Como Resolver Potências com Expoentes Decimais

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Neste Artigo:

Calculando uma potência decimal

Resolvendo um exercício de fixação

Entendendo as potências

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Referências

Calcular potências é uma habilidade básica que os estudantes aprendem na Pré-Álgebra. Geralmente, você as vê como números inteiros e, em alguns casos, como frações. Muito raramente, no entanto, elas estarão escritas em formato decimal. Nesses casos, é necessário converter o valor em fração e, com a ajuda de alguma das diversas regras e leis relativas às potências, será finalmente possível calcular a expressão analisada.

Passos

Método 1

Método 1 de 3:

Calculando uma potência decimal

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   Converta o decimal em fração. Para isso, observe o posicionamento da vírgula. O denominador da fração estará no valor inteiro, enquanto os dígitos representarão o numerador.

   • Por exemplo, no caso da expressão exponencial $81^{0,75}$, é preciso converter $0,75$ em fração. Como o decimal chega à casa das centenas, a fração correspondente será ${\frac {75}{100}}$.
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   Simplifique-a, se possível. Como se tomará uma raiz correspondendo ao denominador da fração do expoente, é importante que o denominador seja tão pequeno quanto possível. Para isso, simplifique a fração. Se ela for um número misto (potência com decimal maior que $1$), reescreva-a como fração imprópria.

   • Exemplo: a fração ${\frac {75}{100}}$ é reduzida a ${\frac {3}{4}}$, de modo que $81^{0,75}=81^{\frac {3}{4}}$
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   Reescreva a potência como uma expressão de multiplicação. Para isso, transforme o numerador em um número inteiro e multiplique-o pela fração unitária. Essa é a fração de mesmo denominador, mas tendo $1$ como numerador.

   • Exemplo: uma vez que ${\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\times 3$, você pode reescrever a expressão exponencial como $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$
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   Reescreva o expoente como potência de uma potência. Lembre-se de que multiplicar dois expoentes é como elevar uma potência a outra. Desse modo, $x^{\frac {1}{b}}\times a$ se torna $(x^{\frac {1}{b}})^{a}$

   • Exemplo: $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$
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   Reescreva a base em forma de expressão radical. Extrair um número por seu expoente racional é o mesmo que tirar sua raiz. Desse modo, reescreva a base e a primeira potência em forma de expressão radical.

   • Exemplo: uma vez que $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}$, é possível reescrever a expressão como $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$
6. 
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   Calcule a expressão radical. Lembre-se de que o índice (pequeno número fora do radical) indica qual raiz deve ser observada. Se os valores forem difíceis de trabalhar, a melhor forma de seguir é através da função ${\sqrt[{x}]{y}}$ presente em uma calculadora científica.

   • Exemplo: para calcular ${\sqrt[{4}]{81}}$, você deve determinar qual número multiplicado quatro vezes será igual a $81$. Uma vez que $3\times 3\times 3\times 3=81$, você consegue determinar que ${\sqrt[{4}]{81}}=3$. Por isso, a expressão exponencial se transforma em $3^{3}$.
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   Calcule a potência remanescente. Você agora terá um número inteiro como potência, de modo que o cálculo será bastante direto. É sempre possível usar uma calculadora quando os números ficarem grandes demais.

   • Exemplo: $3^{3}=3\times 3\times 3=27$ — desse modo, $81^{0,75}=27$
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Método 2

Método 2 de 3:

Resolvendo um exercício de fixação

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   1
   Calcule a seguinte expressão exponencial: $256^{2,25}$
2. 
   2
   Converta o decimal em fração. Uma vez que $2,25$ é maior que $1$, a fração será um número misto.

   • O número decimal $0,25$ equivale a ${\frac {25}{100}}$, de modo que $2,25=2{\frac {25}{100}}$
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   3
   Se possível, simplifique a fração. Você deve ainda converter quaisquer números mistos em frações impróprias.

   • Como ${\frac {25}{100}}$ se reduz a ${\frac {1}{4}}$, é possível determinar que $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$
   • Efetuando a conversão em fração imprópria, você terá ${\frac {9}{4}}$. Desse modo, $256^{2,25}=256^{\frac {9}{4}}$
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   4
   Reescreva a potência em forma de multiplicação. Uma vez que ${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9$, é possível reescrever a expressão como $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$
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   5
   Reescreva o expoente como potência de uma potência. Assim, $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$
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   Reescreva a base em formato de radical. $256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$, sendo possível colocar a expressão como $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$
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   Calcule a expressão radical. Sendo ${\sqrt[{4}]{256}}$, ela será agora expressa como $(4)^{9}$.
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   8
   Calcule a potência restante. Se $(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262.144$, $256^{2,25}=262.144$
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Método 3

Método 3 de 3:

Entendendo as potências

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   Reconheça uma expressão exponencial. Ela será composta por uma base (o número maior) e uma potência (o número menor).

   • Exemplo: na expressão $3^{4}$, $3$ é a base e $4$ é a potência.
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   Identifique as partes de uma expressão exponencial. A base é o número sendo multiplicado. A potência, por sua vez, indica quantas vezes ele foi usado como fator na expressão.

   • Exemplo: ${\begin{aligned}3^{4}&=3\times 3\times 3\times 3\\&=81\end{aligned}}$
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   Identifique um expoente racional. Ele também pode ser chamado de expoente fracional, sendo uma potência em forma de fração.

   • Exemplo: $4^{\frac {1}{2}}$
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   Entenda a relação entre radicais e expoentes racionais. Elevar um número à potência ${\frac {1}{2}}$ é como extrair a raiz quadrada do mesmo valor. Por isso, $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$ — o mesmo vale para outras raízes e potências. O denominador do expoente, por sua vez, indicará qual raiz deve ser tomada:

   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$
     • Exemplo: $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$ — você sabe que $3$ é a quarta raiz de $81$, uma vez que $3\times 3\times 3\times 3=81$
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   Entenda a lei da potência de potência. Ela afirma que $(x^{a})^{b}=x^{ab}$. Em outras palavras, elevar uma potência a outra equivale a multiplicá-las entre si.

   • Ao trabalhar com potências racionais, a lei fica escrita em formato $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$, uma vez que ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$
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