm.

   • La formule du volume est toujours la même ($V={\frac {1}{3}}A_{b}h$), et dans l'étape précédente, nous avons établi la valeur de $A_{b}$. Calculons $A_{b}h$ :
   • $A_{b}={\text{aire de la base triangulaire}}=4\,{\text{cm}}^{2}$
   • $h={\text{hauteur de la pyramide}}=5\,{\text{cm}}$
   • $A_{b}h=(4\,{\text{cm}}^{2})(5\,{\text{cm}})=20\,{\text{cm}}^{3}$
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   Multipliez votre résultat par $$ 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} . Cela revient en fait à diviser le résultat obtenu par 3. Ainsi, pour nous résumer, une pyramide dont la hauteur est de 5 cm et qui possède une base triangulaire rectangle, dont deux côtés sont à angle droit et ont pour mesure 2 et 4 cm, cette pyramide a un volume de 6,67 cm³.

   • Souvenez-vous que : $V={\frac {1}{3}}A_{b}h$. L'expression $A_{b}h$ a été calculée précédemment, nous avions trouvé: $A_{b}h=20\,{\text{cm}}^{3}$. Le calcul final est le suivant :
   • $V=({\frac {1}{3}})A_{b}h$
     
     
   • $V=({\frac {1}{3}})(20\,{\text{cm}}^{3})=6,67\,{\text{cm}}^{3}$
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Conseils

• Avec une pyramide à base carrée, la hauteur, la longueur de l'arête, et la longueur du côté de la base sont en lien grâce au théorème de Pythagore :
  (côté de la base ÷ 2)² + (hauteur)² = (hauteur de la face)².
• Avec une pyramide régulière, la longueur de l'arête, la longueur de la hauteur de la face et la longueur de l'arête latérale sont en lien grâce au théorème de Pythagore :
  (côté de la base ÷ 2)² + (hauteur de la face)² = (arête latérale)².
• La méthode que nous venons de voir s'applique à toutes les pyramides, quelle que soit la forme de la base (hexagone, pentagone…). La démarche est toujours la même : vous calculez d'abord l'aire ($A$) de la base, vous cherchez ensuite la hauteur ($h$) qui va du sommet au centre de la base, vous poursuivez en multipliant $A$ par $h$ et enfin, vous divisez le résultat obtenu par 3.

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Avertissements

• En fait, une pyramide a trois hauteurs. La seule qui puisse être appelée ainsi est la mesure qui va du sommet au centre de la base. Il existe aussi les hauteurs des faces qui se prennent toujours depuis le sommet et vont sur le milieu d'un des côtés. Enfin, peuvent être considérées comme des hauteurs, ces mesures qui vont du sommet vers les sommets de la base, ce sont les arêtes latérales. Pour le calcul du volume, seule compte la hauteur, la première évoquée ici.

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