कैसे डेसिमल एक्सपोनेंट को हल करें (Solve Decimal Exponents)

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इस आर्टिकल में:

डेसिमल एक्सपोनेंट को कैलकुलेट करना

सैम्पल के तौर पर दिए गए उदाहरण को हल करना

एक्सपोनेंट को समझना

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स्रोत और उद्धरण

एक्सपोनेंट अर्थात घातांक को कैलकुलेट करना यह एक बेसिक स्किल है जिसे स्टुड़ेंन्ट्स अलजेब्रा सीखने से पहले ही सीख लेते हैं। आम तौर पर पाया जाता है कि एक्सपोनेंट्स या घातांक एक पूर्णांक संख्या होती है, लेकिन कभी-कभी यह फ्रैक्शन में भी होते हैं। और कभी-कभार ही घातांक डेसिमल यानि दशमलव के रूप में मौजूद होते हैं। यदि उदाहरण में घातांक (exponents) दशमलव में दिया गया है, तो सर्वप्रथम आपको उसे फ्रैक्शन में बदलने की आवश्यकता होती है। फिर, घातांक से संबंधित कई नियमों और सिद्धांतों का इस्तेमाल करके आप उदाहरण को हल कर सकते हैं।

चरण

विधि 1

विधि 1 का 3:

डेसिमल एक्सपोनेंट को कैलकुलेट करना

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   डेसिमल संख्या को फ्रैक्शन में कन्वर्ट करें: डेसिमल संख्या को फ्रैक्शन में कन्वर्ट करने के लिए, स्थानिक मान या प्लेस वैल्यू (place value) पर गौर करें। प्लेस वैल्यू ही फ्रैक्शन का हर (denominator) है। और दशमलव या डेसिमल संख्या में मौजूद अंक ही फ्रैक्शन का अंश (numerator) है।

   • उदाहरण के लिए, एक्सपोनेंशियल एक्सप्रेशन $81^{0.75}$ में, आपको दशमलव संख्या $0.75$ को फ्रैक्शन या भिन्न में बदलने की आवश्यकता होगी। चूंकि डेसिमल पॉइंट के दाहिनी तरफ 2 अंक है, हर की वैल्यू 100 होगी, और अनुरूप फ्रैक्शन ${\frac {75}{100}}$ है।
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   यदि संभव है, तो फ्रैक्शन को हल करें: चूंकि घातांक के फ्रैक्शन में मौजूद हर से ही मूल (root) निकालना होता है, आपको हर में मौजूद संख्या को जितना हो सके उतना छोटा रखने की यानि फ्रैक्शन को सरल रूप में लिखने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, फ्रैक्शन को सरल करें । यदि उदाहरण में दिया गया भिन्न यह एक मिश्र भिन्न है (अर्थात ऐसी संख्या जिसमें दशमलव संख्या 1 से बड़ी है), तो भिन्न को विषम भिन्न में लिखें।

   • उदाहरण के लिए, फ्रैक्शन या भिन्न ${\frac {75}{100}}$ को सरल रूप में लिखने पर आपको ${\frac {3}{4}}$ मिलेगा। इसलिए, अब आपका उदाहरण $81^{0.75}=81^{\frac {3}{4}}$ इस प्रकार है।
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   दिए गए उदाहरण में मौजूद घातांक को मल्टिप्लिकेशन के फॉर्म में लिखें: ऐसा करने के लिए, अंश को पूर्णांक की तरह लिखें और उसे यूनिट फ्रैक्शन से गुणा करें। यूनिट फ्रैक्शन में मौजूद हर और ओरिजनल फ्रैक्शन का हर एक समान होता है और अंश में संख्या 1 होती है।

   • उदाहरण के लिए, ${\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\times 3$। अब आप दिए गए उदाहरण को $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$ इस तरह दोबारा लिख सकते हैं।
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   एक्सपोनेंट को पॉवर ऑफ पॉवर के फॉर्म में लिखें: याद रखें दो एक्सपोनेंट या घातांक को गुणा करना अर्थात घात का घात लेना या पॉवर ऑफ पॉवर निकालना है। इसलिए, $x^{\frac {1}{b}}\times a$ बन जाएगा $(x^{\frac {1}{b}})^{a}$।

   • यहाँ दिए गए उदाहरण में, $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$ है।
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   बेस को रैडिकल (radical) के रूप में लिखें: परिमेय संख्या या फ्रैक्शन से हर को अलग करना अर्थात उसे रैडिकल का उपयुक्त मूल (root) बनाना है। इसलिए, बेस और उसके पहले घातांक को रैडिकल फॉर्म में लिखें।

   • यहाँ दिए गए उदाहरण के लिए, $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}$। आप उदाहरण को $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$ इस तरह रीराइट कर सकते हैं।
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   रैडिकल या करणी को हल करें: याद रखें कि इन्डेक्स (अर्थात छोटी संख्या जो रैडिकल साइन में लिखी होती है) से पता चलता है कि आप संख्या का कौन सा मूल निकालना है। यदि संख्या काफी बड़ी है, तो साइंटिफिक कैलकुलेटर में ${\sqrt[{x}]{y}}$ फीचर का इस्तेमाल करके वैल्यू निकालना एक उत्तम विचार है।

   • उदाहरण के लिए, ${\sqrt[{4}]{81}}$ हल करने के लिए, आपको वह संख्या पता करनी होगी जिसे उसी से 4 बार गुणा करने पर 81 प्राप्त होते हैं। चूंकि $3\times 3\times 3\times 3=81$ है, इसलिए ${\sqrt[{4}]{81}}=3$ है।
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   बचे हुए घातांक को हल करें: अब पहले घातांक के रूप में पूर्णांक है, इसलिए उदाहरण को हल करना सरल है। यदि संख्या बहुत बड़ी है, तो आप इसे हल करने के लिए कैलकुलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं।

   • उदाहरण के लिए, $3^{3}=3\times 3\times 3=27$ है। इसलिए $81^{0.75}=27$।

विधि 2

विधि 2 का 3:

सैम्पल के तौर पर दिए गए उदाहरण को हल करना

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   निम्नलिखित एक्सपोनेंशियल एक्सप्रेशन को हल करें: $256^{2.25}$।
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   डेसिमल घातांक को फ्रैक्शन में लिखें: चूंकि डेसिमल संख्या $2.25$, संख्या 1 से बड़ी है, इसलिए जो फ्रैक्शन या भिन्न मिलेगा वह मिश्र भिन्न (mixed fraction) होगा।

   • डेसिमल नंबर $0.25$ बराबर ${\frac {25}{100}}$ है, इसलिए $2.25=2{\frac {25}{100}}$ है।
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   यदि संभव है, तो फ्रैक्शन या भिन्न को सरल करें: और फिर आपको मिश्र भिन्न को विषम भिन्न में बदलने की आवश्यकता होगी।

   • चूंकि ${\frac {25}{100}}$ को सरल करने के बाद आपको ${\frac {1}{4}}$ मिलेगा। और इसलिए $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$।
   • मिश्र भिन्न को विषम भिन्न में परिवर्तित करने पर, आपको ${\frac {9}{4}}$ मिलेगा। इसलिए, $256^{2.25}=256^{\frac {9}{4}}$।
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   एक्सपोनेंट या घातांक को मल्टिप्लिकेशन फॉर्म में लिखें: चूंकि ${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9$ है, इसलिए आप एक्सप्रेशन को दोबारा निम्नलिखित तरीके से लिख सकते हैं: $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$।
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   घातांक को पॉवर ऑफ पॉवर के रूप में लिखें: अब आपका उदाहरण इस तरह से होगा: $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$।
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   बेस को रैडिकल एक्सप्रेशन में लिखें: उदाहरण $256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$ है। इसलिए, आप उदाहरण को दोबारा निम्नलिखित तरीके से लिख सकते हैं: $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$।
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   रैडिकल एक्सप्रेशन को हल करें: ${\sqrt[{4}]{256}}=4$ है। इसलिए, अब समीकरण $(4)^{9}$ है।
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   बचे हुए एक्सपोनेंट को कैलकुलेट करें: $(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262,144$ है। इसलिए, $256^{2.25}=262,144$ है।

विधि 3

विधि 3 का 3:

एक्सपोनेंट को समझना

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   एक्सपोनेंशियल एक्सप्रेशन को पहचानें: एक्सपोनेंशियल एक्सप्रेशन में एक बेस संख्या और एक एक्सपोनेंट अर्थात घातांक होता है। बेस में लिखी संख्या एक बड़ी संख्या होती है। एक्सपोनेंट में लिखी संख्या एक छोटी संख्या होती है।

   • उदाहरण के लिए, एक्सप्रेशन $3^{4}$ में, $3$ बेस में लिखी संख्या है और $4$ एक्सपोनेंट में लिखी संख्या है।
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   एक्सपोनेंशियल एक्सप्रेशन के पार्ट्स को पहचानें: बेस वह संख्या है जिसे गुणा किया जाता है। और एक्सपोनेंट या घातांक वह संख्या है जिससे यह पता चलता है कि बेस को उसी से कितनी बार गुणा करना है।

   • उदाहरण के लिए, $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$ है।
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   रैशनल एक्सपोनेंट को पहचानें: रैशनल एक्सपोनेंट को ही फ्रैक्शनल एक्सपोनेंट कहा जाता है। यह एक ऐसा घातांक या एक्सपोनेंट है जो फ्रैक्शन या भिन्न के फॉर्म में होता है।

   • उदाहरण के लिए, $4^{\frac {1}{2}}$।
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   रैडिकल और रैशनल एक्सपोनेंट के बीच के संबंध को समझें: संख्या पर ${\frac {1}{2}}$ पॉवर या घात लिखना अर्थात संख्या का वर्गमूल (square root) निकालना। इसलिए $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$ है। और यही बात अन्य मूल और एक्सपोनेंट के लिए लागू है। एक्सपोनेंट के हर (denominstor) से आपको पता चलेगा कि आपको संख्या का कौन सा मूल (root) निकालना है:

   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$
   • उदाहरण के लिए, $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$ है। चूंकि $3\times 3\times 3\times 3=81$ है, इसलिए 81 का चौथा मूल (root) 3 है।
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   एक्सपोनेंट के पॉवर ऑफ पॉवर के नियम को समझें: इस नियम के अनुसार $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ है। दूसरे शब्दों में कहा जाएं तो एक एक्सपोनेंट संख्या का दूसरा पॉवर या घात निकालना या दो घातांको को गुणा करना दोनों एक ही बात है।

   • जब उदाहरण में एक्सपोनेंट, रैशनल नंबर या फ्रैक्शन में है, तो यह नियम इस तरह से लिखा जाता है $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ क्योंकि ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$ है।
   • इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है कि आप पहले मूल निकालते हैं या घातांक को हल करते हैं। हालांकि यदि आप संख्या का मूल पहले निकाल लेते हैं, तो संख्या छोटी हो जाएगी, और फिर आपको उसका घातांक निकालकर उदाहरण को हल करना आसान हो जाएगा।