각뿔의 부피 구하기

각뿔의 부피를 구하기 위해서는 각뿔의 높이와 밑변의 넓이를 곱한 결과 값에 1/3을 추가로 곱하기만 하면 된다. 물론 이 과정은 각뿔의 밑면이 삼각형이냐, 사각형이냐에 따라 달라지겠지만 전체적인 식은 변하지 않는다. 이 글을 통해 삼각뿔과 사각뿔의 부피를 구하는 방법을 배워보자.

방법 1

방법 1 의 2:

사각뿔의 부피 구하기

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예를 들기 위해 우리에게 주어진 사각뿔 밑면의 가로가 4cm, 세로가 3cm라고 가정하자. 만약 사각뿔의 밑면이 정사각형이라면 부피를 구하는 방법은 똑같고, 밑면의 가로와 세로가 같다는 점만 다를 것이다. 위 그림처럼 가로 세로 길이와 함께 단위도 쓰도록 한다.
여기서는 3cm와 4cm를 곱하기만 하면 된다. 3 cm x 4 cm = 12 cm²^{[1]X출처 검색하기}
밑면의 넓이는 위에서 구한 것처럼 12 cm²이다. 그리고 사각뿔의 높이는 자로 쟀을 때 4 cm가 나온다. 따라서 12 cm²를 4 cm에 곱하면 될 것이다. 즉, 12 cm² x 4 cm = 48 cm³가 된다.
3으로 나누는 대신 1/3을 곱해도 된다. 계산해보면 48 cm³/3 = 16 cm³이 된다. 따라서 4cm의 높이를 가지고 밑면의 가로 세로 길이가 각각 3cm, 4cm인 사각뿔의 부피는 16 cm³가 된다. 답의 단위를 세제곱으로 쓰는 것을 잊지 말자. 3차원 도형을 다룰 때는 단위가 세제곱이 된다.
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방법 2

방법 2 의 2:

삼각뿔의 부피 구하기

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밑면 삼각형의 밑변과 높이 길이 구하기. 각뿔의 부피 공식을 적용시키기 위해서는 삼각뿔의 밑면 삼각형의 가로와 세로가 반드시 직각을 이룰 필요가 있다. 삼각형 자체만을 놓고 보면 밑변과 높이를 구하는 셈이다. 여기서는 위 그림을 예로 들어 주어진 삼각뿔의 밑면 삼각형의 밑변이 2cm, 높이가 4cm라고 가정할 것이다. 다시 말하지만 단위를 쓰는 것을 잊지 않도록 하자.^{[2]X출처 검색하기}
- 만약 삼각형의 밑변과 높이가 직각이 아니라면 삼각형의 넓이를 구할 수 없을 것이다. 그럴때는 다른 방법을 동원해 삼각형의 넓이를 구하도록 하자.
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밑면 삼각형의 넓이 구하기. 삼각형의 넓이를 구하려면 밑변과 높이를 구해 반으로 나누면 된다. 다음 공식을 보자. A = 1/2(b)(h). b는 아랫면, h는 높이를 의미한다.
- A = 1/2(b)(h)
- A = 1/2(2)(4)
- A = 1/2(8)
- A = 4 cm²
아랫면의 넓이가 4 cm²이고 삼각뿔의 높이가 5 cm이므로 다음처럼 식을 쓸 수 있을 것이다. 4 cm² x 5 cm = 20 cm³.
위에서 구한 값을 3으로 나눠보자. 20 cm³/3 = 6.67 cm³가 나온다. 따라서 높이가 5cm, 밑면 삼각형의 밑변이 2cm 높이가 4cm인 삼각뿔의 부피는 6.67 cm³이다.
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팁

사각뿔에서 높이와 빗변의 길이, 아랫면의 중심까지의 대각선 길이는 피타고라스 정리를 따른다: (아랫면 중심까지의 대각선 길이÷ 2)² + (사각뿔의 높이)² = (빗면의 길이)²
이 글에서 설명한 방법은 오각뿔, 육각뿔로 확장시켜도 무방하다. 결국 어떤 각뿔의 부피를 구하는 방법은 다음과 같다. 가) 아랫면의 넓이를 구한다; 나) 각뿔의 높이를 구한다; 다) 가와 나를 곱한다; 라) 곱한 값을 3으로 나눈다.
모든 일반적인 각뿔에서는, 각뿔의 빗변의 길이, 높이, 밑변의 대각선 길이의 절반이 피타고라스 정리를 따른다: (밑변의 대각선 길이의 절반 ÷ 2)² + (빗변의 길이)² = (각뿔의 높이)²

경고

각뿔은 세 종류의 길이를 지닌다. 각뿔의 꼭지점으로부터 아랫면의 꼭지점까지 이어지는 빗면의 길이; 각뿔의 꼭지점으로부터 아랫면과 직각을 이루는 선분을 그었을 때의 길이, 그리고 각뿔 아랫면의 대각선 길이의 절반. 그리고 마지막으로 강조하자면 부피를 구할 때는 단위를 세제곱으로 쓰는 것을 잊지 말자.