三角錐と四角錘の体積を求める方法

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四角錐の体積を求める

三角錐の体積を求める

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三角錐や四角錐の体積を求める公式は、${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）で、これは${\frac {1}{3}}$×（底面の縦）×（底面の横）×（高さ）とも表せます。体積を求める方法は、三角錐と四角錐で少し異なります。次の手順に従って体積を求めてみましょう。

ステップ

方法 1

方法 1 の 2:

四角錐の体積を求める

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   底面の縦と横の値を見つけましょう。ここでは、底面の縦が4㎝、横が3㎝とします。底面が正方形の場合でも体積の求め方は同じですが、底面の縦と横は同じ値になります。これらの値を書き留めましょう。

   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）＝${\frac {1}{3}}$×（底面の縦）×（底面の横）×（高さ）なので、初めに底面の縦と横の値を見つける必要があります。
   • 底面の縦＝4㎝
   • 底面の横＝3㎝
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   底面の縦と横を掛けて底面積を求めましょう。底面積を求めるには、4㎝と3㎝を掛けます。

   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）なので、底面積を求める必要があります。次の式に縦4㎝と横3㎝を代入して求めましょう。
   • 底面積＝（底面の縦）×（底面の横）
   • 底面積＝4㎝×3㎝＝12㎝²
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   底面積と高さを掛けましょう。底面積は12㎝²、高さは4㎝なので、12㎝²×4㎝を計算します。

   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）なので、（底面積）×（高さ）を計算します。前の手順で求めた底面積を使いましょう。
   • 底面積＝12㎝²
   • 高さ＝4㎝
   • （底面積）×（高さ）＝12㎝²×4㎝＝48㎝²
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   この値に$$ 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} を掛けます。言い換えれば、この値を3で割りましょう。体積を求めるので、答えの単位には必ず立方センチメートルを使います。

   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）＝${\frac {1}{3}}$×（底面の縦）×（底面の横）×（高さ）に前の手順で求めた（底面積）×（高さ）＝48㎝³を代入します。
   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）
   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×48㎝² ＝16㎝³
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方法 2

方法 2 の 2:

三角錐の体積を求める

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   底面の縦と横の値を見つけます。この方法で底面の面積を求めるには、縦と横が直角に交わっている必要があります。この縦と横は、三角形の底辺と高さと考えても良いでしょう。ここでは、底面の縦2㎝、横4㎝とします。

   • 縦と横が直角に交わっておらず三角形の高さがわからない場合は、別の方法で三角形の面積を計算することができます。
   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）＝${\frac {1}{3}}$×（底面の縦）×（底面の横）×（高さ）なので初めに底面の縦と横の値を見つける必要があります。
   • 底面の縦＝三角形の底辺＝2㎝
   • 底面の横＝三角形の高さ＝4㎝
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   底面積を求めましょう。底面積を求めるには、三角形の面積＝${\frac {1}{2}}$×（底辺）×（高さ）に三角形の底辺と高さを代入します。

   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）＝${\frac {1}{3}}$×（底面の縦）×（底面の横）×（高さ）なので、初めに底面積を求める必要があります。前の手順で見つけた三角形の底辺と高さを使いましょう。
   • 三角形の面積＝${\frac {1}{2}}$×（底辺）×（高さ）
   • 三角形の面積＝${\frac {1}{2}}$×2㎝×4㎝
   • 三角形の面積＝${\frac {1}{2}}$×8㎝²
   • 三角形の面積＝4㎝²
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   底面の面積に三角錐の高さを掛けましょう。底面の面積は4㎝²、三角錐の高さは5㎝とします。

   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）なので、（底面積）×（高さ）を計算します。前の手順で求めた底面積を使いましょう。
   • 底面の三角形の面積＝ 4㎝²
   • 三角錐の高さ＝5㎝
   • （底面積）×（高さ）＝4㎝²×5㎝＝20㎝³
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   この値に$$ 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} を掛けます。言い換えれば、この値を3で割りましょう。こうすると、高さ5㎝、底面の三角形の底辺4㎝、高さ2㎝の三角錐の体積は、6.67㎝³になります。

   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）＝${\frac {1}{3}}$×（底面の縦）×（底面の横）×（高さ）に、前の手順で求めた（底面積）×（高さ）＝20㎝³ を代入しましょう
   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×（底面積）×（高さ）
   • 体積＝${\frac {1}{3}}$×20㎝³＝6.67㎝³
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ポイント

• 五角錐や六角錘などの体積を求める場合も、この方法を応用できます。全体的な手順は、底面の面積を求め、頂点から底面中心までの高さを求め、底面の面積と高さをかけて3で割ります。
• 四角錐において、高さ、側面の三角形の高さ、底面の1辺の長さの関係は三平方の定理で次のように表せます。（底面の1辺の長さ÷2）²＋（四角錐の高さ）²＝（側面の三角形の高さ）²
• すべての正角錐において、側面の三角形の高さ、側面の三角形の1辺の長さ、底面の1辺の長さの関係は三平方の定理で次のように表せます。（底面の1辺の長さ÷2）＋（側面の三角形の高さ）²＝（側面の三角形の1辺の長さ）²

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注意事項

• 角錐には、側面の三角形の高さ、側面の三角形の1辺の長さ、頂点と底面の中心を垂直に結ぶ線の長さという3種類の高さがありますが、体積を求めるには 頂点と底面の中心を垂直に結ぶ線の長さを高さとして考える必要があります。

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