지수가 소수일 때 계산하는 방법

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지수가 소수인 문제를 계산하기

연습문제를 풀어보기

지수 개념을 이해하기

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기초 대수학을 공부하는 학생들이 배우는 것 중 하나는 지수를 계산하는 방법입니다. 흔히 지수는 정수로 되어 있지만 가끔씩 지수가 분수인 경우도 있습니다. 그리고 간혹 지수가 소수일 때도 있습니다. 지수가 소수일 경우, 소수를 분수로 바꿔야 합니다. 그 다음, 지수법칙을 응용해서 계산하면 됩니다.

단계

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지수가 소수인 문제를 계산하기

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   소수를 분수로 바꾸세요. 소수를 분수로 바꿀 때는 자릿값 개념을 이해해야 합니다. 소수점 뒷자리의 개수에 따라 분모가 정해지고 소수점 뒷자리 숫자는 분자가 됩니다.

   • 예를 들어서 $81^{0.75}$을 계산할 때는 우선 $0.75$를 분수로 바꿔야 합니다. 소수점 뒷자리 개수가 2개인 경우 분모는 100입니다. 그러므로 $0.75={\frac {75}{100}}$입니다.
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   가능할 경우 분수를 약분하세요. 분모에 따라 사용하는 거듭제곱근이 다릅니다. 분수를 최대한 간단하게 약분하세요. 일반 분수를 약분하듯이 약분하면 됩니다. 지수가 대분수(1보다 큰 소수일 경우)라면 가분수로 바꾸세요.

   • 예를 들어서 ${\frac {75}{100}}$는 ${\frac {3}{4}}$으로 약분이 가능합니다. 그러므로 $81^{0.75}=81^{\frac {3}{4}}$입니다.
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   지수를 곱셈 형식으로 바꾸세요. 분자를 정수로 바꾼 후 단위분수와 정수의 곱셈 형식으로 나타내세요. 단위분수는 똑같은 분모를 가지면서 분자는 1인 분수를 뜻합니다.

   • 예를 들어서 ${\frac {3}{4}}$은 ${\frac {1}{4}}\times 3$으로 나타낼 수 있습니다. 그러므로 $81^{\frac {3}{4}}$ = $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$입니다.
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   지수 위에 또 지수가 있는 형태로 바꾸세요. 지수의 곱셈은 지수 위에 또 지수를 얹히는 개념과 같기 때문에 $x^{\frac {1}{b}}\times a=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$입니다.

   • 그러므로 $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$입니다.
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   밑수에 거듭제곱근을 씌우세요. 유리수(분수) 지수를 계산하는 건 거듭제곱근을 씌우는 것과 같은 개념입니다. 밑수 바로 위에 있는 지수를 거듭제곱근으로 바꾸세요.

   • $81^{\frac {1}{4}}$은 ${\sqrt[{4}]{81}}$과 같기 때문에 $(81^{\frac {1}{4}})^{3}=({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$입니다.
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   거듭제곱근을 계산하세요. 거듭제곱근 바깥에 있는 작은 숫자를 통해서 몇 번 거듭제곱을 해야 하는 지 알 수 있습니다. 숫자가 복잡할 경우, 공학용 계산기에 있는 ${\sqrt[{x}]{y}}$ 기능을 사용하세요.

   • 예를 들어서 ${\sqrt[{4}]{81}}$의 경우, 어떤 숫자를 4번 곱하면 81이 되는 지를 알아야 합니다. $3\times 3\times 3\times 3=81$이므로 ${\sqrt[{4}]{81}}=3$입니다. 그래서 $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$과 $3^{3}$이 같다는 사실을 알 수 있습니다.
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   남아있는 지수를 마저 계산하세요. 이제 지수가 정수로 바꼈기 때문에 계산 방법이 간단합니다. 숫자가 너무 클 경우 계산기를 사용하세요.

   • $3^{3}=3\times 3\times 3=27$이므로 $81^{0.75}=27$입니다.
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파트 2

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연습문제를 풀어보기

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   $$ 256 2.25 {\displaystyle 256^{2.25}} 을 계산하세요.
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   소수를 분수로 바꾸세요. $2.25$는 1보다 크기 때문에 대분수로 바꿔야 합니다.

   • $0.25$는 ${\frac {25}{100}}$와 같기 때문에 $2.25=2{\frac {25}{100}}$입니다.
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   가능할 경우 분수를 약분하세요. 우선 대분수를 가분수로 바꿔야 합니다.

   • ${\frac {25}{100}}$는 ${\frac {1}{4}}$로 약분이 가능합니다. 그러므로 $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$입니다.
   • 대분수를 가분수로 바꾸면 ${\frac {9}{4}}$가 됩니다. 그러므로 $256^{2.25}=256^{\frac {9}{4}}$입니다.
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   지수를 곱셈 형식으로 바꾸세요. ${\frac {9}{4}}$는 ${\frac {1}{4}}\times 9$와 같습니다. 그러므로 $256^{\frac {9}{4}}=256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$입니다.
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   지수 위에 또 지수가 있는 형태로 바꾸세요. $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$이라고 적으면 됩니다.
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   밑수에 거듭제곱근을 씌우세요. $256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$이므로 $(256^{\frac {1}{4}})^{9}=({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$입니다.
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   거듭제곱근을 계산하세요. ${\sqrt[{4}]{256}}=4$이므로 $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}=(4)^{9}$입니다.
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   남아있는 지수를 마저 계산하세요. $(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262,144$이므로 $256^{2.25}=262,144$입니다.
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지수 개념을 이해하기

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   지수를 표기하는 방법을 이해하세요. 오른쪽 상단에 작게 적은 숫자를 지수라고 부르고 아래에 더 크게 적은 숫자를 밑수라고 부릅니다.

   • 예를 들어서 $3^{4}$ 같은 경우, 밑수는 $3$이고 지수는 $4$입니다.
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   밑수와 지수의 개념을 이해하세요. 지수가 있는 숫자를 계산하는 방법은 밑수를 지수의 숫자만큼 거듭제곱 하는 것입니다.

   • 예시: $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$
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   유리수 지수 개념을 이해하세요. 유리수 지수를 분수 지수라고 부르기도 합니다. 말그대로 지수가 분수인 경우를 뜻합니다.

   • 예시: $4^{\frac {1}{2}}$
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   거듭제곱근과 유리수 지수의 상관관계를 이해하세요. 지수가 ${\frac {1}{2}}$인 숫자를 계산하는 건 제곱근을 씌우는 개념과 같습니다. 그러므로 $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$입니다. 다른 종류의 거듭제곱근도 똑같은 방식으로 적용됩니다. 아래와 같이 지수의 분모에 따라 사용하는 거듭제곱근이 다릅니다.

   • $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
   • $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$
   • 예를 들어서 $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$입니다. $3\times 3\times 3\times 3=81$이므로 3이 81의 네제곱근이라는 사실을 알 수 있습니다.
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   지수 위에 또 지수가 있을 때 계산하는 방법을 이해하세요. 지수법칙에 따르면 $(x^{a})^{b}=x^{ab}$입니다. 다시 말해서 지수 위에 또 지수가 있을 때 계산하는 방법은 두 지수를 서로 곱하는 것과 같다는 걸 의미합니다.

   • 유리수 지수일 경우, $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$입니다. 왜냐하면 ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$이기 때문입니다.
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