Как умножать корни

Знак корня (√) означает квадратный корень из некоторого числа. Знак корня встречается не только в алгебре, но и в повседневной жизни, например, в деревообрабатывающем производстве, которое включает расчет относительных размеров. Два любых корня с одинаковыми показателями (степени корня) можно умножать. Если у корней разные показатели, необходимо привести корни к одному показателю. Если вы хотите узнать, как умножать корни с или без множителей, прочитайте эту статью.

Метод 1

Метод 1 из 3:

Умножение корней без множителей

Загрузить PDF

1
Убедитесь, что корни имеют одинаковый показатель (степень). Степень записывается слева над знаком корня. Если степени нет, то корень считается квадратным (то есть его степень равна 2) и его можно умножить на другие квадратные корни (об умножении корней с разными показателями читайте далее). Вот несколько примеров умножения корней с одинаковыми показателями:
- Пример 1: √(18) x √(2) = ?
- Пример 2: √(10) x √(5) = ?
- Пример 3: ³√(3) x ³√(9) = ?
2
Перемножьте числа под корнем. Вот как это делается:
- Пример 1: √(18) x √(2) = √(36)
- Пример 2: √(10) x √(5) = √(50)
- Пример 3: ³√(3) x ³√(9) = ³√(27)
3
Упростите подкоренное выражение. При умножении корней полученное подкоренное выражение можно упростить (не всегда) до произведения некоторого числа (или выражения) на полный квадрат или куб. Вот как это делается:
- Пример 1: √(36) = 6. 36 является квадратом числа 6, потому что 6*6=36.
- Пример 2: √(50) = √(25*2) = √([5*5]*2) = 5√(2). Число 50 можно разложить на произведение чисел 25 и 2. Корень из 25 равен 5, поэтому выносим 5 за знак корня и таким образом упрощаем подкоренное выражение.
  - Если внести число 5 обратно под знак корня, оно возводится в квадрат, и вы получите число 25 под знаком корня.
- Пример 3: ³√(27) = 3. Кубический корень из числа 27 равен 3, потому что 3*3*3 = 27.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Умножение корней с множителями

Загрузить PDF

1
Умножьте множители. Множитель — число, стоящее перед знаком корня. Если его нет, то множитель равен 1. Перемножьте множители. Вот как это делается:
- Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(?)
  - 3 x 1 = 3
- Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(?)
  - 4 x 3 = 12
2
Умножьте числа под знаком корня. После того как вы перемножили множители, перемножьте числа под знаком корня. Вот как это делается:
- Пример 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
- Пример 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
3
Упростите подкоренное выражение. Далее упростите полученные значения под знаком корня, вынеся соответствующие числа за знак корня. После этого просто перемножьте эти вынесенные числа и множители, стоящие перед знаком корня. Вот как это делается:
- 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
- 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Умножение корней с разными показателями

Загрузить PDF

1
Найдите НОК (наименьшее общее кратное) показателей. НОК показателей — наименьшее число, которое делится на оба показателя. Найдите НОК показателей для следующего выражения:³√(5) x ²√(2) = ?
- Показатели равны 3 и 2. Число 6 является НОК этих двух чисел, потому что это наименьшее число, которое делится без остатка как на 3, так и на 2: 6/3=2 и 6/2=3. Чтобы умножить корни, их показатель должен быть равен 6.
2
Запишите каждый корень с НОК в качестве нового показателя. Вот как записать выражение с новым показателем:
- ⁶√(5) x ⁶√(2) = ?
Найдите числа, на которые необходимо умножить каждый исходный показатель, чтобы получить НОК. В выражении ³√(5) вам нужно умножить показатель 3 на 2, чтобы получить 6. В выражении ²√(2) вам нужно умножить показатель 2 на 3, чтобы получить 6.
4
Возведите число, стоящее под знаком корня, в степень равную числу, найденному в предыдущем шаге. Для первого выражения возведите 5 в степень 2. Для второго выражения возведите 2 в степень 3. Вот как это будет выглядеть:
- ² --> ⁶√(5) = ⁶√(5)²
- ³ --> ⁶√(2) = ⁶√(2)³
5
Проделайте операцию возведения в степень и запишите результат под знаком корня. Вот как это делается:
- ⁶√(5)² = ⁶√(5 x 5) = ⁶√25
- ⁶√(2)³ = ⁶√(2 x 2 x 2) = ⁶√8
⁶√(8 x 25)
⁶√(8 x 25) = ⁶√(200). В некоторых случаях можно упростить подкоренное выражение, например, найдя множитель числа 200, из которого можно взять корень 6 степени. Но в данном случае выражение не упрощается.
Реклама

Советы

Если «множитель» отделяется от корня знаком плюс или минус, то это уже вообще не множитель — это отдельный член выражения, и операции с ним проводятся отдельно от корня.
Знак корня является еще одним способом записи дробных показателей. Например, квадратный корень из любого числа есть это число в степени 1/2; кубический корень из любого числа есть это число в степени 1/3 и так далее.
Множитель — число, стоящее непосредственно перед знаком корня. Так, например, в выражении 2(квадратный корень)5, число 5 является подкоренным выражением, а число 2 — множителем. Когда множитель и корень записаны рядом, то это означает их умножение: 2*(квадратный корень)5.