Comment calculer des nombres élevés à un exposant décimal

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Élever un nombre à une puissance décimale

Résoudre un problème de puissance décimale

Comprendre les puissances d'un nombre

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Références

En mathématiques, l'élévation d'une valeur à telle ou telle puissance est extrêmement fréquente. Les exposants sont le plus souvent des nombres entiers, parfois des fractions, plus rarement des nombres décimaux. Si le cas se présentait, vous devriez d'abord à convertir l'exposant décimal en une fraction. Par la suite, selon les cas, vous devriez appliquer telle ou telle règle concernant l'élévation à une puissance.

Étapes

Partie 1

Partie 1 sur 3:

Élever un nombre à une puissance décimale

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   Transformez le nombre décimal en une fraction. Pour convertir une valeur décimale en fraction, vous devez prendre en compte le nombre de décimales et surtout le rang de la dernière décimale, lequel sera le dénominateur de la fraction .

   • Prenons comme exemple l'expression $81^{0,75}$. Le but est donc de convertir $0,75$ en une fraction. Ce chiffre étant composé de deux décimales (centièmes), vous pouvez l'écrire sous la forme : ${\frac {75}{100}}$.
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   Si c'est possible, simplifiez la fraction. Comme vous allez, plus tard, devoir prendre la racine nième de la fraction, le plus pratique est de réduire la fraction à sa plus simple expression. Il est inutile de trouver un nombre mixte, si la valeur de la fraction est supérieure à 1, gardez-la sous la forme d'une fraction impropre.

   • Nous avions précédemment la fraction ${\frac {75}{100}}$. Elle peut être simplifiée sous la forme : ${\frac {3}{4}}$. Pour résumer, $81^{0,75}=81^{\frac {3}{4}}$.
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   Transformez cet exposant-fraction en un produit. Pour cela, gardez le dénominateur tel quel, remplacez le numérateur en place par 1, puis multipliez cette nouvelle fraction, ramenée à l'unité, par le facteur adéquat.

   • Dans notre exemple, nous pouvons écrire que : ${\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\times 3$. L'expression de départ s'écrit alors : $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$.
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   Récrivez l'expression avec un double exposant. Une puissance qui s'écrit sous la forme d'un produit peut être remplacée par la puissance d'une puissance. C'est ainsi que $x^{{\frac {1}{b}}\times a}$ peut également s'écrire $(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ .

   • C'est ainsi que : $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$.
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   Récrivez l'expression sous forme de racine nième. Une valeur élevée à un exposant fractionnaire revient à prendre la racine nième de cette valeur. Il suffit donc de récrire la valeur de départ et d'en prendre la racine dont l'indice est la valeur du dénominateur.

   • Vous avez donc : $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}$ et l'expression départ devient : $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$ .
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   Calculez en priorité la racine. L'indice de la racine, petit nombre en haut et à gauche de la racine, est là pour vous rappeler la nature de la racine. Si l'indice est élevé, la seule façon de faire est d'utiliser la fonction ${\sqrt[{x}]{y}}$ qu'on trouve sur toutes les calculatrices scientifiques.

   • Pour connaitre la valeur de ${\sqrt[{4}]{81}}$, vous devez trouver la valeur qui, multipliée quatre fois par elle-même, donne 81. La solution est 3, car $3\times 3\times 3\times 3=81$. Ainsi donc, ${\sqrt[{4}]{81}}=3$. Votre expression de départ devient plus simple et se résume à : $3^{3}$.
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   Faites l'élévation à la puissance indiquée. À ce stade, vous avez un nombre avec une puissance qui est un nombre entier, le calcul est donc simple. Si les valeurs sont élevées, servez-vous d'une calculatrice.

   • Dans notre exemple, vous devez calculer : $3^{3}=3\times 3\times 3=27$. La réponse au problème est : $81^{0,75}=27$.
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Partie 2

Partie 2 sur 3:

Résoudre un problème de puissance décimale

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   Prenons un exemple concret. Trouvez la valeur de $256^{2,25}$.
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   Transformez le nombre décimal en une fraction. $2,25$ étant bien plus grand que 1, la fraction sera un nombre mixte (un nombre entier suivi d'une valeur fractionnaire).

   • La partie décimale $0,25$ peut s'écrire ainsi : ${\frac {25}{100}}$, si bien que la fraction devient $2,25=2{\frac {25}{100}}$.
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   Simplifiez, si possible, la fraction. Cela fait, vous devrez transformer le résultat en une fraction impropre (numérateur > dénominateur).

   • La fraction ${\frac {25}{100}}$ peut être simplifiée en ${\frac {1}{4}}$, si bien que la fraction devient $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$.
   • Convertissez ce résultat en une fraction impropre. Ramenez tout sur 4, ce qui donne : ${\frac {9}{4}}$. L’égalité est alors : $256^{2,25}=256^{\frac {9}{4}}$.
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   Transformez cet exposant-fraction en un produit. Écrivez l'équivalence suivante : ${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9$, L'expression de départ peut alors se présenter sous la forme : $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$.
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   Récrivez l'expression avec un double exposant. Écrivez l'équivalence suivante : $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$.
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   Récrivez l'expression sous forme de racine nième. Comme $256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$, l'expression de départ se présente ainsi : $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$.
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   Calculez en priorité la racine. À l'aide d'une calculatrice, vous trouverez que :${\sqrt[{4}]{256}}=4$. L'expression de départ se présente ainsi : $(4)^{9}$.
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   Faites l'élévation à la puissance indiquée. Tout simplement, vous avez $(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262\ 144$. La réponse au problème est : $256^{2,25}=262\ 144$.
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Partie 3

Partie 3 sur 3:

Comprendre les puissances d'un nombre

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   Sachez reconnaitre une valeur élevée à une puissance. Cette dernière est composée d'une base (la valeur) et d'un exposant. La base est le nombre écrit en gros dans l'expression, tandis que la puissance est toujours indiquée par un petit nombre, en haut et à droite de la base .

   • À titre d'exemple, dans $3^{4}$, $3$ est la base, tandis que $4$ est l'exposant.
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   Comprenez les deux éléments d'une valeur élevée à une puissance. La base est le nombre qui va être multiplié par lui-même autant de fois que l'indique l'exposant. Le danger réside peut-être dans le fait qu'il ne faut pas inverser les deux .

   • À titre d'exemple, $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$.
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   Sachez repérer un exposant rationnel ou fractionnaire. L'exposant en question se présente sous la forme d'une fraction tout ce qu'il y a de classique .

   • $4^{\frac {1}{2}}$ est une valeur avec une puissance fractionnaire.
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   Comprenez bien la relation entre racine et puissance rationnelle. Élever un nombre à la puissance ${\frac {1}{2}}$ équivaut à en prendre la racine carrée, ce qui nous permet d'écrire : $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$. Cela vaut pour tous les exposants fractionnaires, ce qui change, c'est le quantième de la racine qui est alors le dénominateur. C'est ainsi que  :

   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$
   • ici, $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$. Si vous savez que $3\times 3\times 3\times 3=81$, alors vous savez que 3 est la racine quatrième de 81.
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   Comprenez bien ce qu’est la puissance d'une puissance. Il est une propriété essentielle des puissances qui établit que : $(x^{a})^{b}=x^{ab}$. Dit autrement, élever une valeur, déjà à une puissance, à une nouvelle puissance revient en fait à élever la valeur de départ au produit des deux puissances .

   • C'est grâce à cette propriété, qui marche aussi avec les exposants fractionnaires, que vous pouvez écrire que : $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$, puisque ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$ .
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