كيفية ضرب الجذور

تنزيل المقال

تنزيل المقال

يمثل الرمز الجذري (√) الجذر التربيعي لعدد. يمكن أن تجده في الجبر أو تحتاجه حتى في النجارة أو في صنعة أخرى لها علاقة بالهندسة أو حساب الأحجام أو المسافات النسبية. يمكنك ضرب أي جذرين لهما الدليل نفسه (درجة الجذر)، وإلا يجب أن تعدّل المسألة حتى يصير للجذور الدرجة نفسها قبل أن تتمكن من ضربها. إذا أردت أن تعرف طريقة ضرب الجذور بمعامِلات أو من غير معامِلات، اتبع الخطوات التالية.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 3:

ضرب جذور من غير معاملات

تنزيل المقال

1. 
   1
   تأكد من تساوي درجتي الجذرين. يجب أن تتساوى درجة كل جذر مع الآخر كي يمكن ضربهما باتباع الطريقة البسيطة لضرب الجذور. درجة الجذر أو "الدليل" هي الرقم الصغير المكتوب أعلى الخط الصغير الخارجي في علامة الجذر. إذا لم يوجد عدد في هذا المكان، يُفهَم من هذا أن الجذر تربيعي (من الدرجة الثانية) ويمكن ضربه في جذور تربيعية أخرى. من الممكن ضرب جذور من درجات مختلفة، لكن هذه العملية أكثر تقدمًا وسوف يتم شرحها هنا لاحقًا. إليك أمثلة على ضرب جذور من نفس الدرجة:

   • مثال 1: √(18) × √(2) = ؟
   • مثال 2: √(10) × √(5) = ؟
   • مثال 3: ³√(3) × ³√(9) = ؟
2. 
   2
   اضرب الأعداد التي توجد داخل العلامات الجذرية. اضرب هذه الأرقام ضربًا عاديًا واتركها داخل العلامات الجذرية. إليك الطريقة:

   • مثال 1: √(18) × √(2) = √(36)
   • مثال 2: √(10) × √(5) = √(50)
   • مثال 3: ³√(3) × ³√(9) = ³√(27)
3. 
   3
   بسط العبارات الجذرية. هناك احتمالية كبيرة بعد ضرب أي جذرين أن توجد إمكانية تبسيطه إلى مربع كامل أو مكعب كامل أو أن من الممكن تبسيطه من خلال إيجاد مربع كامل كعامل للناتج النهائي. إليك الطريقة:

   • مثال 1: √(36) = 6. ما يعني أن 36 هي مربع كامل لأنها حاصل ضرب 6 × 6. الجذر التربيعي لـ 36 هو ببساطة 6.
   • مثال 2: √(50) = √(25 × 2) = √([5 × 5] × 2) = 5√(2). على الرغم من أن 50 ليست مربعًا كاملًا، إلا أن 25 هي أحد عوامل الـ 50 (لأن 50 تقبل القسمة عليها من غير باقِ) وهي مربع كامل. يمكنك تحليل 25 إلى عوامل، 5 × 5 وتُخرِج إحدى الخمستين من علامة الجذر لتبسيط العبارة الجذرية.
     • يمكنك التفكير بها على النحو الآتي: إذا أعدت الـ 5 ثانيةً تحت الجذر، ستُضرَب بنفسها وتصبح 25 مجددًا.
   • مثال 3: ³√(27) = 3. يعني هذا أن 27 هي مكعب كامل لأنها حاصل ضرب 3 × 3 × 3. بالتالي فإن الجذر التكعيبي لـ 27 هو 3.

طريقة 2

طريقة 2 من 3:

ضرب جذور لها معامِلات

تنزيل المقال

1. 
   1
   اضرب المعامِلات. المعاملات هي الأعداد التي توجد خارج الجذر. إذا لم يوجد معامل ظاهر، فإن معامل الجذر يساوي 1. اضرب المعامِلات ببعضها. إليك الطريقة:

   • مثال 1: 3√(2) × √(10) = 3√( ؟ )
     • 3 x 1 = 3
   • مثال 2: 4√(3) × 3√(6) = 12√( ؟ )
     • 4 × 3 = 12
2. 
   2
   اضرب الأعداد داخل الجذور. بعد ضرب المعاملات ببعضها، يمكنك الانتقال لضرب الأعداد التي توجد داخل علامات الجذور. إليك إيضاح الطريقة:

   • مثال 1: 3√(2) × √(10) = 3√(2 × 10) = 3√(20)
   • مثال 2: 4√(3) × 3√(6) = 12√(3 × 6) = 12√(18)
3. 
   3
   بسّط الناتج. الخطوة التالية هي تبسيط الأعداد الموجودة أسفل الجذر من خلال البحث عن مربع كامل أو البحث عن عوامل لهذه الأعداد تمثل مربعات كاملة. ما إن تبسط هذه الأجزاء، قم بضربها في المعاملات المصاحبة لها. إليك إيضاحًا لهذه الخطوة::

   • 3√(20) = 3√(4 × 5) = 3√([2 × 2] × 5) = (3 × 2)√(5) = 6√(5)
   • 12√(18) = 12√(9 × 2) = 12√(3 × 3 × 2) = (12 × 3)√(2) = 36√(2)

طريقة 3

طريقة 3 من 3:

ضرب جذور من درجات مختلفة

تنزيل المقال

1. 
   1
   جد م م أ (المضاعف المشترك الأصغر) للدرجتين. يعني إيجاد م.م.أ لدرجتي جذرين أن تجد أصغر عدد يمكن قسمة كل منهما عليه قسمة صحيحة من غير باق. جد م.م.أ لدرجتي الجذرين في المسألة التالية:³√(5) × ²√(2) = ؟

   • الدرجتان هما 3 و 2. م.م.أ لهذين الرقمين هو 6 لأنه أصغر رقم يقبل كلاهما القسمة علسه من غير باقٍ. 6/3 = 2 و 6/2 = 3. لضرب الجذرين، يجب أن تغير درجة كل منهما إلى 6.
2. 
   2
   اكتب كل عبارة جذرية بالمضاعف المشترك الأصغر الجديد كدليلهما الموحد. إليك ما سيبدو عليه شكل العبارات الجذرية بعد تجديد درجتيهما:

   • ⁶√(5) × ⁶√(2) = ؟
3. 
   3
   جد الرقم الذي ستحتاج إلى ضرب كل من الدرجات الأصلية به كي تحصل على م م أ. بالنسبة للعبارة ³√(5)، ستحتاج إلى ضرب الدرجة الثانية في 3 لتحصل على 6.
4. 
   4
   اجعل من هذا الرقم أُسًا للرقم الذي يوجد داخل الجذر. بالنسبة للمسألة الأولى: اجعل العدد 2 أسًا فوق العدد 5، وفي المسألة الثانية: اجعل 3 أسًّا للعدد 2. إليك التغير الذي سيطرأ على شكل المسائل:

   • ² --> ⁶√(5) = ⁶√(5)²
   • ³ --> ⁶√(2) = ⁶√(2)³
5. 
   5
   اضرب الأعداد داخل الجذور وفقًا لأسسها. إليك الطريقة:

   • ⁶√(5)² = ⁶√(5 × 5) = ⁶√25
   • ⁶√(2)³ = ⁶√(2 × 2 × 2) = ⁶√8
6. 
   6
   ضع هذه الأعداد داخل علامة جذرية واحدة. أدخلهم في علامة جذرية وضع بينهم علامات ضرب. إليك نتيجة هذه الخطوة:⁶√(8 × 25)
7. 
   7
   اضربهم. ⁶√(8 × 25) = ⁶√(200). هذا هو الناتج النهائي. ستتمكن في بعض الحالات من تبسيط الناتج، يمكنك مثلًا أن تبسط هذه النتيجة إذا وجدت عددًا من عوامل 200 يمكن ضربه في نفسه ست مرات، لكن لا يمكن في هذه الحالة تبسيط الناتج أكثر من هذا.

أفكار مفيدة

• إذا كان "مُعامِل" ما مفصولًا عن الجذر بعلامة جمع أو طرح، فهذا يعني أنه ليس معاملًا على الإطلاق، بل هو جزء منفصل من المسألة ويجب التعامل معه على حدة بعيدًا عن الجذر. إذا كان الجذر مضمنًا بين قوسين مع حدٍ آخر، على سبيل المثال: (2 + (جذر تربيعي)5) يجب أن تتعامل مع كل من الـ 2 و(جذر تربيعي)5 بشكل منفصل عن الآخر عند حساب العمليات داخل الأقواس، لكن أن تتعامل معهما كوحدة عند إجراء عمليات خارج هذين القوسين.
• العلامات الجذرية هي طريقة أخرى للتعبير عن الأسس الكسرية. بمعنى، أن الجذر التربيعي لأي عدد هو نفس العدد مرفوع لقوة مساوية لـ ½، والجذر التكعيبي لأي عدد هو العدد نفسه مرفوع للقوة ⅓ ..وهكذا.
• "المعامل" إن وُجِد فهو العدد المجاور لعلامة الجذر مباشرةً. على سبيل المثال: في العبارة 2(جذر تربيعي)5، الـ5 داخل العلامة الجذرية والعدد 2 خارجها، بالتالي 2 هي المُعامل. عندما يجتمع جذر مع معامل، يعني هذا أنهما يمثلان ما يمثله ضرب الاثنين ببعضهما، أو تطبيقًا على نفس المثال: 2 × (جذر تربيعي)5.