Potenzen mit Dezimalzahlen lösen

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In diesem Artikel:

Eine Potenz mit Dezimalzahl berechnen

Eine Beispielaufgabe lösen

Exponenten verstehen

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Literaturhinweise

Potenzen berechnen ist eine wichtige Fertigkeit, die Schüler im Vorfeld der Algebra lernen. Normalerweise sieht man ganze Zahlen als Exponenten und manchmal sieht man Brüche. Selten sieht man sie als Dezimalzahlen. Wenn du einen solchen Exponenten hast, musst du die Dezimalzahl in einen Bruch umrechnen. Dann gibt es eine Reihe von Regeln und Gesetzen in Bezug auf Exponenten, die du verwenden kannst, um den Ausdruck zu berechnen.

Vorgehensweise

Teil 1

Teil 1 von 3:

Eine Potenz mit Dezimalzahl berechnen

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   Rechne die Dezimalzahl in einen Bruch um. Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzurechnen, bedenkst du den Stellenwert. Der Nenner des Bruches wird der Stellenwert sein. Die Ziffern der Dezimalzahl werden dem Zähler entsprechen.

   • Bei der Potenz $81^{0,75}$ musst du $0,75$ in einen Bruch umwandeln. Da die Dezimalzahl an der Hunderterstelle steht, ist der entsprechende Bruch ${\frac {75}{100}}$.
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   Vereinfache den Bruch, wenn möglich. Da du die Wurzel in Bezug auf den Nenner des Bruches im Exponenten ziehen wirst, soll der Nenner so klein wie möglich sein. Das machst du, indem du den Bruch vereinfachst. Wenn dein Bruch eine gemischte Zahl ist (das heißt wenn dein Exponent eine Dezimalzahl größer als 1 war), schreibst du sie zu einem unechten Bruch um.

   • Der Bruch ${\frac {75}{100}}$ zum Beispiel wird zu ${\frac {3}{4}}$ reduziert, also ist $81^{0,75}=81^{\frac {3}{4}}$
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   Schreibe den Exponenten als Ausdruck mit Multiplikation um. Dazu verwandelst du den Zähler in eine ganze Zahl und multiplizierst ihn mit dem Stammbruch. Der Stammbruch ist der Bruch mit demselben Nenner, aber mit 1 als Zähler.

   • Da ${\frac {3}{4}}zumBeispiel={\frac {1}{4}}\times 3$, kannst du die Potenz zu $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$ umschreiben.
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   Schreibe den Exponenten als Potenz einer Potenz um. Denke daran, dass zwei Exponenten zu multiplizieren wie die Potenz zur Potenz zu nehmen ist. Also wird aus $x^{\frac {1}{b}}\times a$ der Ausdruck $(x^{\frac {1}{b}})^{a}$.

   • Zum Beispiel $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$.
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   Schreibe die Basis als Wurzelausdruck auf. Eine Zahl mit einem rationalen Exponenten zu berechnen ist das Gleiche, wie die dazugehörige Wurzel der Zahl zu ziehen. Schreibe die Basis und ihren ersten Exponenten als Wurzelausdruck.

   • Da zum Beispiel $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}$, kannst du diesen Ausdruck zu $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$ umschreiben.
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   Berechne den Wurzelausdruck. Denke daran, dass der Radikand (die kleine Zahl neben dem Wurzelzeichen) dir sagt, welche Wurzel du ziehen sollst. Wenn die Zahlen unhandlich sind, ist die beste Art, das du zu machen, die Funktion ${\sqrt[{x}]{y}}$ auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner zu verwenden.

   • Um zum Beispiel ${\sqrt[{4}]{81}}$ zu berechnen, musst du bestimmen, welche Zahl mit 4 multipliziert 81 ergibt. Da $3\times 3\times 3\times 3=81$, weißt du, dass ${\sqrt[{4}]{81}}=3$. Der Exponentialausdruck wird also $3^{3}$.
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   Berechne den übrigen Exponenten. Du solltest nun eine ganze Zahl als Exponenten haben, die Berechnung sollte also unkompliziert sein. Du kannst immer einen Taschenrechner verwenden, wenn die Zahlen zu groß sind.

   • Zum Beispiel $3^{3}=3\times 3\times 3=27$. Also ist $81^{0,75}=27$.
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Teil 2

Teil 2 von 3:

Eine Beispielaufgabe lösen

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   Berechne den folgenden Exponentialausdruck: $256^{2,25}$.
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   Rechne die Dezimalzahl in einen Bruch um. Da $2,25$ größer ist als 1, wird der Bruch eine gemischte Zahl sein.

   • Die Dezimalzahl $0,25$ ist gleich ${\frac {25}{100}}$, also ist $2,25=2{\frac {25}{100}}$.
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   Vereinfache den Bruch, wenn möglich. Du solltest auch alle gemischten Zahlen zu unechten Brüchen umwandeln.

   • Da ${\frac {25}{100}}$ sich zu ${\frac {1}{4}}$ kürzen lässt, ist $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$.
   • In einen unechten Bruch umgewandelt hast du ${\frac {9}{4}}$. Schreibe also $256^{2,25}=256^{\frac {9}{4}}$.
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   Schreibe den Exponenten in einen Multiplikationsausdruck um. Da ${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9$, kannst du den Ausdruck umschreiben zu $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$.
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   Schreibe den Exponenten als Potenz einer Potenz auf. Also ist $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$.
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   Schreibe die Basis als Wurzelausdruck auf. $256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$, also kannst du den Ausdruck zu $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$ um.
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   Berechne den Wurzelausdruck. ${\sqrt[{4}]{256}}=4$. Der Ausdruck ist jetzt also $(4)^{9}$.
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   Berechne den verbleibenden Exponenten. $(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262.144$. Folglich ist $256^{2,25}=262.144$.
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Teil 3

Teil 3 von 3:

Exponenten verstehen

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   Erkenne eine Potenz. Eine Potenz hat einen Basis und einen Exponenten. Die Basis ist die große Zahl in der Potenz. Der Exponent ist die kleinere Zahl.

   • In dem Ausdruck $3^{4}$ zum Beispiel ist $3$ die Basis und $4$ ist der Exponent.
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   Bestimme die Teile einer Potenz. Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird. Der Exponent sagt dir, wie oft die Basis multipliziert wird.

   • Zum Beispiel ist $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$.
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   Erkenne einen rationalen Exponenten. Eine rationale Zahl wird auch Bruchzahl genannt. In diesem Fall hat der Exponent also die Form eines Bruches.

   • Zum Beispiel $4^{\frac {1}{2}}$.
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   Verstehe die Beziehung zwischen Wurzeln und rationalen Exponenten. Eine Zahl zur ${\frac {1}{2}}$ Potenz zu nehmen ist wie die Quadratwurzel der Zahl zu ziehen. Also ist $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$. Dasselbe gilt für andere Wurzeln und Exponenten. Der Nenner des Exponenten sagt dir, welche Wurzel du ziehen musst.

   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$
   • Zum Beispiel ist $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$. Du weißt, dass 3 die vierte Wurzel von 81 ist, denn $3\times 3\times 3\times 3=81$
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   Verstehe das Gesetz zum Potenzieren von Potenzen. Dieses Gesetz besagt, dass $(x^{a})^{b}=x^{ab}$. In anderen Worten ist einen Exponenten in eine andere Potenz zu setzen dasselbe, wie zwei Exponenten zu multiplizieren.

   • Wenn man mit rationalen Exponenten arbeitet, sieht dieses Gesetz so aus $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$, denn ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$.
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