Comment multiplier des racines

En mathématiques, le symbole √ (qu'on appelle aussi radical) est celui de la racine carrée d'un nombre. On trouve ce type de symbole dans les exercices d'algèbre, mais on peut être amené à les utiliser dans la vie courante, en charpenterie par exemple ou dans le domaine de la finance. Dès qu'il est question de géométrie, les racines ne sont jamais loin ! De façon générale, on peut multiplier deux racines à condition qu'elles aient les mêmes indices (ou ordres de la racine). Si les radicaux n'ont pas les mêmes indices, on peut essayer de manipuler l'équation dans laquelle se trouvent les racines pour que ces radicaux aient le même indice.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Multiplier des racines en l'absence de coefficients

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Avant toute chose, vérifiez que vos racines ont bien le même indice. Pour ce qui est de la multiplication classique, on doit partir de racines ayant le même indice. L'indice est un petit nombre inscrit sur la partie gauche du symbole « racine ». Par convention, une racine sans indice est une racine carrée (d'indice 2). Toutes les racines carrées peuvent être multipliées entre elles. On peut multiplier des racines ayant des indices différents (des racines carrées et des cubiques par exemple), nous verrons cela en fin d'article. Commençons par deux exemples de multiplication de racines ayant les mêmes indices :
- Ex. 1 : √(18) x √(2) = ?
- Ex. 2 : √(10) x √(5) = ?
- Ex. 3 : ³√(3) x ³√(9) = ?
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Multipliez les radicandes (nombres sous le signe de la racine). Multiplier deux racines (ou plus) de même indice revient à multiplier les radicandes (nombres sous le signe de la racine). Voilà comment on fait :
- Ex. 1 : √(18) x √(2) = √(36)
- Ex. 2 : √(10) x √(5) = √(50)
- Ex. 3 : ³√(3) x ³√(9) = ³√(27)
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Simplifiez ensuite le radicande obtenu. Il y a des chances, mais ce n'est pas certain, que le radicande puisse se simplifier. Dans cette étape, on recherche les éventuels carrés (ou cubes) parfaits ou on essaie d'extraire partiellement un carré parfait de la racine. Voyez comment on peut procéder à travers ces deux exemples :
- Ex. 1 : √(36) = 6. 36 est le carré parfait de 6 (36 = 6 x 6). La racine de 36 est 6.
- Ex. 2 : √(50) = √(25 x 2) = √([5 x 5] x 2) = 5√(2). Comme vous le savez, 50 n'est pas un carré parfait, mais 25, qui est un diviseur de 50 (50=25 x2), est, quant à lui, un carré parfait. Vous pouvez remplacer, sous la racine, 25 par 5 x 5. Si vous sortez 25 de la racine, un 5 se place avant la racine et l'autre disparait.
  - Pris à l'envers, vous pouvez prendre votre 5 et le remettre sous la racine à condition de le multiplier par lui-même, soit 25.
- Ex. 3 : ³√(27) = 3. 27 le cube parfait de 3, car 27 = 3 x 3 x 3. La racine cubique de 27 est 3.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Multiplier des racines avec coefficients

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Multipliez d'abord les coefficients. Les coefficients sont ces nombres qui affectent les racines et qui se trouvent à la gauche du signe « racine ». S'il n'y en a pas, c'est que le coefficient est, par convention, 1. Multipliez tout simplement les coefficients entre eux. Voici quelques exemples :
- Ex. 1 : 3√(2) x √(10) = 3√( ? )
  - 3 x 1 = 3
- Ex. 2 : 4√(3) x 3√(6) = 12√( ? )
  - 4 x 3 = 12
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Puis multipliez les radicandes. Une fois le produit des coefficients calculé, vous pouvez, comme vous l'avez vu précédemment, multiplier les radicandes. Voici quelques exemples :
- Ex. 1 : 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
- Ex. 2 : 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
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Simplifiez ce qui peut l'être et faites les opérations. On cherche donc à voir si le radicande ne contient pas un carré (ou un cube) parfait. Si c'est le cas, on sort la racine de ce carré parfait et on le multiplie par le coefficient déjà présent. Étudiez les deux exemples qui suivent :
- 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
- 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Multiplier des racines ayant des indices différents

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Déterminez le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des indices. Pour ce faire, il faut trouver le plus petit nombre divisible par chacun des indices. Petit exercice d'application : trouvez le PPCM des indices dans l'expression suivante, ³√(5) x ²√(2) = ?
- Les indices sont donc 3 et 2. 6 est le PPCM de ces deux nombres, car c'est le plus petit nombre divisible à la fois par 3 fois et 2 (preuve en est : 6/3 = 2 et 6/2 = 3). Pour multiplier ces deux racines, il va donc falloir les ramener en racine 6e (expression pour dire « racine d'indice 6 »).
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Récrivez l'expression avec les racines « d'indice PPCM ». Voici ce que cela donne avec notre expression :
- ⁶√(5) x ⁶√(2) = ?
Pour la partie ³√(5), il faut multiplier l'indice par 2 (3 x 2 = 6). Pour la partie ²√(2), il faut multiplier l'indice par 3 (2 x 3 = 6).
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On ne change pas impunément ainsi les indices. Il faut ajuster les radicandes. Vous devez élever le radicande à la puissance du multiplicateur de la racine. Ainsi, pour la première partie, on a multiplié l'indice par 2, on élève le radicande à la puissance 2 (carré). Ainsi, pour la deuxième partie, on a multiplié l'indice par 3, on élève le radicande à la puissance 3 (cube). Ce qui nous donne :
- ² --> ⁶√(5) = ⁶√(5)²
- ³ --> ⁶√(2) = ⁶√(2)³
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Calculez les nouveaux radicandes. Cela nous donne :
- ⁶√(5)² = ⁶√(5 x 5) = ⁶√25
- ⁶√(2)³ = ⁶√(2 x 2 x 2) = ⁶√8
Comme vous le voyez, on est retombé dans le cas général où les deux racines ont le même indice. On va d'abord tout ramener à un simple produit : ⁶√(8 x 25)
⁶√(8 x 25) = ⁶√(200). C'est là votre réponse définitive. Comme vu précédemment, il est peut-être possible que votre radicande soit une entité parfaite. Si votre radicande est égal à « i » fois un nombre (« i » étant l'indice), alors « i » sera votre réponse. Ici, 200 en racine 6e n'est pas une entité parfaite. On laisse la réponse ainsi.
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Conseils

En fait, les racines servent à remplacer des puissances sous forme de fractions. Pour être plus clair, quand dit « racine carrée de x », c'est comme si on disait « x^1/2 ». C'est exactement pareil ! De même, « racine cubique de x » = « x^1/3 ”, etc., etc.
Le « coefficient », s'il y en a un, est un nombre qui se trouve avant le symbole de la racine. Par exemple, dans « 2 racine carrée de 5 », 5 est le radicande et le 2, en dehors de la racine, est le coefficient. Le plus souvent, il n'y a pas de signe opératoire entre le coefficient et la racine : en fait, c'est une convention d'écriture. On ne met pas le signe de multiplication : « 2 racine carrée de 5 » = 2 x « racine carrée de 5 ».
Par contre, s'il y a un signe « + » ou « - » entre le soi-disant « coefficient » et la racine, ce n'est pas un coefficient--il faut considérer ce nombre comme un terme de l'expression qui n'a rien à voir avec la racine ! Si on prend l'expression (2 + « racine carrée de 5 »), elle est entre parenthèses. Donc si vous travaillez à l'intérieur des parenthèses, vous devez traiter les deux composantes séparément. Par contre si vous travaillez cette parenthèse avec des termes extérieurs (des coefficients par exemple), il faudra considérer la parenthèse comme un tout indissociable.